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专题对点练2函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1.设a>1,若对于任意的xa,2a,都有ya,a2满足方程logax+logay=3,这时a的取值的集合为()A.a|1<a2B.a|a2C.a|2a3D.2,3答案 B解析 依题意得y=a3x,当xa,2a时,y=a3x12a2,a2.由题意可知12a2,a2a,a2,即有12a2a,又a>1,所以a2.故选B.2.椭圆x24+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其一交点为P,则|PF2|=()A.32B.3C.72D.4答案 C解析 如图,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,则r1+r2=2a=4,r22-r12=(2c)2=12,即r1+r2=4,r2-r1=3,故r2=72.3.若关于x的方程2sin2x+6=m在0,2上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,3)B.0,2C.1,2)D.1,3答案 C解析 方程2sin2x+6=m可化为sin2x+6=m2,当x0,2时,2x+66,76,画出函数y=f(x)=sin2x+6在x0,2上的图象如图所示:由题意,得12m2<1,则m的取值范围是1,2),故选C.4.函数f(x)是定义在区间(0,+)上的可导函数,其导函数为f'(x),且满足xf'(x)+2f(x)>0,则不等式(x+2 016)f(x+2 016)5<5f(5)x+2 016的解集为()A.x|x>-2 011B.x|x<-2 011C.x|-2 016<x<-2 011D.x|-2 011<x<0答案 C解析 由xf'(x)+2f(x)>0,则当x(0,+)时,x2f'(x)+2xf(x)>0,即x2f(x)'=x2f'(x)+2xf(x),所以函数x2f(x)为单调递增函数,由(x+2 016)f(x+2 016)5<5f(5)x+2 016,即(x+2 016)2f(x+2 016)<52f(5),所以0<x+2 016<5,所以不等式的解集为x|-2 016<x<-2 011,故选C.5.对任意a-1,1,函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零,则x的取值范围是()A.x|1<x<3B.x|x<1或x>3C.x|1<x<2D.x|x<1或x>2答案 B解析 由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0,得a(x-2)+x2-4x+4>0.令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4,由a-1,1时,不等式f(x)>0恒成立,即g(a)>0在-1,1上恒成立.则g(-1)>0,g(1)>0,即-(x-2)+x2-4x+4>0,(x-2)+x2-4x+4>0.解得x<1或x>3.6.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M,N两点,则|MN|=()A.30B.25C.20D.15答案 D解析 圆x2+y2-6x=0的圆心(3,0),焦点F(3,0),抛物线y2=12x,设M(x1,y1),N(x2,y2).直线l的方程为y=2x-6,联立y2=12x,y=2x-6,即x2-9x+9=0,x1+x2=9,|MN|=x1+x2+p=9+6=15,故选D.7.若0<x1<x2<1,则()A.ex2-ex1>ln x2-ln x1B.ex1-ex2<ln x2-ln x1C.x2ex1>x1ex2D.x2ex1<x1ex2答案 C解析 设f(x)=ex-ln x(0<x<1),则f'(x)=ex-1x=xex-1x.令f'(x)=0,得xex-1=0.根据函数y=ex与y=1x的图象(图略)可知两函数图象交点x0(0,1),因此函数f(x)在(0,1)内不是单调函数,故A选项不正确;同理可知B选项也不正确;设g(x)=exx(0<x<1),则g'(x)=ex(x-1)x2.又0<x<1,g'(x)<0.函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0<x1<x2<1,g(x1)>g(x2).x2ex1>x1ex2.故C选项正确,D项不正确.8.已知在正四棱锥S-ABCD中,SA=23,则当该棱锥的体积最大时,它的高为()A.1B.3C.2D.3答案 C解析 设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a(a>0),则高h=SA2-2a22=12-a22,所以体积V=13a2h=1312a4-12a6.设y=12a4-12a6(a>0),则y'=48a3-3a5.令y'>0,得0<a<4;令y'<0,得a>4.故函数y在(0,4上单调递增,在4,+)内单调递减.可知当a=4时,y取得最大值,即体积V取得最大值,此时h=12-a22=2,故选C.9.(2017河南郑州一中质检一,理12)已知函数f(x)=x+xln x,若kZ,且k(x-1)<f(x)对任意的x>1恒成立,则k的最大值为()导学号16804154A.2B.3C.4D.5答案 B解析 由k(x-1)<f(x)对任意的x>1恒成立,得k<xlnx+xx-1(x>1),令h(x)=xlnx+xx-1(x>1),则h'(x)=x-lnx-2(x-1)2,令g(x)=x-ln x-2=0,得x-2=ln x,画出函数y=x-2,y=ln x的图象如图,g(x)存在唯一的零点,又g(3)=1-ln 3<0,g(4)=2-ln 4=2(1-ln 2)>0,零点属于(3,4),h(x)在(1,x0)内单调递减,在(x0,+)内单调递增,而3<h(3)=3ln3+32<4,83<h(4)=4ln4+43<4,h(x0)<4,kZ,k的最大值是3.二、填空题10.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是. 答案 (-1,0)解析 在同一坐标系中,分别作出y=log2(-x),y=x+1的图象,由图可知,x的取值范围是(-1,0).11.若函数f(x)=-x+6,x2,3+logax,x>2(a>0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是. 答案 (1,2解析 由题意f(x)的图象如图,则a>1,3+loga24,1<a2.12.已知奇函数f(x)的定义域是x|x0,xR,且在(0,+)内单调递增,若f(1)=0,则满足x·f(x)<0的x的取值范围是. 答案 (-1,0)(0,1)解析 作出符合条件的一个函数图象草图如图所示,由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(-1,0)(0,1).13.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=12x上,并且在x轴上截得的弦长为23,则圆M的标准方程为 . 答案 (x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4解析 设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得12a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2.圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.14.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为. 答案 22解析 如图,SRtPAC=12|PA|·|AC|=12|PA|,当CPl时,|PC|=|3×1+4×1+8|32+42=3,此时|PA|min=|PC|2-|AC|2=22.(S四边形PACB)min=2(SPAC)min=22.15.我们把函数y1=x2-3x+2(x>0)沿y轴翻折得到函数y2,函数y1与函数y2的图象合起来组成函数y3的图象,若直线y=kx+2与函数y3的图象刚好有两个交点,则满足条件的k的值为.导学号16804155 答案 (-3,3)解析 依题意,作出函数y3的图象,如下图:函数y1=x2-3x+2(x>0)沿y轴翻折得到函数y2,y2=x2+3x+2(x<0).若要直线y=kx+2与函数y3的图象刚好有两个交点,则需直线y=kx+2与y1,y2均有交点.将直线y=kx+2分别代入y1,y2中得x2-(3+k)x=0,x2+(3-k)x=0.解得x1=3+k,x2=k-3,x3=0(舍去),y1=x2-3x+2(x>0),x1=3+k>0;y2=x2+3x+2(x<0),x2=k-3<0.联立得3+k>0,k-3<0,解得-3<k<3.三、解答题16.已知数列an是等差数列,a1=1,a2+a3+a10=144.(1)求数列an的通项an;(2)设数列bn的通项bn=1anan+1,记Sn是数列bn的前n项和,若n3时,有Snm恒成立,求m的最大值.解 (1)an是等差数列,a1=1,a2+a3+a10=144,S10=145,S10=10(a1+a10)2.a10=28,公差d=3.an=3n-2.(2)由(1)知bn=1anan+1=1(3n-2)(3n+1)=1313n-2-13n+1,Sn=b1+b2+bn=131-13n+1,Sn=n3n+1.Sn+1-Sn=n+13n+4-n3n+1=1(3n+4)(3n+1)>0,数列Sn是递增数列.当n3时,(Sn)min=S3=310,依题意,得m310,m的最大值为310.我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。
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