高考数学总复习 8.2 空间几何体的表面积与体积演练提升同步测评 文 新人教B版

我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 8.2 8.2 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 A 组 专项基础训练 (时间：35 分钟) 1(2015浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( ) A8 cm3 B12 cm3 C.323 cm3 D.403 cm3 【解析】 由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 正方形、高为 2 cm 的四棱锥组成，VV正方体V四棱锥8 cm383 cm3323 cm3.故选 C. 【答案】 C 2(2016课标全国)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是( ) A17 B18 C20 D28 【解析】 由该几何体的三视图可知，这个几何体是把一个球挖掉它的18得到的(如图所示) 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 设该球的半径为R，则7843R3283，得R2. 所以它的表面积为 422184223142217.故选 A. 【答案】 A 3(2015课标全国)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( ) A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 【解析】 由题意知： 米堆的底面半径为163(尺)， 体积V1314R2h3209(立方尺) 所以堆放的米大约为32091.6222(斛) 【答案】 B 4(2016黑龙江哈六中期末)在平行四边形ABCD中，ACCB0，2BC2AC240，若将其沿AC折成直二面角DACB，则三棱锥DACB的外接球的表面积为( ) A16 B8 C4 D2 【解析】 由题意知，ACCB，2BC2AC24BC2BC2AC24BC2AB240.因为ABCD是平行四边形，所以BCAD.因为二面角DACB是直二面角，所以AD平面ABC，即ADAB，那么BC2AB2AD2AB2BD24，即BD2.取BD中点O，连接OA，OC，BAD，BCD都是直角三角形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，有OAOBOCOD，所以三棱锥DACB的外接球的球心为点O，半径ROB1，所以表面积为S4R24. 【答案】 C 5(2015课标全国)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为 36，则球O的表面积为( ) A36 B64 C144 D256 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 【解析】 如图，要使三棱锥OABC即COAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VOABC最大VCOAB最大13SOABR1312R2R16R336，所以R6，得S球O4R2462144.选 C. 【答案】 C 6(2016浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3. 【解析】 根据几何体的三视图可得该几何体由如图所示的两个长方体组成，所以它的表面积为 72 cm2，体积为 32 cm3. 【答案】 72 32 7(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为8 的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_ 【解析】 设新的底面半径为r，由题意得13r24r2813524228，解得r 7. 【答案】 7 8 (2017安徽合肥一中等六校第二次联考)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA2，AB2，AC1，BAC60，则该三棱锥的外接球的表面积为_ 【解析】 因为AB2，AC1，BAC60，利用余弦定理得BC 3，所以AC2BC2AB2，所以ACBC.又因为PA平面ABC，所以三棱锥PABC是长为 1，宽为 3，高为 2我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 的长方体的一部分(如图所示)，所以三棱锥PABC外接球的半径为1212（ 3）2222，所以其外接球的表面积为 4( 2)28. 【答案】 8 9(2016课标全国)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E， 连接PE并延长交AB于点G. (1)证明：G是AB的中点； (2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)， 并求四面体PDEF的体积 【解析】 (1)证明 因为P在平面ABC内的正投影为D， 所以ABPD. 因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE. 又PDDED，所以AB平面PED，故ABPG. 又由已知可得PAPB，所以G是AB的中点 (2)在平面PAB内， 过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为点E在平面PAC内的正投影 理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，因此EF平面PAC，即点F为点E在平面PAC内的正投影 连接CG，DF，因为P在平面ABC内的正投影为点D，所以D是正三角形ABC的中心 由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，且CD23CG. 由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB， 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 所以DEPC，因此PE23PG，DE13PC. 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2 2. 因为EFPB，PG为等腰PAB的角平分线，所以FEPFPE，所以EFP为等腰直角三角形，可得EFPF2. 所以四面体PDEF的体积 V131222243. 10 (教材改编)已知一个上、 下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为 20 cm 和 30 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高 【解析】 如图所示，三棱台ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高 由题意知A1B120，AB30， 则OD5 3，O1D110 33， 由S侧S上S下，得 312(2030)DD134(202302)， 解得DD11333，在直角梯形O1ODD1中， O1ODD21（ODO1D1）24 3， 所以棱台的高为 4 3 cm. B 组 专项能力提升 (时间：30 分钟) 11 (2017湖北武汉华中师大一附等校第一次联考)已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于( ) 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 A12 3 B16 3 C20 3 D32 3 【解析】 题中三视图是下图中几何体ABCDEF的三视图，由三视图中的尺寸，知其体积为V1242 36131243 2 320 3.故选 C. 【答案】 C 12 (2017河南郑州一模)如图是一个四面体的三视图， 这个三视图均是腰长为 2 的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( ) A.23 B.43 C.83 D2 【解析】 由四面体的三视图得该四面体为棱长为 2 的正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1BDE，其中E是CD的中点，BDE的面积S121222 1，三棱锥C1BDE的高hCC12，所以该四面体的体积V13Sh23.故选 A. 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 【答案】 A 13(2015四川)在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_ 【解析】 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1 的等腰直角三角形，高为 1 的直三棱柱， VPA1MNVA1PMN， 又AA1平面PMN， VA1PMNVAPMN， VAPMN131211212124， 故VPA1MN124. 【答案】 124 14 (2017湖北襄阳一模)一个空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积为_ 【解析】 由三视图可知该几何体为长方体中挖去一个半球 长方体的棱长分别为 4， 4，2，半球的半径为 2.S44424442212422644. 【答案】 644 15(2016江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的 4 倍 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 (1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？ 【解析】 (1)由PO12 知O1O4PO18. 因为A1B1AB6， 所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥13A1B21PO11362224(m3)； 正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3) 所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3) (2)设A1B1a(m)，PO1h(m)， 则 0h6，O1O4h.如图，连接O1B1. 因为在 RtPO1B1中，O1B21PO21PB21， 所以2a22h236，即a22(36h2) 于是仓库的容积VV柱V锥a24h13a2h133a2h263(36hh3)，0h6， 从而V263(363h2)26(12h2) 令V0，得h2 3或h2 3(舍) 当 0h2 3时，V0，V是单调增函数， 当 2 3h6 时，V0，V是单调减函数 故当h2 3时，V取得极大值，也是最大值 因此，当PO12 3 m 时，仓库的容积最大