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太湖中学2018-2019学年高三第一次段考数学理科试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若集合, 则等于( ) ABCD2. 若命题:;命题:则是的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3“每天进步一点点”可以用数学来诠释:假如你今天的数学水平是1,以后每天比前一天增加千分之五,则经过天之后,你的数学水平与之间的函数关系式是( ) A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间是()A B C D 5. 函数的图象大致形状是( )6.设,且,则的大小关系是()A B C D7. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(如图1),由于地形限制,长、宽都不能超过16米. 如果池四周围壁建造单价为400,中间两道隔壁墙建造单价为248,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计. 设污水池的长为米,总造价为(元), 则的解析式为( )A 图1B C D8. 已知函数(,是自然对数的底数)在处取得极小值,则的极大值是( )A B C D9. 下列判断中,正确的是( )A“若,则有实数根”的逆否命题是假命题B“”是“直线与直线平行”的充要条件C命题“”是真命题D当时,命题“”是假命题10. 若函数满足:对于任意 都有且成立,则称函数为“正定函数”.则下列四个函数中,为“正定函数”的是( )A. B. C. D. 11.若函数()图象与函数的图象关于原点对称, 且时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 12.定义在上的函数,满足,且.若,则函数在内的零点个数有( )A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0 个二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13设,若函数在区间内有一个零点,则化简的结果是 14曲线在点处的切线斜率是 . 15向名学生调查对两事件的态度,有如下结果: 赞成的人数是全体的五分之三,其余的不赞成;赞成的比赞成的多人,其余的不赞成;另外,对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人. 则对都赞成的学生有_人.16若不等式有且仅有一个正整数解,则实数的最大值是 .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设 已知:函数有零点,:.()若为真命题,求的取值范围;() 若为假命题,求的取值范围.18(本小题满分12分)定义在上的函数满足: 对于任意的实数,等式=恒成立; 当时,且()判断函数在上的奇偶性和单调性; ()求函数在上的值域19.(本小题满分12分)已知函数.()当时,求的单调区间与最值;()若在区间内单调递减,求的取值范围.20.(本小题满分12分)我们常常称恒成立不等式,当且仅当时等号成立)为“灵魂不等式”,它在处理某些函数问题中常常发挥重要作用.()试证明这个不等式; ()设函数,且在定义域内恒有求实数的值.21(本小题满分12分)某公司计划投资开发一种新能源产品,预计能获得10万元1000万元的收益现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:奖金(单位:万元)随收益(单位:万元)的增加而增加,且奖金总数不超过9万元,同时奖金总数不超过收益的20%.()若建立奖励方案函数模型,试确定这个函数的定义域、值域和的范围;()现有两个奖励函数模型:;.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求?请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数,.()设两点,且,若函数的图象分别在点 处的两条切线互相垂直,求的最小值;()若对任意,恒成立,求实数的取值范围.太湖中学2018-2019学年高三第一次段考数学理科试题参考答案题号123456789 101112答案CABBDBAADDCB一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)二填空题(本大题共5小题,每小题5分,共20分)13 14 15 16三解答题17解析: () 为真命题的充要条件是所以或.即的取值范围是. 4分 () 当为假命题时,. 为假命题, 则假假.假时,有所以 7分与取交集得,.故的取值范围是. 10分18. 解析:()设.在=中,令,则.因为当时, 所以由得,即,因此在上是减函数.3分在=中,令得再令得,=,因此在上是奇函数. 6分() 函数在上的最大值为、最小值为. 8分在=中, 令得, 令得,故函数在上的值域是 12分19. 解析:()当时,其图象如图所示.因此函数的单增区间是和单减区间是和.最小值是,无最大值. 5分()当时,在内单减, 符合要求.当 时,在内单减,符合要求。9分 当 时,在内单减,在内单增,不符合要求. 故的取值范围是. 12分20. 解析:()法1(图象法):在同一坐标系下作出曲线和直线,发现它们均经过定点,且,即直线是曲线在定点处的切线.故,当且仅当时等号成立). 6分法2(导数法):令,则.显然在内单增,在内单减, 因此于是.即,当且仅当时等号成立. 6分()函数的定义域是. 因为,所以等价于,即. 8分当时,. 由对数型灵魂不等式知, ,因此 当时,. 10分由对数型灵魂不等式知, ,因此 当时,等号成立, 综上可知,实数的值是 12分21.解析:(),值域是,.4分 ()当时,的最大值是, 不符合要求.当时, 在定义域上为增函数,最大值为9.7分令,则所以即.故函数符合公司要求. 12分22. 解析:()因为,所以,故,即,且,. 2分所以当且仅当,即且时,等号成立.所以函数的图象分别在点处的两条切线互相垂直时,的最小值为1. 5分(),.设函数=(),则=.由题设可知0,即.令=0得,=,=2. 若,则20,0,0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值.而=0,当2时,0,即恒成立. 8分若,则=,当2时,0,在(2,+)单调递增,而=0,当2时,0,即恒成立. 10分若,则=0,当2时,不可能恒成立.综上所述,的取值范围为1,. 12分太湖中学2018-2019学年高三第一次段考数学理科试题答案(2018年10月8日上午考试)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)10. 若函数满足:对于任意 都有且成立,则称函数为“正定函数”.则下列四个函数中,为“正定函数”的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】对A,有,A不是正定函数;对B,有,B不是正定函数;对C,有,C不是正定函数;对D,有 D是正定函数.11.若函数()图象与函数的图象关于原点对称, 且时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 11【答案】D解析: 设.两点关于原点对称,点的坐标为.又点 在函数的图象上,即在上单增, 的最小值是因此,即,.故选D.12.定义在上的函数,满足,且.若,则函数在内的零点个数有( )A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0 个12.B.解析:由知的最小正周期是2,画出函数的部分图像,如图所示。从图中可知,选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)15向名学生调查对两事件的态度,有如下结果: 赞成的人数是全体的五分之三,其余的不赞成;赞成的比赞成的多人,其余的不赞成;另外,对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人. 则对都赞成的学生有_人.解析: 赞成的人数为赞成的人数为如图2,记名学生组成的集合为全集赞成事件的学生全体为集合, 赞成事件的学生全体为集合设对事件都赞成的学生人数为,则对都不赞成的学生人数为,赞成而不赞成的人数为,赞成而不赞成的人数为依题意得, ,解得16若不等式有且仅有一个正整数解,则实数的最大值是 .解析 就是令. 利用导数知识确定的图象:由得,. 图象如图所示. 注意到直线经过定点,显然不合题意.当时,是不等式的唯一正整数解,因此有,即,解得故选A.评注 这里不等式的正整数解问题,可以“一分为二”成两个函数(定曲线,利用导数确定)和(动直线,过定点)的值的大小关系,则问题立即转化为定曲线与动直线的位置关系,再列出相应的不等式组即可,注意对参数的分类讨论.整个过程体现了“数形数”之间的对应.变式题 若不等式恰有两个正整数解,则实数的取值范围是 .解析 由上可知,两个正整数解是,因此有,即,解得,故的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设 已知:函数有零点,:.()若为真命题,求的取值范围;() 若为假命题,求的取值范围.17解析: () 为真命题的充要条件是所以或.即的取值范围是. 4分 () 当为假命题时,. 为假命题, 则假假.假时,有所以 7分与取交集得,.故的取值范围是. 10分18(本小题满分12分)定义在上的函数满足: 对于任意的实数,等式=恒成立; 当时,且()判断函数在上的奇偶性和单调性; ()求函数在上的值域18. 解析:()设.在=中,令,则.因为当时, 所以由得,即,因此在上是减函数.3分在=中,令得再令得,=,因此在上是奇函数. 6分() 函数在上的最大值为、最小值为. 8分在=中, 令得, 令得,故函数在上的值域是 12分19.(本小题满分12分)已知函数.()当时,求的单调区间与最值;()若在区间内单调递减,求的取值范围.19. 解析:()当时,其图象如图所示.因此函数的单增区间是和单减区间是和.最小值是,无最大值. 5分()当时,在内单减, 符合要求.当 时,在内单减,符合要求。9分 当 时,在内单减,在内单增,不符合要求. 故的取值范围是. 12分20.(本小题满分12分)我们常常称恒成立不等式,当且仅当时等号成立)为“灵魂不等式”,它在处理某些函数问题中常常发挥重要作用.()试证明这个不等式; ()设函数,且在定义域内恒有求实数的值.20. 解析:()法1(图象法):在同一坐标系下作出曲线和直线,发现它们均经过定点,且,即直线是曲线在定点处的切线.故,当且仅当时等号成立). 6分法2(导数法):令,则.显然在内单增,在内单减, 因此于是.即,当且仅当时等号成立. 6分()函数的定义域是. 因为,所以等价于,即. 8分当时,. 由对数型灵魂不等式知, ,因此 当时,. 10分由对数型灵魂不等式知, ,因此 当时,等号成立, 综上可知,实数的值是 12分21(本小题满分12分)某公司计划投资开发一种新能源产品,预计能获得10万元1000万元的收益现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:奖金(单位:万元)随收益(单位:万元)的增加而增加,且奖金总数不超过9万元,同时奖金总数不超过收益的20%.()若建立奖励方案函数模型,试确定这个函数的定义域、值域和的范围;()现有两个奖励函数模型:;.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求?请说明理由.21.解析:(),值域是,.4分 ()当时,的最大值是, 不符合要求.当时, 在定义域上为增函数,最大值为9.7分令,则所以即.故函数符合公司要求. 12分22.(本小题满分12分)已知函数,.()设两点,且,若函数的图象分别在点 处的两条切线互相垂直,求的最小值;()若对任意,恒成立,求实数的取值范围.22. 解析:()因为,所以,故,即,且,. 2分所以当且仅当,即且时,等号成立.所以函数的图象分别在点处的两条切线互相垂直时,的最小值为1. 5分(),.设函数=(),则=.由题设可知0,即.令=0得,=,=2. 若,则20,0,0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值.而=0,当2时,0,即恒成立. 8分若,则=,当2时,0,在(2,+)单调递增,而=0,当2时,0,即恒成立. 10分若,则=0,当2时,不可能恒成立.综上所述,的取值范围为1,. 12分灵魂不等式及其应用我们常常称恒成立不等式,当且仅当时等号成立)和恒成立不等式,当且仅当时等号成立)为“灵魂不等式”,指数型与对数型成对出现.1.和型例1(2017济南市模考卷)已知不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 例2(2017合肥市模考卷)若存在,使不等式成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 2. 和型例3 (2018安庆市模考卷) 设函数,其中.若函数恰有一个零点,求的值.例4(2017课标卷)已知函数,且求实数的值.3. 和型例5(2018南通市模考卷)若函数在上有零点,则实数的取值范围是 .例6.(2017课标卷)已知函数,且 求实数a的值.4. 和型例7(2018广州市模考卷)若对任意实数,不等式恒成立, 求实数的取值范围.例8(2017黄冈市模考卷)方程在内有唯一实数根的充要条件是( ) A. B. C. D. 5. 混合型 例9(2013课标卷)设函数,若,证明:例10(2016杭州模考卷)若曲线与曲线有唯一公共点,求实数的值.以上从一道高考题出发, 从分析、解答、结论、证明对其全方位透视,并获得两个灵魂不等式.再通过两个灵魂不等式的变式应用,将高考或模考中的恒成立不等式、能成立不等式、函数零点、方程的实根、不等式的证明等问题融为一体. 这给我们启示是:好的高考题或模考题往往具有针对性、示范性和拓展性,如果教师讲解前认真思考、认真发掘、认真研究, 通过发现其联系、发现其差异、发现其规律、发现其本质等等,让其发挥复习功能,起到以点带面、以一当十、举一反三、融会贯通的作用,促使学生的思维水平和解题能力达到一个新的高度. 这不失为高考备考复习一种良好的教学模式.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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