一类生物种群模型及其稳定性数学毕业论文

一类生物种群模型及其稳定性摘 要：本文讨论一类种群发展方程，建立了年龄依赖种群系统的连续模型，半离散模型和离散化模型，并由特征值简要讨论了它们的稳定性。关键词：种群模型，半离散，稳定性，特征值 引 言： 在自然界中生存的各种生物种群的发展受到各种影响，本文就年龄结构变化对单一生物种群的发展影响进行分析建模，结合1文，为讨论方便，我们假设在一稳定状态环境中生物的生存条件仅受年龄结构变化限制，由此得出以下几种模型。1、线性种群发展方程线性种群发展方程是分析、预测和定量控制的基础。在一稳定的状态环境中，用r表示年龄，t表示时间，r, t皆为连续变化量，用表示t时刻年龄小于r的种群总数。显然且当时， ，即对于固定的t为r的单调增函数，称为种群函数。表示t时刻种群函数，m记为种群所能达到的最高年龄，则有的定义，易知=。当r, t都连续变化时，是r, t 的连续函数，假设的一阶偏导数，都是一元连续函数。设=，称为种群按年龄分布函数简称种群密度函数，由的单调性知且。设为充分小的年龄空间，0时，则t时刻年龄在r和+r之间的种群总数为，另外有=，=t时刻年龄在和（）之间的种群总数为设t时刻年龄在内平均单位时间内消亡总数为，为同一时刻年龄在内活着的种群数。定义 (1.2)称为相对消亡率函数，对于充分小的及，由t到,年龄在中消亡总数为即 =设为充分小的时间区间，t时刻在之间的种群总数为，过了时间到达时，在此期间消亡数为，而在此期间没消亡的种群到了时变成了年龄在中的种群，其总数为，用表示年龄在中的种群在时间内增长或消亡的种群总数，规定增生为正，消亡为负，称为t时刻r岁种群的增消率，由于r和t具有相同的量纲，所以，于是有下式成立 (1.3) 变化为等式两边同除以得到由于，令得到 (1.4) 这就是所求种群连续发展方程，这是一阶线性偏微分方程。取可得初始条件，可由统计数据给出。设边界条件为，若设为t时刻消亡与增殖数之比，称为更新率为种群增殖成活率，则在t时刻在内消亡数为所以有 (1.5) 由此可得 (1.6)这即为种群发展方程的连续模型，这是一阶线性偏微分方程系统。2、半离散种群发展方程当t连续r离散时的种群发展方程称为半离散模型。下面用半离散逼近法求半离散模型。给定区间的一个分划，记，用表示t年代满 岁但不满岁的种群总数，则 (2.1)由于这里，从而 (2.2)其中,对（1）中第一个方程两边从 到 积分得=即 由（2）有 这里,舍掉高阶项有 (2.3)当取年龄间隔为1，即时 ，为 (2.4) 即对初始条件做离散化处理记 则有 (2.5) 对于外界条件 有对右端应用积分中值定理有所以有 即有 (2.6)因此我们有半离散模型: (2.7) 引进向量和矩阵记号有XGXAB则（2.7）即半离散模型可表示为 (2.8)这是一阶线性常微分方程组。下面考虑半离散模型（2.8）在定常情况下的稳定性。（定常情形指消亡率、成活率、增消率都不随时间变化）。在一个相对安定的环境下，方程（2.8）可变为： (2.9)其中 A=B 称为种群的增生率.A、B都是m-1阶常数方阵，容易得出A+的特征多项式= (2.10)对于 的增生率 称为种群临界增生率由（2.10）易推得=由文2的方法可证明下述结论引理2.1: 0是A+的代数单特征值引理2.2:当时,A+有且只有一个正特征值,且此特征值的代数重数为1引理2.3当 时，A+ 的每个特征值都有负实部；且A+ 的每个非零特征值也具有负实部。从引理2.1、引理2.2、引理2.3易得定理2.1：对于系统（2.9），如果 ， 那么系统是不稳定的；如果 ，那么系统是渐近稳定的，即对任意初始值，系统（2.9）的解 随时间t的增加指数衰减到零的；如果 ，那么系统稳定。上述结果与文3中连续型方程的稳定性一致。3、离散种群发展方程为便于数值计算以利于统计分析，在定量计算中，为了用计算机求解种群发展方程，必须把r和t同时离散化。离散后的r和t我们 取整数值以年度为单位，将连续种群方程变成一个差分方程组，这即为种群发展过程的离散模型。离散模型不但适合于计算机计算、模拟和数据处理，而且又与传统的统计方法相一致。下面我们在半离散模型的基础上建立离散模型。对r离散，由半离散模型有，记为种群状态向量。再对t离散，单位取年，由(1.3)有p（r+）消去 ，令 ，上式两边对r 从i 到 积分，得到 (3.1)对等式右边第一项应用积分中值定理，有这里满足定义 为 t年代i岁按年龄消亡率，则（3.1）为或 (3.2)这里对于初始条件p(r,0)=作离散化处理，记 , 有 (3.3)对于边界条件，p(0,t)表示t时刻单位时间内种群的新增生数，取，则p(0,t)就是 t-1 年到t年新增生种种群数，由p(0,t)= 有 (3.4)（3.4）的实际意义是这样的，表示t年代I岁种群的消亡数， 表示消亡后I岁种群的消亡数，表示消亡后I岁种群的增殖更新数，为成活率，则 表示t年代I岁种群的增生数。因此即 为t年代各年龄种群增生数。如对于森林系统，表示t年i龄级林木采消率， 为t年代林木更新率即林木更新棵数与采消棵数之比，表示成活率，即 。因此表示t年代i龄级林木采伐棵数，则表示t年代i 龄级林木更新增殖数，表示t年代i龄级林木增值成活数，表示t年代各龄级林木增植成活总棵数。于是得到离散种群方程组（时间与林龄同步纯林离散模型）： (3.5) （3.5）是一个以年度为时间间隔的查分方程组，引进向量和矩阵符号：G(t)= HB则（3.5）可表示成 这里H(t)称为种群状态转移阵，B(t)称为种群消亡阵,G(t)称为干扰向量，加上初始条件可得完整的种群发展离散模型 (3.6)（3.6）是一个离散的双线性系统，是控制量，通过改变 来达到控制种群状态的目的。对于离散系统（3.6），由文23，可得到与半离散情形一致的稳定性结果。 参考文献： 1. 姜启元. 数学建模 2. 宋 健. 于景元, 人口控制论. 1985 ,190-2013. Wang Dingjiang , The Stability of Forest evolution systems and the Critieal Proliferation rate of forest ,Applied Functional Analysis. 1995.Vol2.235-2384. Song jian etal.Scientia sinica (seriesA) (2)1996.113-123 5. Pazy A. Semigroups of Linear operators and applications to partial differential equations. Spinger-verlay New Yor ,1983 A Class of Bio -population Model and Its stabilityAbstract: In this paper , We study a class of poplution evlution equations, the continuous model and semidiscrete models and discrete models of the population systems with age-dependent isestablisbed . We also discussed its stability .Key words : population model; semidiscrete; stability; eigenvalue