应用F展开法求解HirotaSatsuma方程组的精确行波解毕业论文

红河学院本科毕业论文（设计）2013年度本科生毕业论文（设计）应用F-展开法求解Hirota-Satsuma方程组的精确行波解院 系： 数 学 学 院 专 业： 信息与计算科学 年 级： 2009 学生姓名： 学 号： 200905050330 导师及职称： 2013年5月2013Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate The F - expansion method for solving Exact Traveling Wave Solutions of Hirota-Satsum equationsDepartment: College of MathematicsMajor: Information and Computing ScienceGrade: 2009Students Name:dong lianhuaStudent No.: 200905050330Tutor: Rui weiguo ( Professor) May, 2013毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果.对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意. 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明 本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版.有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容.保密的论文（设计）在解密后适用本规定. 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 摘 要在本文中引入一个辅助方程，通过这个辅助方程来构造Hirota-Satsuma方程组的精确解，利用这个辅助方程的解，获得了Hirota-Satsuma方程组的各种行波解，包括周期解，孤立波解，扭子波解，紧孤立波解等.关键词：Hirota-Satsuma方程组；F-展开法；行波解；周期解；孤立波解； 扭子波解；紧孤立波解ABSTRACTIn this paper, a auxiliary equation is introduced. By using this auxiliary equation, the exact solutions of Hirota-Satsuma equations are established .that is, different kinds of exact traveling wave solutions of Hirota-Satsuma equations are obtained by use of solution of this auxiliary equation ,these exact solutions include periodic wave solutions, solitary wave solutions,kink wave solutions and compacton wave solutions.Keywords: Hirota-Satsuma equations; F-expansion method; traveling wave solutions; periodic solutions; solitary wave solutions; kink wave solutions;compacton wave solutions目 录第一章 绪论11.1 研究现状11.2 研究方程11.3 研究内容1第二章 F-展开法3第三章 求解方程组53.1 一般形式的精确解53.2 函数的行波解7第四章 小 结36参考文献37致谢38红河学院本科毕业论文（设计）第1章 绪论1.1 研究现状 非线性科学是近30年来在综合各门以非线性为特征的科学研究基础上形成的，是继量子力学，相对论之后20世纪自然科学的重大发现. 最近,出现了许多求非线性发展方程精确解的新方法,如:齐次平衡 ,双曲正切函数展开, 椭圆函数展开 , F-展开 等. 它们各自对于某一类方程求某一种形式的行波精确解是十分有效的.其中椭圆函数展开法 , F-展开法对于求非线性发展方程的 椭圆函数解是十分有效的.对于Hirota-Satsuma方程人们一直通过各种方法进行研究，发现非线性发展方程( 组) 的精确孤立波解在数学物理问题研究中起着重要的作用.孤立波精确解除了自身的物理意义之外还可以应用于数学物理方程解的定性研究、鉴别数值方法和近似方法的有效性. 但是由于非线性发展方程的复杂性, 对它的求解研究还是非常困难的. 这些方法各有其优劣点, 只适用于各自的特殊类型的方程( 组)的求解,求解非线性数学物理方程( 组) 的还没有系统而有效的方法.所幸的是孤子理论中蕴涵着很多求解精确解的有效方法，如反散射法(IST)7-9,Hirota双线性法10，Painleve有限展开法11-12，延拓法及Lie群法13等.但目前科学理论和技术的发展迫切需要研究有效的求解方法.所以求非线性数学物理偏微分方程的精确解是人们探索的课题,需要研究有效的求解方法.目前，非线性科学已成为当代研究的焦点.1.2 研究方程(1)非线性Hirota-Satsuma方程组14 (1-1)1.3 研究内容本文主要是针对非线性耦合方程组（1.1）的特点，构造一个辅助方程，通过采用齐次平衡法、F-展开法及辅助方程的解来得到方程组(1.1）的行波解，并利用数学软件Maple得到行波解的几个典型波形图.论文主要分为三个章节来写：第一章 主要写研究此问题的背景，研究方程的由来及论文的大体情况； 第二章 主要介绍论文用到的概念及研究方法； 第三章 论文研究的全过程及得到的结果； 第四章 论文小结.1红河学院本科毕业论文（设计）第2章 F展开法 F-展开法是齐次平衡原则的新应用，可视为椭圆函数、三角函数以及双曲正切函数展开法的概括.考虑非线性波方程(PDE) (2-1)为其变元的多项式，其中包含有非线性项和高阶偏导数寻求它的行波解为 (2-2)其中为非零常数，是任意实常数.(2.1) 经(2.2) 行波变化为 . (2-3) 依据F 展开法，首先，假设(2.3) 的解u() 具体形式为 (2-4)其中 为待定常数，且函数满足如下的一阶常微分方程 (2-5)其中A, B , C 为待定常数. 然后，利用齐次平衡原则 ，确定(2-4) 式中的n ， 使得(2-4) 式可以平衡(2-3)中的非线性项和最高阶导数项. 将确定了n 的(2-4) 式代入(2-3) 式，求出使(2-3) 成立的各个待定常数. 再将求出的常数代入（2-4）式，这样在形式上就得到了（2-3） 式的F-展开解(2-4) . 最后，根据表1 F 函数就可以取成相应的 椭圆函数，从而就得到了（2-3）式的精确行波解.表一方程与之相应的椭圆函数解的关系15:（其中=）No NO12345678,A0,A0,A0,0,A0,A0,0,A0,A0,c0A09 10111213141516,A0,C0A0,A0,=0,A0,=0,A0,A0,B=0,A=0 ,C0,A=B=033第3章 求解方程组 本文的主要工作是采用F-展开法、齐次平衡法及辅助方程法来解如下Hirota-Satsuma 方程组 (3-1) 3.1 一般形式的精确解为了寻求方程组(3.1)的精确孤立波解，我们可设 ， ， ， (3-2)其中待定，把(3.1)式代入方程组(3.0）可得下列常微分方程组 (3-3) 现假设能表示成有限级数 (3-4)这里是待定常数，而满足一阶非线性常微分方程 (3-5)根据改进的F展开法和齐次平衡法，我们假设可以表示如下： (3-6) 将(3-6)代入方程(3-3)，并利用(3-5)式，将方程(3-3)化为的多项式,消去。令多项式的系数为零，得到一个超代数方程组 （3-7） （3-8） (3-9) (3-10) (3-11) (3-12) (3-13) (3-14) (3-15) (3-16) (3-17) (3-18) 求解代数方程组(3-7)-(3-18)，取以下四种情况的解组： 情形： （3-19） 情形 ： (3-20)情形： (3-21) 情形： (3-22) 3.2 函数的行波解 通过运用方程(3-3)的结果与对应的关系表，分别把16个解带入四种情形可得到以下一系列的解.对于情形I： (3-23) (3-24) (3-25) (3-26) (3-27) (3-28) (3-29) (3-30) (3-31) (3-32) (3-33) (3-34) (3-35) (3-36) (3-37) (3-38) (3-39) (3-40) (3-41) (3-42) (3-43) (3-44) (3-45) (3-46) （3-47） （3-48） (3-49) (3-50) (3-51) （3-52） （3-53） （3-54） (3-55) （3-56） （3-57） （3-58）对于情形II ： (3-59) (3-60) (3-61) (3-62) (3-63) (3-64) (3-65) (3-66) (3-67) (3-68) (3-69） (3-70)(3-71) (3-72) (3-73)(3-74)(3-75) (3-76) (3-77) (3-78) (3-79) (3-80) (3-81) (3-82) (3-83) (3-84) (3-85) (3-86) (3-87) (3-88) (3-89)(3-90) (3-91) (3-92) (3-93) (3-94)(3-95) (3-96) (3-97) (3-98) (3-99) (3-100) (3-101) (3-102) (3-103)(3-104) 对于情形 ： (3-105) (3-106) (3-107) (3-108) (3-109) (3-110) (3-111) (3-112) (3-113) (3-114) (3-115) (3-116) 对于情形 ： (3-117) （3-118） （3-119） （3-120） （3-121） （3-122） （3-123） （3-124） （3-125） （3-126） （3-127） （3-128） （3-129） （3-130） （3-131） （3-132） （3-133） （3-134） （3-135） （3-136） （3-137） （3-138） （3-139） （3-140） （3-141） (3-142) （3-143） （3-144） （3-145） （3-146） （3-147） （3-148）借助maple软件，取适当的参数，可以画出原方程在不同解形式下的图形，为了更形象和对比，分别画出了三维图和对应的二维图.如下： 3-1-1 三维波形图 3-1-2 二维波形图 图3-1.孤立行波解（3-22)的三维图和二维图 其中，（a）是孤立行波解（3-22)在参数条件 的三维图，（b）是孤立行波解（3-22）在参数条件的二维图. 3-2-1 三维波形图 3-2-2 二维波形图 图3-2.孤立行波解（3-24）的三维图和二维图其中，（a）是孤立行波解（3-24）在参数条件 的三维图，（b）是孤立行波解（3-24）在参数条件的二维图. 3-3-1 三维波形图 3-3-2 二维波形图 图3-3.周期行波解（3-54）的三维图和二维图其中，（a）是周期行波解（3-54）在参数条件 的三维图，（b）是周期行波解（3-54）在参数条件 的二维图. 3-4-1 三维波形图 3-4-2 二维波形图 图3-4.周期行波解（3-56）的三维图和二维图其中，（a）是周期行波解（3-56）在参数条件 的三维图，（b）是周期行波解（3-56）在参数条件 的二维图. 3-5-1三维波形图 3-5-2 二维波形图 图3-5.紧孤立波解（3-28）的三维图和二维图其中，（a）是紧孤立波解（3-28）在参数条件 的三维图，（b）是紧孤立波解（3-28）在参数条件 的二维图。 3-6-1 三维波形图 3-6-2 二维波形图 图3-6.紧孤立波解（3-29）的三维图和二维图其中，（a）是紧孤立波解（3-29）在参数条件 的三维图，（b）是紧孤立波解（3-29）在参数条件 的二维图. 3-7-1 三维波形图 3-7-2 二维波形图 图3-7.扭子波解（3-40）的三维图和二维图其中，（a）是扭子波解（3-40）在参数条件的三维图，（b）是扭子波解（3-40）在参数条件 的二维图. 红河学院本科毕业论文（设计）第四章 小 结本文通过构造辅助方程将求解非线性偏微分方程组的问题转化为求解代数方程组的问题，F-展开法从而求出了非线性方程组的大量椭圆函数的周期解.利用数学软件Maple一系列波形图. 文章中获得的结果，与现有文献14中的结果相比，在解的形式上是不相同的.我认为，本文的结果在广义Hirota-Satsuma方程精确求解方面，起到了一定弥补性的作用，并具有一定的应用前景，丰富了文献14中的内容.参考文献1 Wang Mingliang ,Zhou Yubin ,Li Zhibin. Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physicsJ.Phys.Lett.A.,1996,216:67-75.2 Fan E. Extended tanh2function method and it s applications to nonlinear equationsJ.Phys.Lett.A.,2000,277:212-218.3 刘式适,傅遵涛,刘式达等. 椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中的应用J .物理学报,2001 ,50 (11) :2068-2073.4 Zhou YB,Wang ML,Wang YM. Periodic wave solution to a coupled KdV equation with variable coefficientsJ.Phys. Lett .A.,2003,308:31-36.5 Wang DS,Zhang HQ.Further improved F-expansion method and new exact solutions of Konopelchenko-Dubrovsky equationJ.Chaos,Solitons and Fractals,2005,25:601-610.6 Zhou Yubin ,Wang Mingliang ,Wang Yueming. Periodic wave solutions toa coupled KdV equations with variable coefficientsJ. Phys.Lett.A.,2003,308 :31-36.7 何进春，黄念宁.关于KdV方程的孤立波解J.应用数学，2007,20(1):145-150.8 唐亚宁，徐伟.申建伟.Gardner方程的孤立波解J.工程数学学报,2007,24(1):119-127.9 刘希强.非线性发展方程精确解的研究J.聊城大学学报:自然科学版，2005,18(2):9-13.10 Gamze Tanoglu.Hirota Method for Solving Reaction Diffusion Equations with Generalized NonlinearityJ.International Journal of Nonlinear Science,2006,1(1):30-36.11 诸跃进.推广的Painleve展开法及非线性耦合标量场方程的精确解J.宁波大学学报:理工版,1998,11(2):22-27.12 闫振亚,张鸿庆.具有阻尼项的非线性波动方程的相似约化J.物理学报,2000,49(11):2113-2117.13 田畴.李群及其在微分方程中的应用M.北京:科学出版社,2001:23-26.14 Jin-Liang Zhang, Ming-Liang Wang, Yue-Ming Wang, Zong-De Fang.The improved F -expansion method and its applicationsJ. Phys.Lett.A.,2006, 350:103-109.15 Sheng Zhang.A generalized auxiliary equation method and its application tothe (2 +1)-dimensional KdV equations .Applied Mathematics and ComputationJ.Phys.Lett.A.,2007,188:1-6.致谢本设计的完成是在我们的导师芮老师的细心指导下进行的.在每次设计遇到问题时芮老师不辞辛苦的讲解才使得我的设计顺利的进行.从设计的选题到资料的搜集直至最后设计的修改的整个过程中，花费了芮老师很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心地感谢!导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使学生受益终生!还要感谢和我同一小组的几位同学，是你们和我一起探讨问题，并指出我论文上的误区，使我能及时的发现问题把论文顺利的进行下去，没有你们的帮助我不可能这样顺利地结稿，在此表示深深的谢意.最后我还要感谢数学学院和我的母校红河学院四年来对我的栽培.37