Hilbert空间中的框架与Riesz基

桂林电子工业学院学报JO URNAL O F GU IL IN UN IVERS ITY O F EL ECTRO N IC TECHNOLO GY第 25 卷 第 3 期2005 年 6 月V o l. 25, N o. 3J un. 2005H ilb e r t 空间中的框架与R ie sz基丁宣浩, 孙建明, 杨美香(桂林电子工业学院 计算科学与数学系, 广西 桂林 541004)细致地讨论了在H ilbe r t 空间中的框架与R ie sz 基的关系。 设V j 是L 2 (R ) 的一个多分辨分析,摘要: j W j V j = V j + 1 , 母小波 (x ) W 0 使得j k (x ) = 2 2 (2j x - k ) k Z是W j 的R ie sz 基。将证明j , k j ,k Z是整个空间L 2 (R ) 的R ie sz 基并且存在唯一的对偶小波 使得 与 满足双正交条件。关键词: 框架; R ie sz 基;中图分类号: TN 911多分辨分析; 小波文献标识码: A文章编号: 100127437 (2005) 03279205k Z H , 如果存在正常数A 和Bck l2 都有使得对一切序列1定义设Z 是整数全体, R 是实数全体, L 2 (R ) 为R 上的勒贝格平方可积函数全体。C 为复数全体,T = z : | z | = 1 C为 单位圆周。 在小波分析的理论和应用中, 框架与 R ie sz 基以及多分辨分析起着重要作用。 虽然许多小 波分析的专著都有这些概念1- 7 , 但它们之间的关 系并不是十分清楚。为讨论框架与R ie sz 基的关系以 及 多分辨分析构造 R ie sz 基的作用, 先给出所需的定 义。A c 2k ck k B ck ,22(1)k并且k: k Z的线性张成的子空间在 H 中稠密, 则称k : k Z是H 的R ie sz 基。定 义 3设 H 为 可 分 的 H ilb e r t 空 间, 向 量 族j j J H , 如果存在正常数A 和B , 使对所有的 f H 成立A f | (f , j ) |222 B f ,j J则称j j J 为H 的一个框架, 称A 和B果两个框架界相等, 则称为紧框架。为框架界。如L 2 (R ) 的闭子空间序列V j 称为一个多定义 1分辨分析, 如果它满足以下条件:定义 4设j j J 为可分H ilb e r t 空间 H 的一个框架, 框架算子 F : H l2 (J ) 定义为F (f ) = (f , j ) | j J , f H .这里J 是一个可列的指标集。(1)(2) V - 1 V 0 V 1 ,闭包c lo s ( V j ) = L 2 (R ) ,j = - (3)(4) ( 5) V j = 0,j = - f (x ) V j f (2x ) V j + 1 ,存在 (x ) L 2 (R ) 使(x -2框架与R ie sz 基k ) : k Z 是V 0的一个R ie sz 基,(6) f (x ) V j f (x + 1 ) V j .根据文献 2 ,框架算子有下面的一些性质:引理 1设j j J 为可分H ilb e r t 空间 H 的一个 框架, 其框架界为A 和B , F 是框架算子, 则有:2称 (x ) V 0 为生成L 2 (R ) 的多分辨分析V j 的尺度函数。 所谓R ie sz 基的定义为:F 是H l J ) 的有界线性算子, F 2 B ;2 (1)(2)32 (F 的伴随算子 F : l J H)的作用为定义 2设H 是可分的H ilb e r t 空间, 向量族k: 收稿日期: 2005- 02- 19基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 10361003)作者简介: 丁宣浩 ( 19572) , 男, 四川开江人, 桂林电子工业学院计算科学与数学系教授, 主要研究算子理论与小波分析.1 | (f , .F 3 cj =(3) F 3 F 是Hcj j , cj l2 (J ) ;| 2j )Aj J上的有界可逆线性算子;j J综合上述, 对任意 f H 有( 4) 令 j = (F 3 F ) - 1 j , 则 j j J 也是H的框架,A f 2 | (f , j ) | 2 B f 2,框架界为B - 1 和A - 1 , 称 j j J 为j j J 的对偶框架;j J即j j J 是 H 的一个框架。 且框架界与 R ie sz 界相同。 由 (1) 式知j j J 是 l2 线性无关的。 证明(2) (1) . 设对任意 f H 有设 F 是相对于框架 j j J 的框架算子, F3( 5)是其伴随, 则 F3 F = F 3 F = I 为 H上的恒等算子, 从而任意 f H有两种级数表示:A f | (f , j ) |222 B f .f = (f , j ) j = (f , j ) j.j Jj Jj J令算子F H l2 (J ) , f H , F (f ) = (f , j ) j J ,容易看到F 是线性有界且下方有界算子, 因此F 有闭 值域且F 2B . F 的伴随算子下面的定理 1 在文献 3中以不同的形式出现, 而且证明不完整, 这里给出完整的证明。定理 1设j j J 是可分H ilb e r t 空间 H列向量, 则下述命题等价:中的一F l J H , cj l2 (J ) , F 3 cj = cj j.32 ()(1)j j J 是H 的R ie sz 基;j J(2) j j J 是H 的框架, 且j j J 是l2 (J ) 线性无关的, 即对任意cj j J l2 (J ) ,cj = F 3l2若cj = 0, 由 的线性无关性推知所jjj J有的 c = 0 .j即算子 F 3 的零空间cj j = 0,如果则k e rF 3 = 0 ranF = ranF =j Jcj = 0, j J .3 ) 2 (k e rF =)l J .- 1因此 F 存在有界逆算子 F且容易得到证明( 1) 在正常数A 和B( 2).j j J 是 H的 R ie sz 基, 则存F - 1 2 1 ,使对任意cj j J A这样 F 3 - 1 H l2 (J ) 是有界线性的, 对cj l2 (J ) ,l2 (J )A cj 2 cj j 2 B cj 2(1)有j J定义算子F 3 - 1 (cj j ) = cj j J S : l2 (J ) H , cj j J l2 (J ) ,j J3 - 1 2cj Fcj j 22S cj j J = cj j ,j Jj J则S 是有界线性算子且 是下方有界的, S 2 B1 且Scj j 2 .A有闭值域, 即 ranS = ranS H . 但是j j J 的线性张成 空 间 sp an j : j J ranS , 由 R ie sz 基 的 定 义,j J2 (对c lJ ) 成立。jA cj cj j =22sp an j j J = H , 因此 ranS = H . 这样 S是有界可逆j J线性算子。由逆算子定理, S - 1 是H 到 l2 (J ) 上的有界F 3 c 22j B cj .线性算子, 且容易看到S - 12 1 . 又 S对任意 f H , 由引理 1 知,的伴随算子Af = (f , j ) j ,S 3 : H l2 (J ) 满足j JS 3 f (f , j ) j J l2 (J ) , f=H故 j j J 的线性张成在 H 中稠密, 因此 j j J 是 H| (f , j ) | 2 =的R ie sz 基。 证毕。推论 1如果 j j J 是可分 H ilb e r t 空 间 H 的R ie sz 基, 则任意 f H , 存在唯一的j JS 3 f 2 B f 2.而S 3 - 1 l2 (J ) H , f H , S 3 - 1 (f , j ) =cj j J l2 (J ) , 使得 f = cj j.f ,j J若j j J 是H ilb e r t 空间H 的 R ie sz 基,S 3 - 1 (f , j ) 2 推论 2f 2 =于是S 3 - 1 2 (f , j ) 2 j j J 是 j j J 的 对 偶 框 架, 则 j j J 也 是 H 的R ie sz 基。定理2闭子空间,取所有的 cj = 0, 便有A d j 2 cj j 2 B d j 2 .设V 1 , V 0 ,W 0 都是可分H ilb e r t 空间H的j又对 任 意 g W 0 V 1 , 由 于 j , j j Z 是 V 1 的R ie sz 基, 因而存在序列cj , d j l2 使得V 1 = V 0 W 0 ,若j j J 是V 0 的R ie sz 基, 则j j J 是W 0 的R ie sz 基 的充分必要条件是j , j j J 是V 1 的R ie sz 基。cj j + d j j ,g =jj从而证明(1)先证必要性。f V 1 , 可唯一分解为f = f 0 + g 0 ,g - d j j = cj j W 0 V 0 = 0.jj其中f 0 V 0 , g 0 W 0.这样 g = d j j , j j Z 的线性张成在W 0 中稠cj = j , g 0 =这样存在 l2 中的序列cj , d j 使 f 0 =j密。 因此j j Z在W 0 的R ie sz 基。 证毕。设尺度函数 (x ) 生成L 2 (R ) 的多分辨分析V j ,jd j j , 从而jj 2则(x - k ) k Z是V 0 的R ie sz 基。令 j k (x ) = 2f = cj j + d j j , j , j j J jj(2j x - k ) , 则j , k k Z是V j 的 R ie sz 基, 且j , k k Z 的 R ie sz 界与 (x - k ) k Z 的 R ie sz 界相 同。的线性张成在V 1 中稠密。 又定义J l2 V 1 让 J (cj , d j ) = (cj j +d j j ),j JJ (cj , d j ) 2则(cj j + d j j ) 2 3由多分辨分析生成的R ie sz 基jj2 (cj j 2+ d j j 2)设尺度函数 (x ) 生成L 2 (R ) 的一个多分辨分析V j ,W 0 + V 0 = V 1 , 两尺度关系的频域形式为j是有界线性算子。 明显的J (cj , d j ) = 0 cj =jJd j = 0, () = P (z ) ( ) , 2即J是单射。 又f V 1 , f = f 0 +取函数 (z ) , 使满足0 m | (z ) | M g 0 ,其中f 0 V 0 , g 0 W 0.且 (-令z ) = - (z ) 对几乎所有的 z T 成立。根据R ie sz 基的性质, 存在唯一的 l2 序列cj , d j 使 (Q (z ) = (-z ) P -z ) ,f 0 = cj j , g 0 = d j j , = Q z ) ( )jj(则由方程)(于是J (cj , d j ) = f , 故J 是满射。根据逆算子定理, J存在有界的逆算子J - 1. 这样对任意cj , d j l2 ,cj , d j = J - 1J cj , d j J - 1 J cj , d j ,2确定的小波 (x ) W 0 且(x - k ) k Z是W 0 的R ie sz 基。j , k (x ) = 2j 2 (2j x - k ) ,令W j = sp an j , k ) k Z,故J - 1 - 2 cj , d j 2 J cj , d j 2 =则j , k (x k Z是W j 的R ie sz 基。很自然的要问,)2 ( (cj j + d j j ) 2 整个集族j , k (x ) j , k Z 是L R ) 的 R ie sz 基吗?我们的回答是肯定的。设两尺度序列p n , qn l2 , (x - k ) k Z是W 0 的R ie sz 基, 则两尺度矩阵j2 (B 1 + B 2 ) cj , d j 2因此j , j j J 是V 1 的R ie sz 基。(2)充分性。 设j , j j J 是V 1 的 R ie sz 基,P (z )Q (z )P (-Q (-z )z )则 存在正常数A , B 使得对任意cj , d j l2 l2成立A cj , d j 2 M (z ) =几乎处处可逆,G (z )H (z )G (-z )T ( ) - 1cj j + d j j 2Mz =H (- z )jjB cj , d j 2 ,中的元素都属于L 2 (T ) , 令2 (P (z ) = G (z ) , Q (z ) =H (z )波, 从而j , k j , k Z是LR ) 的R ie sz 基。B (z )B (z )由尺度函数 (x ) 可以构造出小波函数证明0 A 1 B (z ) B 1 ,由于(x ) 使得(x -k ) k Z是W 0 的R ie sz 基。 这样就所以P (z ) , Q (z ) 也都属于L 2 (T ) ,度函数与对偶小波由此确定的对偶尺可以如引理 2 一样构造 (x ) 与 (x ) , (x ) 生成多分辨分析V j , (x ) 生 成 小 波 空 间 W j , 而 且 V j (w ) = P (z ) ( ) , W j , 但是W j = W j , 因此V j W j , 这样便有2L 2 (R ) = W - 1 W 0 W 1 (w ) = Q (z ) ( )由于j , k k Z是W j 的R ie sz 基, 所以2中定理4. 3 在假定两尺度(j , k , l, m ) = 0,都属于V 1 L 2 (R ) , 文献2对 j l 成立, 即 是半正交小波。又根据(x - k ) k Z 是W 0 的 R ie sz 基容易序列p n , qn l2 的情况下仍然成立, 即有引理 2如果(x - k ) k Z 是W 0 的 R ie sz推出j , k k Z是W j 的具有同样 R ie sz 界的 R ie sz基, 则如上定义的函数 (x ) 与 (x ) 满足, l2 有基, 即存在正常数A , B , 使得对一切cj k(0, n , 0, m ) = n , m , (0, n , 0, m ) = n, m ,22A| cj , k | cj , k j , k (0, n , 0, m ) = 0, (0, n , 0, m ) = n , m Z.0,k = - k = - 正如文献 2所指出的, 记 | cj , k |2 j ,B (2j x -j , k (x ) =k ) ,2k = - j j , k (x ) =2 2 (2j x -k ),j , k j , k cl, k l, k , j l,由于c定义k = - k = - 这样根据勾股定理就得到Vj= clo sL 2 (R ) ( j , k k Z) ,Wj= clo sL 2 (R ) (j , k k Z) ,这时, V j 也形成L 2 (R ) 的一个多分辨分析, 并且V j + 1 = V j + W j ,由引理 3 可得 | cj , k | 2 Aj = - k = - cj , k j , k 2 =j = - k = - V j Wj , V W j , j Z, cj , k j , k 2 j, 以及 , 满足双正交的条件:j = - k = - (j , k , l, , m ) = (j , k , l, , m ) =B | cj , k | 2 .j , l r k , m,j = - k = - j , l r k , m .j , k j , k Z的线性张成在L 2 (R ) 中的稠密性是清一般认为, V j 与V j 是不一样的多分辨分析, 但笔 者认为V j 与V j 是一样的多分辨分析, 即有如下的 结果。引理 4给定两尺度序列p k , qk l2 , (x -2 ()楚的, 所以j , k j , k Z是L R 的R ie sz 基。证毕。一般说来, R - 函数不一定是 R - 小波, 但定理 3 肯定了, 由多分辨分析产生的母小波 是半正交小 波, 当然也是R - 小波。的对偶就是依据引理2 定义 的 , 它们满足双正交的条件(j , k , l, m ) = j , l k , m从而每一个 f L 2 (R ) 有两个小波级数表示:k ) k Z是W 0 的R ie sz 基, 设 (x ) 与 (x ) 如引理 2中所定义, 则 (x ) V 0 , (x ) W 0 ,而且 (x - k ) k Z是V 0 的R ie sz 基, (x - k ) (f , j , k ) j , k (x ) =f (x ) =k Z是W 0 的 R ie sz 基, 从而V j = V j 及W j = W j , jj , k(f , j , k ) j , k (x ).Z, 与 生成同样的多分辨分析。j , k由于由一个尺度函数可以生成许多的母小波, 因此构造对偶小波的方法不是唯一的。但是一个已知的母小 波的对偶小波却是唯一的。任 意 给 定 L 2 (R ) 的 一 个 多 分 辨 分 析定 理 3V j , 设W j V j = V j + 1 , 则必然有W j V j , 从而L 2 (R )有正交和分解:L 2 (R ) = W - 1 W 0 W 1 由L 2 (R ) 的多分辨分析产生的小波 必定理 4然有一个唯一的对偶 , 使得j , k j , k Z与j , k 而且由尺度函数 (x ) 生成的母小波 (x ) 是半正交小由 f 的任意性, 得出 = 3 . 证毕。j , k Z都是L 2 (R ) 的R ie sz 基, 且满足双正交条件:(j , k , l, m ) = j , l k , m证明: 只需证明对偶的唯一性。事实上, 对每一个f L 2 (R ) 都有两个小波级数表示:参考文献:1Y. M eye r 著. 尤众译. 小波与算子 M .司, 1992.北京: 世界图书出版公f (x ) = (f , j , k ) j , k (x ) =2程正兴. 小波分析算法与应用 M . 西安: 西安交通大学出版社,1998.崔锦泰著, 程正兴译. 小波分析导论 M . 西安: 西安交通大学出 版社, 1995.j , k (f , j , k ) j , k (x ) .3j , k假设 3 也是 的对偶, 那么每一个 f L 2 (R ) 也有小 波级数表示:4冯象初, 甘小冰, 宋国香. 数值泛函与小波理论 M .电子科技大学出版社, 2003.西安: 西安f (x ) = (f , 3 k ) j , k (x ) =j ,5M a lla t S. A W ave le t T o u r o f S igna l P ro ce ssing M . A cadem icP re ss, N ew Yo rk , 1999.Bo gge ss A , N a rcow ich F J. A F ir st Co ue se in W ave le t s w ithFo u r ie r A na ly sis M . A cadem ic P re ss, N ew Yo rk , 2001.D aubech ie s I. T en L ec tu re s o n W ave le t s M . P h ilade lp h ia: S IAM P ub l, 1992.j , k (f , j , k ) 3 k (x ) .j ,6j , k而且也满足双正交条件:7(j , k , 3 k ) =j , l k , m ,j ,从而推出 (f , j , k ) = (f , 3 k ) ,j ,Fram e s an dR ie sz Ba se s in H ilber t spa ceD IN G X u a n 2h a o, S U N J ia n 2m in , YA N G M e i2x ia n g(D ep t. o f Com p u t in g Sc ien ce an d M a th em a t ic s, Gu ilin 541004, C h in a)A bstra c t: W e w ill d iscu ss m e t icu lo u sly th e re la t io n sh ip b e tw een f ram e an d R ie sz b a sis in H ilb e r t sp ace. L e tV j b e a m u lt ire so lu t io n an a ly sis o f L 2 (R ) , an d W j V j = V j + 1, th e m o th e r w ave le t (x ) W 0 w h ich m ak e s j j , k = 2 2 (2j x - k ) : k Zis a R ie sz b a sis o f W j . W e w ill show th a t j , k: j , k Z is a R ie sz b a sis in th ew ho le sp ace L 2 (R ) an d th e re is th e o n ly du a l w ave le t su ch th a t an d sa t isfy th e b io r tho go n a l co n d it io n.Key word s: f ram e, R ie sz b a sis, m u lt ire so lu t io n an a ly sis, w ave le t(责任编辑 林建玲)