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山西省阳泉市2016届高三全国高校招生考试模拟考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】考查集合的运算。，考查交集的定义，画出数轴可以看出。2设复数z=1i（i为虚数单位），则|1z|=（）ABC2D1【考点】复数求模【专题】数系的扩充和复数【分析】代入复数直接利用求模的运算法则求解即可【解答】解：复数z=1i（i为虚数单位），则|1z|=|1（1i）|=|2+i|=故选：A【点评】本题考查复数的模的求法，基本知识的考查3设an是等差数列，若log2a7=3，则a6+a8等于（）A6B8C9D16【考点】等差数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】根据a6+a8=2a7，即可得出结论【解答】解：由题意，log2a7=3，a7=8，an是等差数列，a6+a8=2a7=16，故选：D【点评】本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质，比较基础4 已知点在椭圆上，则的最大值为（）A. B.-1 C.2 D.7【答案】D5已知向量=（m，2），向量=（2，3），若|+|=|，则实数m的值是（）A2B3CD3【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；平面向量及应用【分析】将等式两边平方，运用向量的平方即为模的平方，结合向量的数量积的坐标表示，解m的方程，即可得到【解答】解：若|+|=|，则（+）2=（）2，即+2=2，即=0，由向量=（m，2），向量=（2，3），则2m6=0，解得m=3故选：B【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题6山西阳泉某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A2B3C4D5【考点】系统抽样方法【专题】计算题；概率与统计【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3故选：B【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键7如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内处和判断框中的处应填的语句是（）An=n+2，i=15Bn=n+2，i15Cn=n+1，i=15Dn=n+1，i15【考点】程序框图【专题】计算题【分析】首先分析，要计算需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算【解答】解：的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2n=n+2的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件而分母从1到29共15项i15故选B【点评】本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题8 三棱锥及其三视图中的正视图和俯视图如图所示，则 A.B.C.D.【答案】B【考点】考查空间几何体的表面积、棱长。9已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2xy的最大值是（）A6B0C2D2【考点】简单线性规划【专题】数形结合；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，a），B（a，a），由，得a=2A（2，2），化目标函数z=2xy为y=2xz，当y=2xz过A点时，z最大，等于22（2）=6故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系一定不成立的是（）Aa=cBb=cC2a=cDa2+b2=c2【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知第一个等式代入求出cosA的值，确定出A度数，再利用正弦定理化简第二个等式，求出sinB的值，确定出B的度数，进而求出C的度数，确定出三角形ABC形状，即可做出判断【解答】解：b2+c2a2=bc，cosA=，A=30，由正弦定理化简b=a，得到sinB=sinA=，B=60或120，当B=60时，C=90，此时ABC为直角三角形，得到a2+b2=c2，2a=c；当B=120时，C=30，此时ABC为等腰三角形，得到a=c，综上，b=c不一定成立，故选：B【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形与等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键11已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， =2（其中O为坐标原点），则AFO与BFO面积之和的最小值是（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=x，可得y2tym=0，根据韦达定理有y1y2=m，=2，x1x2+y1y2=2，从而（y1y2）2+y1y22=0，点A，B位于x轴的两侧，y1y2=2，故m=2不妨令点A在x轴上方，则y10，又F（，0），SBFO+SAFO=y1+|y2=（y1+）2=当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，BFO与AFO面积之和的最小值是，故选：B【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”12已知函数f（x）=g（x）=，则函数fg（x）的所有零点之和是（）ABCD【考点】函数的零点【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】先求得fg（x）的解析式，x0时，由，可解得：x=1或1（小于0，舍去）；x0时，由=0，可解得：x=，从而可求函数fg（x）的所有零点之和【解答】解：f（x）=g（x）=，fg（x）=，且fg（x）=x22x+2，（ 0x2）分情况讨论：x2或x=0时，由，可解得：x=1或1（小于0，舍去）；x0时，由=0，可解得：x=当 0x2时，由x22x+2=0，无解函数fg（x）的所有零点之和是1=故选：B【点评】本题主要考察了函数的零点，函数的性质及应用，属于基本知识的考查二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上。13已知tan=，则tan（+）=【考点】两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】由两角和与差的正切函数公式即可求值【解答】解：tan（）=故答案为：【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用，属于基本知识的考查14若是等差数列，首项，则使成立的最大正整数是_. 【答案】403015某次测量发现一组数据（xi，yi）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是0，3任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为（残差=真实值预测值）【考点】回归分析【专题】计算题；概率与统计【分析】求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答【解答】解：由题意，其预估值为1+1=2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1y03，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P=故答案为：【点评】本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题16点 A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意知，ABC是一个直角三角形，其面积为1其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的半径为r，因为球的表面积为，所以4r2=所以r=，四面体ABCD的体积的最大值，底面积SABC不变，高最大时体积最大，就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+=2四面体ABCD体积的最大值为SABCh=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17 已知函数（1）若，求的值；（2）在锐角中，分别是角，的对边；若的面积，求的值【答案】：2分（1），则， (2).,所以.又,所以,所以,即.又为,且，所以. 由余弦定理得.解得（舍负），所以.18如图，四棱锥PABCD中，BCAD，BC=1，AD=3，ACCD，且平面PCD平面ABCD（）求证：ACPD；（）在线段PA上，是否存在点E，使BE平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（I）利用面面垂直的性质定理即可证明；（II）线段PA上，存在点E，使BE平面PCD在PAD中，分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F，连接EF由平行线分线段成比例定理在三角形中的应用，即可得到EFAD，利用已知条件即可得到，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明【解答】（）证明：平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCD=CD，ACCD，AC平面ABCD，AC平面PCD，PD平面PCD，ACPD（）线段PA上，存在点E，使BE平面PCD下面给出证明：AD=3，在PAD中，分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F，连接EF，EFAD，又BCAD，BCEF，且BC=EF，四边形BCFE是平行四边形，BECF，BE平面PCD，CF平面PCD，BE平面PCD【点评】熟练掌握面面垂直的性质定理、平行线分线段成比例定理在三角形中的应用、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键19某机械厂今年进行了五次技能考核，其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，成绩统计情况如茎叶图所示（其中a是09的某个整数（1）若该厂决定从甲乙两人中选派一人去参加技能培训，从成绩稳定性角度考虑，你认为谁去比较合适？（2）若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在（90，100之间的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图【专题】概率与统计【分析】（1）根据甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，可得a值，求出方差比较后，可得结论；（2）先计算从甲的成绩中任取两次成绩的抽法总数，和至少有一次成绩在（90，100之间的抽法数，代入古典概型概率计算公式可得答案【解答】解：（1）由已知中的茎叶图可得：甲的平均分为：（88+89+90+91+92）=90，由甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，故乙的平均分：（84+88+89+90+a+96）=90，解得：a=3，则= （8890）2+（8990）2+（9090）2+（9190）2+（9290）2=2，= （8490）2+（8890）2+（8990）2+（9390）2+（9690）2=17.2，甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，但，从成绩稳定性角度考虑，我认为甲去比较合适，（2）若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析，共有=10种不同抽取方法，其中至少有一次成绩在（90，100之间有： =7种方法，故至少有一次成绩在（90，100之间的概率P=【点评】本题考查了平均数与方差以及概率的计算问题，难度不大，属于基础题，解答时要注意第二问范围不包括90在内20 已知椭圆的离心率为，右焦点为（，0）斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（3，2）（）求椭圆G的方程；（）求PAB的面积【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】综合题【分析】（）由椭圆的离心率为，右焦点为 （，0），知，由此能求出椭圆G的方程（）设l：y=x+b，代入，得4x2+6bx+3b212=0，根据韦达定理，故yA+yB=，由此能求出PAB的面积【解答】解：（）椭圆的离心率为，右焦点为 （，0），解得a=2，b=2，椭圆G的方程为（）设l：y=x+b，代入，得4x2+6bx+3b212=0，根据韦达定理，yA+yB=，设M为AB的中点，则M（，），AB的中垂线的斜率k=1，AB的中垂线：x+y+=0，将P（3，2）代入，得b=2，l：xy+2=0，根据弦长公式可得AB=3，d=，SPAB=【点评】本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的简单性质、直线和椭圆的位置关系、根与系数的关系、根的判别式、中垂线方程的求法、弦长公式等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的灵活运用21已知函数f（x）=exxm（mR）（1）当x0时，f（x）0恒成立，求m的取值范围；（2）当m=1时，证明：（）f（x）1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；导数的综合应用【分析】（1）令g（x）=exx，从而化恒成立问题为函数的最值问题，利用导数求解；（2）化简：（）f（x）=（xlnx）（1）；从而令h（x）=xlnx，n（x）=1，分别利用导数求函数的单调性，从而确定函数的最值，从而证明不等式【解答】解：（1）由题意得，exxm0恒成立对x0恒成立，令g（x）=exx，则g（x）=ex1，当x0时，g（x）=ex10，故g（x）在（0，+）上是增函数，故当x0时，g（x）g（0）=1；故若使exxm0恒成立对x0恒成立，则只需使m1；（2）证明：（）f（x）=（xlnx）（1）；令h（x）=xlnx，h（x）=；当0x1时，h（x）0，当x1时，h（x）0；即h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，h（x）h（1）=1令n（x）=1，n（x）=，故n（x）=1在（0，2）上是减函数，在（2，+）上为增函数；故n（x）n（2）=1故由可得，（）f（x）1【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的处理方法，属于中档题请考生在第22、23、24三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选做题号后的方框涂黑。22如图，ABO三边上的点C、D、E都在O上，已知ABDE，AC=CB（l）求证：直线AB是O的切线；（2）若AD=2，且tanACD=，求O的半径r的长【考点】与圆有关的比例线段【专题】立体几何【分析】（1）如图所示，连接OC由ABDE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB由于AC=CB，可得OCAB即可得出直线AB是EO的切线（2）延长AO交O于点F，连接CF由（1）可得ACD=F由tanACD=，可得tanF=由于ACDAFC，可得，再利用切割线定理可得：AC2=AD（AD+2r），即可得出【解答】（1）证明：如图所示，连接OCABDE，OD=OE，OA=OBAC=CB，OCAB直线AB是EO的切线（2）解：延长AO交O于点F，连接CF由（1）可得ACD=FtanACD=，tanF=ACDAFC，而AD=2，AC=4由切割线定理可得：AC2=AD（AD+2r），42=2（2+2r），解得r=3【点评】本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|【答案】（）由得 x2+y22y=0 即 x2+=5（）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得+=5，即 t23t+4=0由于=44=20，故可设 t1、t2是上述方程的两实根，所以直线l过点P（3，），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=324已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（）当a=0时，解不等式f（x）g（x）；（）若存在xR，使得f（x）g（x）成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数【专题】不等式的解法及应用【分析】（）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|x，两边平方整理得3x2+4x+10，解此一元二次不等式求得原不等式的解集（）由f（x）g（x） 得 a|2x+1|x|，令 h（x）=|2x+1|x|，则 h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围【解答】解：（）当a=0时，由f（x）g（x）得|2x+1|x，两边平方整理得3x2+4x+10，解得x1 或x原不等式的解集为 （，1，+） （）由f（x）g（x） 得 a|2x+1|x|，令 h（x）=|2x+1|x|，即 h（x）=，故 h（x）min=h（）=，故可得到所求实数a的范围为，+）【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题28
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