教辅高考数学二轮复习考点空间几何体的表面积与体积

考点十三空间几何体的表面积与体积一、选择题1(2020天津高考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B24 C36 D144答案C解析正方体的外接球半径等于正方体的体对角线长的一半，即外接球半径R3，所以这个球的表面积为S4R243236.故选C.2.(2020山东济南6月针对性训练)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切若O1O22，则圆柱O1O2的表面积为()A4 B5C6 D答案C解析因为该球与圆柱的上、下底面，母线均相切，不妨设圆柱的底面半径为r，故2rO1O22，解得r1.故该圆柱的表面积为2r22rO1O2246.故选C.3(2020山东聊城三模)最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的数书九章(1247年)该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸当盆中积水深九寸(注：1尺10寸)时，平地降雨量是()A9寸 B7寸 C8寸 D3寸答案D解析由已知，得天池盆盆口的半径为14寸，盆底的半径为6寸，则盆口的面积为196平方寸，盆底的面积为36平方寸又盆高18寸，积水深9寸，则积水的水面半径为10(寸)，积水的水面面积为100平方寸，积水的体积为V(36100)9588(立方寸)，所以平地降雨量为3(寸)4(2020山东德州高三4月模拟)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC，则球O的体积为()A. B C4 D答案B解析根据余弦定理，BC2AC2AB22ABACcosBAC3，故BC.根据正弦定理，2r2，故r1(r为ABC外接圆半径)，设R为三棱锥SABC外接球的半径，则R2r222，故R，故VR3.故选B.5如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EFba，若Q是A1D1上的定点，P在C1D1上滑动，则四面体PQEF的体积()A是变量且有最大值B是变量且有最小值C是变量无最大、最小值D是常量答案D解析EF是定长，Q到EF的距离就是Q到AB的距离，也为定长，即QEF的底和高都是定值，QEF的面积是定值，C1D1平面QEF，P在C1D1上滑动，P到平面QEF的距离是定值即三棱锥PQEF的高也是定值，于是体积固定三棱锥PQEF的体积是定值，即四面体PQEF的体积是定值6(2020全国卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为()A64 B48 C36 D32答案A解析设圆O1的半径为r，球的半径为R，依题意，得r24，r2.由正弦定理可得2r，AB2rsin602.OO1AB2.根据球中圆截面的性质得OO1平面ABC，OO1O1A，ROA4，球O的表面积S4R264.故选A.7(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为1，则()A正方体的外接球的表面积为12B正方体的内切球的体积为C正方体的棱长为2D线段MN的最大值为2答案ABC解析设正方体的棱长为a，则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即a；内切球的半径为棱长的一半，即.M，N分别为外接球和内切球上的动点，MNminaa1，解得a2，即正方体的棱长为2，C正确；正方体的外接球的表面积为4()212，A正确；正方体的内切球的体积为，B正确；线段MN的最大值为a1，D错误故选ABC.8(多选)若正三棱柱ABCABC的所有棱长都为3，外接球的球心为O，则下列四个结论正确的是()A其外接球的表面积为21B直线AB与直线BC所成的角为CAOBCD三棱锥OABC的体积为答案ACD解析如图，球心O到下底面的距离OO，AO3，所以其外接球的半径R，所以其外接球的表面积为4R221，A正确；直线AB与直线BC所成的角即直线AB与直线BC所成的角，设其为，在ABC中，cos，故B错误；由OO平面ABC，得OOBC，O为ABC的重心，则AOBC，故BC平面AOO，即BCAO，故AOBC，C正确；根据三棱锥的体积公式可得VOABC，D正确二、填空题9(2020浙江高考)已知圆锥展开图的侧面积为2，且为半圆，则底面半径为_答案1解析设圆锥底面半径为r，母线长为l，则解得r1，l2.10学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10 cm，高为10 cm，打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_ g(取3.14)答案358.5解析设被挖去的正方体的棱长为x cm，圆锥底面半径为r cm，高为h cm，则，即，解得x5，所以制作该模型所需材料质量约为mV0.90.350100.9125358.5 g.11(2020山东泰安二轮复习质量检测)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为_答案144解析如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径的端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVCAOBR2RR336，故R6，则球O的表面积为S4R2144.12.(2020山东聊城一模)点M，N分别为三棱柱ABCA1B1C1的棱BC，BB1的中点，设A1MN的面积为S1，平面A1MN截三棱柱ABCA1B1C1所得截面的面积为S，五棱锥A1CC1B1NM的体积为V1，三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，则_，_.答案解析如图所示，延长NM交直线C1C于点P，连接PA1交AC于点Q，连接QM.平面A1MN截三棱柱ABCA1B1C1所得截面为四边形A1NMQ.BB1CC1，M为BC的中点，则PCMNBM.点M为PN的中点A1MN的面积S1SA1NP，QCA1C1，A1QM的面积SA1PM，.BMN的面积S四边形B1C1CB，五棱锥A1CC1B1NM的体积为V1V四棱锥A1B1C1CB，而四棱锥A1B1C1CB的体积V，.三、解答题13如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，AA13，点D，E，F，G分别是所在棱的中点(1)证明：平面BEF平面DA1C1；(2)求三棱柱ABCA1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间部分的体积解(1)证明：E，F分别是A1B1和B1C1的中点，EFA1C1，EF平面DA1C1，A1C1平面DA1C1，EF平面DA1C1，D，E分别是AB和A1B1的中点，DB綊A1E，四边形BDA1E是平行四边形，BEA1D，BE平面DA1C1，A1D平面DA1C1，BE平面DA1C1，BEEFE，平面BEF平面DA1C1.(2)由题图可知，三棱柱ABCA1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分，可看作三棱台DBGA1B1C1减掉三棱锥BB1EF后的剩余部分，SDBGSB1EF12，SA1B1C122，三棱台DBGA1B1C1的体积为V13，三棱锥BB1EF的体积V23，三棱柱ABCA1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间部分的体积为VV1V2.14.如图，已知棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，SASD，SB，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且，SA平面BEF.(1)求实数的值；(2)求三棱锥FEBC的体积解(1)连接AC，设ACBEG，则平面SAC平面EFBFG，SA平面EFB，SAFG，GEAGBC，.SFSC，.(2)SASD，SEAD，SE2，又ABAD2，BAD60，BE，SE2BE2SB2.SEBE，SE平面ABCD，VFEBCVSEBCVSABCD22sin602.一、选择题1.(2020山东临沂一模)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中商功有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积及为粟几何？”意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸(单位换算：1立方丈106立方寸)，一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子()A200两 B240两 C360两 D400两答案D解析该堆粟的底面半径为r2，体积V32214立方丈4106立方寸斛，故主人卖后可得银子2701000400两故选D.2(2020海口市高考模拟演练)一个底面边长为3的正三棱锥的体积与表面积为24的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为()A12 B C D12答案C解析因为正方体的表面积为24，所以其棱长为2，体积为238.设正三棱锥的高为h，因为正三棱锥的体积与正方体的体积相等，所以33h8，解得h.3.(2020海南中学高三摸底)已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V()A1 B1 C D1答案A解析根据平面展开图，还原几何体如右图所示，故该几何体是由棱长为1的正方体和底边棱长为1的正四棱锥组合而成则其体积V13111.故选A.4(2020海南高考调研测试)张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五已知三棱锥ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB底面BCD，BCCD，且ABCD，BC2，利用张衡的结论可得球O的表面积为()A30 B10 C33 D12答案B解析因为BCCD，所以BD，又AB底面BCD，所以球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为.利用张衡的结论可得，则，所以球O的表面积为421010.故选B.5(2020山东青岛三模)在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAC，侧棱AA1底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为4，则该三棱柱的侧面积为()A6 B3 C3 D3答案B解析如图，设三棱柱上、下底面中心分别为O1，O2，则O1O2的中点为O，设球O的半径为R，则OAR，设ABBCACa，AA1h，则OO2h，O2AABa，则在RtOO2A中，R2OA2OOO2A2h2a22haah，当且仅当ha时，等号成立，所以S球4R24ah，所以ah4，所以ah，所以该三棱柱的侧面积为3ah3.故选B.6(2020山东安丘模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺. 它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示，已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为R2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则()A2 B C1 D答案A解析由球的半径为R，得半球表面积为2R2，又酒杯内壁表面积为R2，圆柱的侧面积为R2.设圆柱的高为h，则2RhR2，即hR.V1R2RR3，V2R3.2.故选A.7(多选)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则以下结论正确的是(3.14)()A沙漏中细沙的体积为 cm3B沙漏的体积是128 cm3C细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cmD该沙漏的一个沙时大约是1985秒答案ACD解析对于A，根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r4 cm，所以沙漏中细沙的体积V沙r2 cm3，A正确；对于B，沙漏的体积V漏22h2428 cm3，B错误；对于C，设细沙全部漏入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知，2h1，所以h1，所以h12.4 cm，C正确；对于D，因为细沙的体积为 cm3，沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，所以一个沙时为501985秒，D正确故选ACD.8.(多选)(2020山东青岛一模)已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB2，A1B1，AA1BB1CC12，则下述正确的是()A该四棱台的高为BAA1CC1C该四棱台的表面积为26D该四棱台外接球的表面积为16答案AD解析由题意可得该四棱台为正四棱台由棱台的性质，画出切割前的四棱锥，如图，由AB2，A1B1可知SA1B1与SAB的相似比为12，所以SA2AA14，AO2，所以SO2，所以OO1，故该四棱台的高为，A正确；因为SASCAC4，所以AA1与CC1的夹角为60，不垂直，B错误；该四棱台的表面积为SS上底S下底S侧284106，C错误；易知该四棱台外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1中，由于OO1，B1O11，则OB12OB，即点O到点B与点B1的距离相等，则该四棱台外接球的半径rOB2，该四棱台外接球的表面积为16，D正确，故选AD.二、填空题9已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于_答案4解析圆柱的底面半径为r1，母线长为l2，其侧面积为S2rl2124.10.(2020江苏高考)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm3.答案12解析正六棱柱体积为622212 cm3，挖去的圆柱体积为22 cm3，故此六角螺帽毛坯的体积为 cm3.11(2020江苏南京金陵中学、南通海安高级中学、南京外国语学校第四次模拟)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若，则的值为_答案解析不妨设V127，V29，故V1a327，所以a3，所以S16a254.如图所示，因为V2hr2r39，所以r3，又lr，所以S2l2rr29，所以.12(2020山东潍坊高密二模)在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AP2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB1，AD3，直线PM与平面ABCD所成的角为.记点M的轨迹长度为，则tan_；当三棱锥PABM的体积最小时，三棱锥PABM的外接球的表面积为_答案8解析如图，因为PA平面ABCD，垂足为A，则PMA为直线PM与平面ABCD所成的角，所以PMA.因为AP2，所以AM2，所以点M位于底面矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，记点M的轨迹为圆弧.连接AF，则AF2.因为AB1，AD3，所以AFBFAE，则的长度2，所以tan.当点M位于点F时，三棱锥PABM的体积最小，又PAFPBF，所以三棱锥PABM的外接球的球心为PF的中点因为PF2，所以三棱锥PABM的外接球的表面积S4()28.三、解答题13如图1，在菱形ABCD中，AB2，DAB60，M是AD的中点，以BM为折痕，将ABM折起，使点A到达点A1的位置，且平面A1BM平面BCDM，如图2.(1)求证：A1MBD；(2)若K为A1C的中点，求四面体MA1BK的体积解(1)证明：在图1中，连接BD(如图a)，四边形ABCD是菱形，DAB60，M是AD的中点，ADBM，故在图2中，BMA1M，平面A1BM平面BCDM，平面A1BM平面BCDMBM，A1M平面BCDM，又BD平面BCDM，A1MBD.(2)在图1中，四边形ABCD是菱形，ADBM，ADBC，BMBC，且BM，在图2中，连接CM(如图b)，则VA1BCMSBCMA1M21，K为A1C的中点，VMA1BKVKMA1BVCMA1BVA1BCM.四面体MA1BK的体积为.