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Chapter信号与系统所有系列第第9章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换THE LAPLACE TRANSFORMChapter信号与系统所有系列4. 4. 双边拉普拉斯变换的性质；双边拉普拉斯变换的性质；本章基本内容：本章基本内容：1. 1. 双边拉普拉斯变换；双边拉普拉斯变换；2. 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域；双边拉普拉斯变换的收敛域；5. 5. 系统函数；系统函数；6. 6. 单边拉普拉斯变换；单边拉普拉斯变换；3. 3. 零极点图；零极点图；Chapter信号与系统所有系列9.0 引言引言 Introduction 通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和变变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能仅能解决解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能分析问题，而且还能用于用于傅里叶分析方法不适用的傅里叶分析方法不适用的许多方面。许多方面。拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与变换的分析方法是傅变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。 将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。一章要讨论的中心问题。Chapter信号与系统所有系列9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 复指数信号复指数信号 是一切是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。如果如果LTI系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为 ，则系统对，则系统对 产生的响应是产生的响应是: ste( )h tste( )( )sty tH s e( )( )stH sh t edt，其中，其中显然当显然当 时，就是连续时间傅里叶变换。时，就是连续时间傅里叶变换。sjThe Laplace TransformChapter信号与系统所有系列一一. .双边拉氏变换的定义：双边拉氏变换的定义：( )( )stX sx t edt称为称为 的的双边拉氏变换双边拉氏变换，其中，其中 。 ( )x tsj若若 ， 则有则有: :0sj()( )j tXjx t edt 这就是这就是 的傅里叶变换。的傅里叶变换。( )x t表明：表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在在 或是在或是在 轴上的特例。轴上的特例。0jChapter信号与系统所有系列( )( ) ( )tj ttj tX sx t eedtx t eedt ( )tx t e F由于由于 所以所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 的的拉氏变换就是拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合的傅里叶变换。只要有合适的适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入条件的信号在引入 后满足该条件。即有些信后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。( )x tte( )tx t eChapter信号与系统所有系列( )( )atx teu t例例1.1.()001( )atsts a tX seedtedtsaRe sa 在在 时，积分收敛。时，积分收敛。当当 时，时， 的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在( )x t0a 01()atj tX jeedtaj(0)a 显然，在显然，在 时，拉氏变换收敛的区域为时，拉氏变换收敛的区域为 ，包括了，包括了 （即（即 轴）。轴）。0aRe sa 0jChapter信号与系统所有系列比较比较 和和 ，显然有，显然有 ()X j( )X s( )()sjX sX j当当 时，时，( )( )( )atx teu tu t0a 1( )u ts可知可知Re 0s 例例2.2.( )()atx teut 00()1( )atsts a tX se e dtedts a Re sa 与例与例1.1.比较，区别仅在于收敛域不同。比较，区别仅在于收敛域不同。Chapter信号与系统所有系列由以上例子，可以看出由以上例子，可以看出: :1.1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。上的任何复数都能使拉氏变换收敛。2.2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称的集合，称为拉氏变换的收敛域为拉氏变换的收敛域 。拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域 ROC （Region of Convergence）对拉氏变换）对拉氏变换是非常重是非常重要的概念。要的概念。Chapter信号与系统所有系列3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。式，只是它们的收敛域不同。j()( )s jX jX s5. 5. 如果拉氏变换的如果拉氏变换的ROC包含包含 轴，则有轴，则有4. 4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系才能和信号建立一一对应的关系。Chapter信号与系统所有系列二二. . 拉氏变换的拉氏变换的ROC及零极点图：及零极点图：2( )( )( )ttx te u te u t例例3.3.200( )tsttstX se edteedt1( ),1te u tsRe 1s 21( ),2teu tsRe 2s 1j2jChapter信号与系统所有系列可见：可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。分。ROC总是以平行于总是以平行于 轴的直线作为边界的，轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与的边界总是与 的分母的根相对应的。的分母的根相对应的。j( )X sRe 1s 若若 是有理函数是有理函数( )X s()( )( )( )()iiiisN sX sMD ssj2121123( ),1232sX sssssChapter信号与系统所有系列 分子多项式的根称为分子多项式的根称为零点零点，分母多项式的根，分母多项式的根称为称为极点极点。 将将 的全部零点和极点表示在的全部零点和极点表示在S平面上，平面上，就构成了就构成了零极点图零极点图。零极点图及其收敛域可以。零极点图及其收敛域可以表示一个表示一个 ，最多与真实的，最多与真实的 相差一个常相差一个常数因子数因子 。( )X s( )X s( )X sM因此，因此，零极点图是拉氏变换的图示方法零极点图是拉氏变换的图示方法。Chapter信号与系统所有系列9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域可以归纳出可以归纳出ROC的以下性质：的以下性质：The Region of Convergence for Laplace Transformsj4. 4. 右边信号的右边信号的ROC位于位于S平面平面内一条平行于内一条平行于 轴的直线的右边。轴的直线的右边。3. 3. 时限信号的时限信号的ROC是整个是整个 S 平面。平面。2. 2. 在在ROC内无任何极点。内无任何极点。j1. 1. ROC是是 S 平面上平行于平面上平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。Chapter信号与系统所有系列0( )tTx t edt 若若 ，则，则101( )tTx t edt010100()()( )( )ttTTtTx t eedtex t edt1表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。 若若 是右边信号是右边信号, , , , 在在ROC内内，则有则有 绝对可积，即：绝对可积，即：00( )tx t e( )x tTt Chapter信号与系统所有系列5. 左边信号的左边信号的ROC位于位于S平面内一条平行于平面内一条平行于 轴的直线的左边。轴的直线的左边。j 若若 是左边信号，定义于是左边信号，定义于 , 在在 ROC 内，内， ，则，则100( )x t(,T0101()( )( )TTtttx t edtx t eedt100()( )TTtex t edt 1表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。Chapter信号与系统所有系列6. 双边信号的双边信号的ROC如果存在，一定是如果存在，一定是 S 平面内平面内平行于平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。j0()()0( )11TatstTs a ts a TX seedtedtesa例例1.1.( )x t ate0其它其它0tT tChapter信号与系统所有系列考查零点，令考查零点，令()1s a Te 有极点有极点sa ( )X s 显然显然 在在 也有一阶零点，由于零极也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个点相抵消，致使在整个S平面上无极点。平面上无极点。sa ( )X s2sajkT 得得（k k为整数）为整数）Chapter信号与系统所有系列 当当 是有理函数时，其是有理函数时，其ROC总是由总是由 的的极点分割的。极点分割的。ROC必然满足下列规律：必然满足下列规律：( )X s( )X s3. 3. 双边信号的双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之可以是任意两相邻极点之间的带形区域。间的带形区域。( )X s2. 2. 左边信号的左边信号的ROC一定位于一定位于 最左边最左边极点的左边。极点的左边。( )X s1. 1. 右边信号的右边信号的ROC一定位于一定位于 最右最右边极点的右边。边极点的右边。Chapter信号与系统所有系列例例3.21( )321112X sssss可以形成三种可以形成三种 ROC： ROC： ROC：1) ROC：Re 2s Re 1s 2Re 1s j12( )x t此时此时 是是右边信号右边信号。( )x t此时此时 是是左边信号左边信号。( )x t此时此时 是是双边信号双边信号。Chapter信号与系统所有系列The Inverse Laplace Transform 一一. .定义：定义： 由由( )( )stX sx t edt若若 在在ROC内，则有内，则有:sj()( ) ( )tj ttXjx t eedtx t eF1( )()2tj tx t eXjed11( )()( )22tj tstx tXje e dX s e d9. 3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换Chapter信号与系统所有系列 当当 从从 时时, , 从从sjj 由由sjdsjd得得 拉氏反变换表明拉氏反变换表明: : 可以被分解成复振幅为可以被分解成复振幅为 的复指数信号的复指数信号 的线性组合。的线性组合。( )x t1( )2X s dsjste1( )( )2jstjx tX s e dsj 的反变换的反变换( )X sChapter信号与系统所有系列二二. .拉氏反变换的求法拉氏反变换的求法: : 对有理函数形式的对有理函数形式的 求反变换一般有两种方求反变换一般有两种方法法, ,即即部分分式展开法部分分式展开法和和留数法留数法。( )X s 1. 将将 展开为部分分式。展开为部分分式。( )X sv 部分分式展开法：部分分式展开法：3. 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, ,对每一项进行反变换。对每一项进行反变换。( )X s2. 2. 根据根据 的的ROC，确定每一项的，确定每一项的ROC 。Chapter信号与系统所有系列1,2ss 极点：极点：确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。1( )(1)(2)X sss例例1.1.右边信号右边信号12j左边信号左边信号12j双边信号双边信号12jChapter信号与系统所有系列例例2.1( )(1)(2)X sssROC: 2Re 1s 11( )12Xsss1: Re 1()R1OCtse uts 21:Re 2ROC( )2tseu ts 2( )( )()ttx teu te ut Chapter信号与系统所有系列1. 求出求出 的全部极点。的全部极点。( )X sv 留数法留数法（当（当 是有理函数时）：是有理函数时）：( )X s( )stX s e( )x t3. 3. 求出求出 在在 ROC 右边的所有极点右边的所有极点处的留数之和，并加负号，它们构成了处的留数之和，并加负号，它们构成了 的反因果部分。的反因果部分。( )stX s e( )x t2. 2. 求出求出 在在 ROC 左边的所有极左边的所有极点处的留数之和，它们构成了点处的留数之和，它们构成了 的因果部的因果部分。分。Chapter信号与系统所有系列例例3.1( )12X sss: 2ReO1RCs 12( )Res( ),Res( ),ststx tX s esX s es 12211()( )21()( )ststsstteuteu tsse ute u t ( )X s 的极点的极点 位于位于ROC的右边，的右边， 位位于于ROC的左边。的左边。22s 11s Chapter信号与系统所有系列作业作业: :P522 - 9.21(ac)P522 - 9.21(ac)P522 - 9.22(ad)P522 - 9.22(ad)P525 - 9.27P525 - 9.27