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【基础知识精讲】（一）知识结构图 （二）知识点精讲 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 . 证法一：在直角三角形中，由锐角三角函数易得 = = . 在锐角三角形ABC中, 如图，作CDAB， 则 ，所以， . 同理 ，即 . 在钝角三角形中，同理可证. 证法二：（外接圆法）如图所示， .同理 =2R， 2R，即 = = . 证法三：（向量法）过A作单位向量 垂直于 ，由 + = ，两边同乘以单位向量 得 ( + )= ，则 + = ，| | |cos90+| | |cos(90-C)=| | |cos(90-A)， ， = .同理，若过C作 垂直于 得： = ， = = .说明：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为三角形外接圆直径. ； .（2） = = .等价于 = ； = ； = . （3）已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.从而知正弦定理可解决两类有关解三角形的问题：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 .【应用举例】例1在 中，已知 ， ， cm，解三角形.解：根据三角形内角和定理， ；根据正弦定理 ；根据正弦定理， 例2在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边长精确到1cm）.解：根据正弦定理， 因为 ，所以 ，或 (1)当 时， ， (2)当 时， ， 例3 .解： . . ， . .例4如图，在 中， 的平分线为 ，求证： 证明： ， .在 中， .在 中， . ， ， 即 .通过以上学习你可以自我检查一下，是否完成了本课的学习目标：掌握正弦定理及其解三角形的两类典型题.【自我检测】【同步训练初级】1在DABC中，一定成立的是 （ ）(A) asinA=bsinB (B) acosA=bcosB(C) asinB=bsinA (D) acosB=bcosA2在DABC中，若 ，则DABC是 （ ）(A) 等腰三角形 (B) 等腰直角三角形(C) 直角三角形 (D) 等边三角形 3在 中， ，则 =_. 4在 中， , 则 =_. 5在 中，若 ，则 =_. 6在 中， 的外接圆半径为 ，则 =_.【同步训练高级】7在DABC中，已知b=28，c=46，B=27，解三角形（角度精确到1，边长保留到两位有效数字）8在ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg ，且B为锐角，试判断此三角形的形状.参考答案1. C2. D3. 4. 5. 6. 37 8解：lga-lgc=lgsinB=-lg ,sinB= .又0B90，B=45由lga-lgc=-lg ,得 = . 由正弦定理得 = .即2sin(135-C)= sinC，即2sin135cosC-cos135sinC= sinC.cosC=0,得C=90又A=45,B=45，从而ABC是等腰直角三角形.【基础知识精讲】 （一）知识结构图（二）知识点精讲 【应用举例】例1在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A.(1)解： = cos = = 求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：(2)解法一：cos 解法二：sin 又 ，即 例2在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形.解：由余弦定理的推论得：cos ；cos ； 【自我检测】【同步训练初级】3在ABC中，A = 60，b =1, , 则 等于（ ）A B C D 4在ABC中，已知 ，则c等于（ ）A B C D 5在ABC中， ，A =120，则a =_.6在ABC中，若 ，则最大角的余弦值等于 .7在ABC中，A =120，b =3, c = 5, 则 【同步训练高级】8半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，且OA=2，B为半圆周上任意一点以AB为边向外作等边三角形ABC(如图)，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积. 参考答案 1 C; 2 C; 3 B； 4 C；5 6 7 一、选择题（每小题4分，共40分）1.在ABC中，已知a=5 , c=10, A=30，则B等于 ( )A.105 B.60 C.15 D.105或152.在ABC中，若b=2 , a=2，且三角形有解，则A的取值范围是( )A.0A30 B.0A45C.0A90 D.30A603.在ABC中，若 = = ，则ABC的形状是 ( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形4.在ABC中，若a=2,b=2 ,c= + ，则A的度数是 ( )A.30 B.45 C.60 D.755.设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是 ( )A.0m3 B.1m3 C.3m4 D.4m66.在ABC中，已知sinAsinBsinC=357,则此三角形的最大内角的度数等于 ( )A.75 B.120 C.135 D.1507.ABC中，若c= ，则角C的度数是 ( )A.60 B.120 C.60或120 D.458.在ABC中，若A=60,b=16,且此三角形的面积S=220 ，则a的值是( )A. B.25 C.55 D.499.在ABC中，若acosA=bcosB, 则ABC是 ( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角10.在钝角三角形ABC中，三边长是连续自然数，则这样的三角形( )A.不存在 B.有无数多个 C.仅有一个 D.仅有两个二、填空题（每小题5分，共20分）三、解答题（每小题10分，共40分）参考答案一、选择题：1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9.C 10.C二、填空题：11 12.2 13.( ， ) 14. 三、解答题：17解：将 ， 代入右边得， 右边 左边， 18解：ABC是锐角三角形， 即 ， ，即 ；同理 ； ， 17解：将 ， 代入右边得， 右边 左边， 18解：ABC是锐角三角形， 即 ， ，即 ；同理 ； ， 17用心 爱心 专心
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