2020版第5章第1节数列的概念与简单表示法

第5章数列第一节数列的概念与简单表示法考纲传真i了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公 式）2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.1. 数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列an+ 1anan+ 1an恒成立.2. 数列an是递减数列？ an+ 1V an恒成立.基础自测1.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“X” ）（1）所有数列的第n项都能使用公式表达.（）（2）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.（）如果数列an的前n项和为Sn，则对？ n N*，都有an+1 = Sn+1-3.（）1（4）若已知数列an的递推公式为an+1 = 201，且*2= 1,则可以写出数列an的任何一项.（）答案（1）X V VV12.（教材改编）数列一1，2，1 1 13，1， 5，的一个通项公式为（)A. an= 1nB. an= (1)吐C. an= ( 1)n 乜n 1D. an=- nB 由ai = 1,代入检验可知选B.3 .设数列an的前n项和Sn= n2，则a8的值为（）A. 15B. 16C. 49D. 64A 当 n = 8 时，a8= S8 Sz = 82 72= 15.4.把3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以 排成一个正三角形（如图所示）.则第6个三角形数是（）27B. 28C. 29D . 30由题图可知，第6个三角形数是1 + 2 + 3 + 4+ 5 + 6+ 7 = 28.5.（教材改编）在数列an中，a1= 1，1 nan= 1+ (n2)，贝U a5=()an 1A.3B.|C.fD.|由数列的前几项归纳数列的通项公式2 4 61 .数列o, 3, 5，7，的一个通项公式为()n 1*A. an=(n N )n+1n 1*B. an= 2n+ 1(n N )2 n 1*C. an= 2n_ 1 (n N )_2n*D. an =(n N )C 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可.2 .数列an的前4项是3, 1,召，为，则这个数列的一个通项公式是 an=2n+ 12X1 + 1 2X2+1 2X 3+ 1 2X4+1帛数列an的前4项可变形为十，匚刁，寸，寸，2n+ 1故旳而.3写出下面各数列的一个通项公式:(1) 3,5,7,9,；13 715 31；(2) 2，- 4 8,16 32 ;(3) 3,33,333,3 333 ;一1,1, 2,2, 3,3 .解各项减去1后为正偶数，所以an= 2n+ 1.(2)数列中各项的符号可通过(1)n+1表示每一项绝对值的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,所以an-(-1厂菩1999999 9 999(3)将数列各项改写为3, ，亍，厂,，分母都是3,而分子分别是10 1,1“一 1,103 1,1“一 1,1 所以 an= (10n 1).n+ 1数列的奇数项为一1 , 2, 3,可用一一厂表示,数列的偶数项为1,2,3,可用n表示.n+ 12 n为奇数， 因止匕an =加为偶数.规律方法由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略1常用方法：观察 观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化 转化为特殊数列、联想联想常见的数列 等方法.2具体策略：分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征；拆项 后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑 对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； 对于符号交替出现的 情况，可用1 k或i+1, k N*处理.由an与Sn的关系求通项公式【例1】(1)若数列an的前n项和Sn= 3n2 2n+ 1,则数列an的通项公式 an=.2 12, n= 1, 6n 5, n2(2)若数列an的前n项和Sn = an + 3，则an的通项公式an =.(2)( 2)n1(1)当 n = 1 时，a1 = S = 3X 1 1 2 1 由 Sn= 3an+ 3,得当 n2 时，Sn 1 = 3an 1 + 3, 2X 1 + 12；当n2时，an= Sn 3 1= 3n2 2n+ 1 3( n 1)2 2( n 1) + 1 = 6n 5,显然当 n= 1 时，不满足上式.2, n= 1, 故数列的通项公式为an=6n 5, n2.两式相减，得an =3an3an-1an当 n2 时，an= 2an-1，即=一 2.an 一1又n=2 13a1+ 3,ai= 1,an= (-2)n1.规律方法1.已知Sn求an的三个步骤,1先利用a1 = S1求出a1 ；2用n 1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an= Sn Sn-1 n2便可 求出当n2时an的表达式；3注意检验n=1时的表达式是否可以与n2的表达式合并.2.Sn与an关系问题的求解思路，根据所求结果的不同要求，将问题向不同的 两个方向转化1利用an= Sn Sn 1 n2转化为只含Sn, Sn 1的关系式，再求解；2利用Sn 3-1 = an n2转化为只含an，an1的关系式，再求解.已知数列an的前n项和Sn=3n+ 1,则数列的通项公式an =(2)在数列an中，Sn是其前n项和，且2an+ 1,则数列的通项公式 an4, n = 1,(1)n-1“(2)2nT (1)当门=1 时，ai二 Si 二3+ 1二4,2 3, n，2当 n，2 时，an= S Sn-1 = 3n+ 1 3n 1 1 = 2 3n1.显然当n= 1时，不满足上式.4, n= 1,-an=2 3n 1, n，2.(2)依题意得 Sn+ 1= 2an+ 1 + 1 ,Sn= 2an+ 1,两式相减得 S1+ 1 S1 = 2an+ 1 2an, 即 an+1 = 2an，又 S1 = 2a1 + 1 = a1,因此 a1 = 1,所以数列an是以 a1 = 1 为 首项、2为公比的等比数列，an= 2n1.由数列的递推关系求通项公式?考法 1 形如 an+1 = an+ f(n),求 an【例 2 在数列an中，a1 = 2, an+1 = an + 3n+ 2(n N*),求数列an的通 项公式.解(1) V an+1 an= 3n + 2,-an an1 = 3n 1(n，2),-an= (an an1) + (an 1 an2) + + (a2 a1) + a1n 3n+ 1=2(n，2) 1当 n= 1 时，a1 =(3X 1 + 1) = 2 符合公式，an= 2n2 + ；?考法 2 形如 an+1 = anf(n),求 an【例3】已知数列an满足ai = 1, an+1 = 2nan，求数列an的通项公式.an+1an4解 an+1 = 2nan,=2n,二 =2n-1(n2),anan1anan 1-an an1 an2a2-a; a12n_1 2n_ 2 .2 1 21 + 2+ 3+ (n1)2nn 1- 1又a1 1适合上式，故an2一?考法 3 形如 an+1 Aan+ B(Am0且 Am 1),求 an.【例4】 已知数列an满足a1 1, an+1 3an+ 2,求数列an的通项公式.解T an+1 3an+ 2,-an+1 + 1 3(an+ 1),又 a1 1,a1 + 1 2,故数列an+ 1是首项为2,公比为3的等比数列,an+ 1 2 3n1，因此 an 2 3n1 1.规律方法由递推关系式求通项公式的常用方法1已知 a1且 an an 1 f n，可用 “累加法” 求 an,即卩an an an 1 + ana1 + a1.f n ,可用“累乘法”求an ,即an 3已知a1且an+1 qan+ b,则an+1 + k q an+ k其中k可由待定系数法确定，可转化为等比数列an+ k.Aa4形如an+1二 _匕A, B, C为常数 的数列，可通过两边同时取倒数的nd + Cfi方法构造新数列求解根据下列条件，求数列an的通项公式.(1)a1 = 1,an+1 = an+ 2n ；1(2)a1 = 2,n 1an= n+ 1an-1( n2);(3)a1 = 1,an+1 = 2an+ 3 ；2an(4)a1 = 1,an+ 匸 an+ 2.解由题意知an+1- an= 2n,an= (an an-1)+ (an-1 an- 2)+ + (a2 ai) + ai4r1-2n=2n-1 + 2n-2+ + 2+ 1= = 2n- 1.1-2n 1(2)因为 an=an-1(n2),n+ 1所以当n2时,ann- 1an-1n+ 1所以旦an1n 1an 1 n 2, ,n+ 1 an2na32a2= 4,a2 1a1 = 3,以上n 1个式子相乘得-a_an 1an 1n 1 n 2an 2a3 a2a2 a1 = n + 1 n2 4 3,X2X 1,所以n+1 nan=n n+ 11 1当 n= 1 时，a1= 1 x 2 = 2,1与已知a1=相符,所以数列an的通项公式为1an =n n+ 1由 an+1 = 2an + 3 得 an+1 + 3 = 2(an+ 3).又 a1 = 1, a1+ 3= 4.故数列an + 3是首项为4,公比为2的等比数列, an+ 3= 4 2n1 = 2n+1, an = 2n+1 3.厂、2an(4)因为 an+1 =an+ 2a1 = 1,所以an工0,1 1 1所以=計2, 即1丄=1an+1an2又a1 = 1,则右=1,1所以an是以1为首项,12为公差的等差数列.1 1所以齐a1+ (n 1)X * = n +1.所以 an=222n+1(n N*).11. (2014全国卷 U )数列an满足 an+1, a8 = 2,贝U ai =i an1 12 - an+1,21 an1-an+1=1 an111 一1 an 11 an 11 an 1 11 an11= =1 an 1an 1=1 (1 an 2)= an 2,1 an 2周期 T= (n+ 1) (n 2) = 3.-a8= a3x2+2= a2 = 2.而a2 = a1= *.2. （2015全国卷U）设3是数列an的前n项和，且a1 = 1, an+1 则 Sn=.V an+ 1 = Sn+ 1 Sn, an+ 1 = S1S1+ 1, Sn+ 1 Si= SnSn + 1.T SnM 0,SnSn + 1Sn =1.1 1又；=1, sn是首项为一1,公差为-1的等差数列.1 1-n=1+(n1)x(1)=$=n3. (2016全国卷川)已知各项都为正数的数列an满足a= 1, a2 (2an+1 1)an 2an+1 = 0.(1) 求 a2, a3；(2) 求an的通项公式.亠 1 1解由题意可得a2 = 2， a3= 4.(2)由 an (2an+1 1)an 2an+1 = 0 得2an+ 1(an+ 1) = an(an+ 1).an+11因为an的各项都为正数，所以 盲二1.1 1故an是首项为1,公比为2的等比数列，因此an二亦二.