用等量代换求面积

第21讲 用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不 变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用， 它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个 图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析与解：阴影部分是一个高为 3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因 而不能直接求出它的面积。 因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形 DOC后, 根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形 OEFC的面积。直角梯形 OEFC的上底为10-3=7 （厘米），面积为（7+10 ） X2-2=17 （厘米 2）。所以，阴影部分的面积是 17厘米2。例2在右图中，平行四边形 ABCD的边BC长10厘米，直角三角形 ECB的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形 EFG的面积大10厘米2，求平行四边形 ABCD 的面积。分析与解：因为阴影部分比三角形 EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后，根 据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形 ABCD的面积等于10X8-2+10=50 （厘米 2）。例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形 AFB比三角形EFD的面 积大18厘米2。求ED的长。分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形 ECB的面积。 因为三角形 AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形 FDCB后， 其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形 ABCD 的面积，就能依次求出三角形 ECB的面积和EC的长，从而求出 ED的长。梯形ABCD面积=(8+4 ) 0吃=36 (厘米2),三角形ECB面积=36-18=18 （厘米2）,EC=18 6X2=6 （厘米），ED=6-4=2 （厘米）。例4下页上图中，ABCD是7X4的长方形，DEFG是10X2的长方形，求三角形 BCO 与三角形EFO的面积之差。分析：直接求出三角形 BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不 变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求 出，那么问题就解决了。解法一：连结B , E （见左下图）。三角形 BCO与三角形EFO都加上三角形 BEO，则 原来的问题转化为求三角形 BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4X（ 10-7 ）吃-2 X（ 10-7 ） -2=3。解法二：连结C , F （见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形 CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4X（ 10-7 ）吃-2 X（ 10-7 ）-2=3。解法三：延长BC交GF于H （见下页左上图）。三角形 BCO与三角形EFO都加上梯 形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2 ） X（10-7 ）吃-2 X （10-7 ） =3。解法四：延长AB ,FE交于H（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO , 则原来的问题转化为求矩形 BHEC与直角三角形 BHF的面积之差。所求为4X（ 10-7 ） -（10-7 ） X （4+2 ）吃=3。例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形 ABC的面积。、:D%4DC分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的 边长没关系。连结 AD （见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三 角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于 4X4吃=8 （厘米2）。练习211左下图中，等腰直角三角形 ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线 EF , 组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。3左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大 3.44厘米2。求直角梯形 ABCD的面积。（n =3.14）4. 在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。5. 下页左上图中，矩形 ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形 ABF比三角形 EDF的面积大9厘米2,求ED的长。6. 右上图中，CA=AB=4厘米，三角形 ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的 长。7一下圈中，三角形ABC的面积是劲厘米6 AE = ED, BD = BC,求阴3影部分的面积和。C