专题研究因式分解总结归纳及典型例题

分解因式专题突破第一部分：专题介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本专题在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍第二部分：知识总结1 定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式2、 注意事项因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 （1）因式分解的对象是多项式：如把分解成就不是分解因式，因为不是多项式；再如：把分解为也不是分解因式，因为是分式，不是整式； （2）分解因式的结果必须是积的形式：如就不是分解因式，因为结果不是积的形式； （3）分解因式结果中每个因式都必须是整式，如：就不是分解因式，因为是分式，不是整式； （4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； （5）公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； （6） 结果如有相同因式，应写成幂的形式； （7）题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；3、搞清分解因式与整式乘法的关系整式乘法 分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如：分解因式 因此，我们可以利用整式乘法来检验分解因式的结果是否正确4、注意分解因式的一般步骤（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；v 分解因式必须分解到每个多项式不能再分解为止 为了便于记忆请同学们记住以下“顺口溜”：“分解因式并不难，首先提取公因式，然后考虑用公式，两种方法反复试，结果必是连乘积”，请同学们还要注意“反复试”的目的，就一直分解到每个因式都不能再分解为止，然后检查分解因式的结果是否正确，也可以简记为“一提二公三查” 第三部分：方法介绍1提公因式法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法这种方法实质上是逆用乘法分配律要正确应用提公因式法，必须注意以下几点：（1）准确找出多项式中各项的公因式，方法如下：首先公因式的系数是多项式中各项系数的最大公约数；其次字母取各项中都含有的；相同字母的指数取次数最低的，如：多项式，各项系数的最大公约数是3，各项中都含有的字母是，x的指数取最低的，y的指数取最低的因此公因式是（2）如果多项式首项是“”号，一般应先提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的；在提出“”号时，多项式的各项都要变号，如：=（3）当某项全部提出后，剩下的是1，而不是0，如：，而不能发生的错误专项训练一、把下列各式分解因式。1、 2、 3、 4、5、 6、 7、8、 9、 10、11、 12、13、 14、专项训练二：把下列各式分解因式。1、 2、3、 4、5、 6、7、 8、9、 10、11、 12、13、 14、15、 16、17、 18、19、 20、2运用公式法把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解，这种分解因式的方法叫运用公式法（1）平方差公式，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积运用平方差公式，应注意：熟记公式特征：公式的右边是这两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，公式的左边是这两项的平方差，且是左边相同的一项的平方减去互为相反数的一项的平方注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如：（其中相当于公式中的，相当于公式中的）（2）完全平方公式，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方运用平方差公式，应注意：熟记公式特征：右边是两数和（或差）的平方，左边是前平方（）、后平方（）、二倍之积在中央（）注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如：，（其中相当于公式中的，2相当于公式中的）结果的符号应与第二项符号相同v 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)； （2）(ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2； （3）(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； （4）(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) （5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； （6）a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例1.把下列各式分解因式： (1)x24y2 (2) (3) (4)例2.把下列各式分解因式： (1) (2) (3) （4）因式分解(运用公式法): (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)（9） （10） （11）6 （12）（13） （14）3、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式= = = = = 练习：分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = =例4、分解因式： 解：原式= = = 练习：分解因式3、 4、 综合练习：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11）（12）4、十字相乘法.【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法【重点难点解析】（1）二次三项式多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项，c为常数项例如，和都是关于x的二次三项式在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式同样，多项式，把xy看作一个整体，就是关于xy的二次三项式十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法（2）十字相乘法的依据和具体内容 对于二次三项式，如果能够把常数项分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即。可以用交叉线来表示：+ 十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(axb)(cxd)竖式乘法法则它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且ab为一次项系数p，那么它就可以运用公式分解因式这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同（2）对于二次项系数不是1的二次三项式(a，b，c都是整数且a0)来说，如果存在四个整数，使，且，那么它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定学习时要注意符号的规律为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母如：（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知05，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例2、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例3、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例4、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例5、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例6、 例7、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：（1） （2）综合练习10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、换元法。例8、分解因式（1） （2）解：（1）设2005=，则原式= = =（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设，则原式= =练习13、分解因式（1）（2） （3）例9、分解因式（1）观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=设，则原式= = = =（2）解：原式= 设，则 原式= =练习14、（1）（2）六、添项、拆项、配方法。例10、分解因式（1） 解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式= = = = = = =（2）解：原式=练习15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）七、待定系数法。例11、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=对比左右两边相同项的系数可得，解得原式=例12、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设= 则=比较对应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设= 则= 解得，=21练习17、（1）分解因式（2）分解因式（3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。（4） 为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第四部分：习题大全第1课时多项式的因式分解(1)【基础巩固】1(2012济宁)下列式子变形是因式分解的是 ( ) Ax25x6x(x5)6 Bx25x6(x2)(x3) C(x2)(x3)x25x6 Dx25x6(x2)(x3)2多项式5mx325mx210mx各项的公因式是 ( ) A5mx2 B5mx3 Cmx D5mx3(1)单项式12x8y2与8x6y5的公因式是_； (2)x2y(xy)3x(xy)2的公因式是_4若x2axb(x5)(x2)，则a_，b_5(2012苏州)若a2，ab3，则a2ab_6分解因式： (1)(2012成都)x25x； (2)20a5a215ab； (3)(2012广东)2x210x； (4)4a(mn)26b(mn)2； (5)(2mn)(xy)(2mn)(xy)； (6)15(ab)23y(ba)【拓展提优】7下列各式从左到右的变形，是因式分解的是 ( ) Aa296a(a3)(a3)6a B(a5)(a2)a23a10 Ca28a16(a4)2 D6ab2a3b 8(2012温州)把多项式a24a分解因式，结果正确的是 ( ) Aa(a4) B(a2)(a2) Ca(a2)(a2) D(a2)24 9代数式3x24x6的值为9，则x2x6的值为 ( ) A7 B18 C12 D910把多项式16a340a2b提出一个公因式8a2后，另一个因式是_11(2012成都)已知当x1时，2ax2bx的值为3，则当x2时，ax2bx的值为_12分解因式：(1)18a3bc45a2b2c236a2b2； (2)12x312x2y3xy2；(3)14x(xy)21y(yx)； (4)(xy)2mxmy；(5)a(xa)(xy)2b(ax)2(yx)13利用因式分解计算：(1)2.3991+1562.392.3947； (2)3937138114如图，有足够多的边长为a的大正方形、长为a宽为b的长方形以及边长为b的小正方形(1)取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(ab)(a2b)，画出图形，并根据图形回答(ab)(a2b)_；(2)取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a25ab4b2需要A类卡片_张、B类卡片_张、C类卡片_张；可将多项式a25ab4b2分解因式为_第2课时 多项式的因式分解(2)【基础巩固】1(2012衡阳)下列运算正确的是 ( ) A3a2a5a2 B(2a)36a3 C(x1)2x21 Dx24(x2)(x2)2已知多项式9a2(bc)2的一个因式为3abc，则另一个因式是 ( ) A3abc B3abc C3abc D3abc3分解因式：(1)(2012台州)m21_； (2)(2012盐城)a24b2_4如果ab1，ab5，那么a2b2_5写出一个能用平方差公式分解因式的多项式：_6分解因式： (1)4a2y2； (2)x2y449； (3)4a2(3bc)2； (4)(xy)24x2； (5)(4x3y)225y2； (6)25(ab)24(ab)2【拓展提优】7下列各多项式中，能用平方差公式分解因式有是 ( ) Ax216 Bx29 Cx24 Dx22y28(2012云南)若a2b2，ab则ab的值为 ( ) AB C1 D29如图中的图，边长为a的大正方形中有一个边长为 b的小正方形，小明将图的阴影部分拼成了一个矩 形，如图，这一过程可以验证 ( ) Aa2b22ab(ab)2 Ba2b22ab(ab)2 C2a23abb2(2ab)(ab) Da2b2(ab)(ab)10分解因式：(1)(2012湖州)x236_；(2)25a216b2_11若ab3，则a2b26b_12分解因式：(1)9x2(2xy)2； (2)(2xy)2(x2y)2(3) 9(ab)216(ab)2； (4) 9(3a2b)225(a2b)213分解因式： (1)x416； (2)(ab)4(ab)414利用因式分解计算：(1)492512；(2) (3)第3课时多项式的因式分解(3)【基础巩固】1(2012安徽)下面的多项式中，能因式分解的是 ( ) Am2n Bm2m1 Cm2n Dm22m12若x2mx9是完全平方式，则m的值是 ( ) A3 B6 C3 D63分解因式：(1)(2012淮安)a22a1_； (2)(2012泰州)a26a9_4(1)a2_16b2(a4b)2；(2)x210xy_(x_)25已知：ab3，ab2，则a23abb2_6分解因式： (1)4x212xy9yx； (3)x25x25； (3)a2b48ab2c16c2； (4)(ab)24(ab)4； (5)(x3)28(x3)16； (6)x24y24xy【拓展提优】7(2012无锡)分解因式(x1)22(x1)1的结果是 ( ) A(x1)(x2) Bx2 C(x1)2 D(x2)28当a(a1)(a2b)2时，则的值为 ( ) A2 B2 C4 D49已知a、b、c是三角形的三边，那么代数式a22abb2c2的值 ( ) A大于零 B等于零 C小于零 D不能确定10(2012凉山)整式A与m22mnn2的和是(mn)2，则A_11 (2012泰州)若代数式x23x2可以表示为(x1)2a(x1)b的形式，则ab的值是_12判断下列各式能否写成一个整式平方的形式(“”表示能，“”表示不能)： (1)4a24a1( ) (2)a23ab9b2( ) (3)a2a( ) (4)4x14x2( ) (5)16x21( ) (6)x24x4( )13分解因式：(1)x23x； (2)(x22)26(2x2)9；(3)x28xy216y4；(4)9(xy)212(xy)(xy)4(xy)214(1)利用因式分解计算：3.7223.72.7+2.72； 20052200510+25；(2)已知2y3x5，求多项式9x212xy4y2的值第4课时 多项式的因式分解(4)【基础巩固】1下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是 ( ) Aa22abb2 Ba22ab4b2 Ca29 Da2abb2 2(2012呼和浩特)下列各因式分解正确的是 ( ) Ax2(2)2(x2)(x2) Bx22x1(x1)2 C4x24x1(2x1)2 Dx24xx(x2)(x2)3(1)多项式2ax212axy中，应提取的公因式是_； (2)两个多项式x24，x24x4的公因式是_4分解因式：(1)x34x_； (2)a2b2abb_5若多项式9a212abk是完全平方式，则k_6分解因式： (1)(a2b)225b2； (2)(2012丽水)2x28； (3)9a2(xy)(yx)； (4)(2012临沂)a6ab9ab2； (5)(x24)216x2； (6)x48x216【拓展提优】7(2012恩施)a4b6a3b9a2b分解因式的正确结果是 ( ) Aa2b(a26a9) Ba2b(a3)(a3)Cb(a23)2 Da2b(a3)28(2012凉山)下列多项式能分解因式的是 ( ) Ax2y2 Bx2y2 Cx22xyy2 Dx2xyy29已知xy0，xy3，则x3yxy3的值是 ( ) A0 B15 C18 D2410利用因式分解计算：8328334172_11若b26b90，则a_，b_12分解因式：(1)16x41； (2)(a21)24a(a21)4a2；(3)(2012黄冈)x39x； (4)(2012宜宾)3m26mn3n2；(5)(a2b2)24a2b2； (6)(x25)28(x25)1613给出三个多项式：a22a1，a24a1，a22a请选择两个你喜欢的多项式进行相加，并把所得的结果因式分解14下面是某同学对多项式(x24x2)(x24x6)4进行因式分解的过程 解：设x24xy 原式(y2)(y6)4 (第一步)y28y16 (第二步)(y4)2 (第三步)(x24x4)2 (第四步) 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了_进行因式分解的； A提取公因式 B平方差公式 C两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_ (填“彻底”或“不彻底”)；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_； (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x22x)(x22x2)1进行因式分解第5课时 多项式的因式分解(5)十字相乘法因式分解练习题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、 15、16、 17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、 29、30、 31、32、 33、34、35、36、37、 38、答案：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、17