小学奥数等差数列优课细讲

数列的初步认识 -等差数列 数学是打开科学大门的钥匙。1教育课资2教育课资3教育课资在过去的三百在过去的三百多年里，人们多年里，人们分别在下列时分别在下列时间里观测到了间里观测到了哈雷慧星：哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（，（ ）你能预测出下一次的大致时间吗？2062相差相差764教育课资你能根据规律在（你能根据规律在（ ）内）内填上合适的数吗？填上合适的数吗？(3)(3)1, 41, 4， 9 9， 16, 16,（ ），），3636，(4)(4) 1,2 1,2，3 ,53 ,5，8, 138, 13，21 21 ，（，（ ）（1 1）3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,( ) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,( ) (2)1(2)1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,( ) , 2, 4, 8, 16, 32, 64,( ) 25 34 128 10 象这样按照一定的规律排列的一组数象这样按照一定的规律排列的一组数, ,我们称为我们称为数列数列, ,其中其中每个数都叫做数列的项每个数都叫做数列的项, ,排在第一列的叫第一项排在第一列的叫第一项,( ,(也叫首项也叫首项) )一一般用般用a a 1 1 表示表示, ,第二列的叫第二项第二列的叫第二项, ,用用a a 2 2表示表示, ,排在第排在第N N列的数列的数叫第叫第N N项项, ,用用a a n n表示表示. .+1 +1 +1 +1 +1 +1+1 +1 +1 +1 +1 +12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 11 21 22 32 33 43 44 4等差数列等差数列等比数列等比数列斐波拉斐波拉契数列契数列平方数列平方数列5教育课资 1、按数列中项的个数来分类： 有限数列： 如：0，1，1，2，4，7，13，24，44 无限数列： 如：1，3，5，7，9，11，13，6教育课资 2、按数列中项的变化规律来分类： 递增数列： 如：1，2，3，4，5，6，100 递减数列： 如：100，99，98，97，2，1 常数列： 如：1，1，1，1，1，1，17教育课资实战演练1 观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。 （1）5，9，13，17， ， 。 （2）1，4，9，16， ， 。 （3）4，5，7，11，19， ， 。2125253635 678教育课资 3、按数列中项的、按数列中项的性质特点性质特点来分类：来分类： 等差数列： 如：如：0，1，2，3，4，5，6，（自然数列）（自然数列） 递推数列： 如：如： 1，1，2，3，5，8，13，21 ， 周期数列： 如：如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，1，9教育课资 找出下列各数列的规律，在横线上，填出适当的数。找出下列各数列的规律，在横线上，填出适当的数。 （1）5，15，45，135， ， 。 （2）60，63，68，75， ， 。 （3）180，155，131，108， ， 。 （4）0，1，1，2，3，5， ， 。405121584958665813 实战演练210教育课资 高斯出生于一个工高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置年级时，一次老师布置了一道数学习题：了一道数学习题：“把把从从1 1到到100100的自然数加起的自然数加起来，和是多少？来，和是多少？”年仅年仅1010岁的小高斯略一思索岁的小高斯略一思索就得到答案就得到答案50505050，这使，这使老师非常吃惊。那么高老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？巧妙地计算出来的呢？ 高斯（高斯（1777-18551777-1855），）， 德德国数学家、物理学家和天文学国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。誉为有史以来的三大数学家。有有“数学王子数学王子”之称。之称。 高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事: :11教育课资1 + 2 + 3 + 4 + .+ 98 + 99 + 100 = ?等差数列Sn n =n (a a1 1 + a an n )2项数和12教育课资首项与末项的和：首项与末项的和： 1100101，第第2项与倒数第项与倒数第2项的和：项的和： 299 =101， 第第3项与倒数第项与倒数第3项的和：项的和： 398 101， 第第50项与倒数第项与倒数第50项的和：项的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：1001015050.2求求 S=1+2+3+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法：13教育课资一、定义：例 1： 观察下列数列是否是等差数列：一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，后一项与它的前一项的项起，后一项与它的前一项的差等于差等于同一个常数同一个常数，那麽这个数列就叫做，那麽这个数列就叫做等差数列等差数列。这个这个常数常数叫做叫做等差数列等差数列的的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d表示。表示。 1，4，7，10，（ 13 ），16，1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 105，5，5，5，5，5，1, 3, 5, 7, 10, 13, 16, 19 公差 = 第二项首项14教育课资认识数列 观察：1，3，5，7，9，19第一一项第第二二项项第四项第三三项第五项第十项首项首项(a1)末项末项(an)项数（项数（n）(a2)(a3)(a4)(a5)15教育课资 1 1、等差数列要求、等差数列要求从第从第2 2项起，项起，后一项与后一项与 前一项前一项。 不能颠倒。不能颠倒。 2 2、作差的结果要求是、作差的结果要求是习习:按规律把下列数列补充完整按规律把下列数列补充完整,并且指出那些是等差数列并且指出那些是等差数列.1,3,6,8,16,18,( ),( ),76,7881,64,49,36,( ),( )35,28,22,17,( ),( )1,2,4,7,11,16,( )2,3,5,8,12,17,( )2,3,5,8,13,( )1,3,7,15,( )45,55,66,78,( ),( )16教育课资实战演练1 数列：数列：2，3，5，8，13，89 首项是：首项是： 末项是：末项是： 项数是：项数是： 55在这个数列当中是第在这个数列当中是第 项项28998等差数列的和 = （首项末项）项数2Sn n =n (a a1 1 + a an n )217教育课资例题例、求首项为5，末项为155，项数是51的等差数列的和。等差数列的和 = （首项末项）项数2解：（5155）512=160512=8051=408018教育课资例题例、1357959799等差数列的和 = （首项末项）项数2解：1357959799=（199）502=250019教育课资例题例（13519971999）（24619961998）解：（13519971999）（24619961998） =（11999）10002（21998）9992=1000000999000=100020教育课资 例:已知等差数列 1，4，7，10，13，16， 求它的第58项是多少？ 等差数列的第n项： 等差数列的第n项= 首项（n1）公差 a n = a 1 + ( n 1 ) d .a1 1 、an n、n、d知知三求一三求一（提示：末项与首相之间差几个项差）21教育课资 例、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？ 求末项公式: 末项=首项+（项数-1）公差 （提示：项差数与项数之间关系）22教育课资 例、一个有20项的等差数列，公差为5，末项是104，这个数列的首项是几？ 求首项公式： 首项=末项-公差（项数-1）（提示：项差数与项数之间关系）23教育课资 例、已知数列2、5、8、11、14，47应该是其中的第几项？求项数公式： 项数 = （末项首项）公差1 首项a1=2，公差d=5-2=3 n=（47-2）3+1=16 即47是第16项 （提示：项差数与项数之间关系）24教育课资 例、 在等差数首项是5、第20项是81， 求公差是多少？例题求公差公式： 公差 = （末项首项）（项数-1）（提示：项差数与项数之间关系）25教育课资1. 求等差数列3，7，11，的第4，7项？解:已知a1=3,d=7-3=4,a4=a1+(n4-1)da7=a1+(n7-1)d=3+(4-1)4=15=3+(7-1)4=27例题26教育课资例:在等差数列5，9，13.401中,401是第几项?解解: :已知已知a a1 1=5,d=5,d=9-5=9-5=4,a=4,an n=401,=401,求求n=?a n = a 1 + ( n 1 ) d n = (a n - a 1 ) d +1 = (401 - 5 ) 4 +1 =396 4 +1 =100 例题27教育课资 例、有60个数，第一个数是7，从第 二 个数开始，后一个数总比前一个数多4 。求这60个数的和。解：（1）末项为：74（601） =7459 =7236 =243（2）60个数的和为：（7243）602 =250602 =750028教育课资 例题例题 1、求等差数列3，5，7，9.的第10项和第100项。29教育课资 例题 例、电影院的座位排列成扇形，第一排有60个座位，以后每一排都比前一排多两个座位，共有50排，请你算出第32排和第50排各有多少个座位？ 第一排：60 第二排：60+2X(2-1)=62 第n排： 60+2X(n-1)=2n+58 第32排：60+2X(32-1)=122 最后一排即第50排：60+2X(50-1)=15830教育课资 = (25 - 5 ) ( (6-1)=205=4a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3da5=a1+4d=5+4=9=5+24=13=5+34=5+44=17=21这六个数为这六个数为5, 9, 13, 17, 21, 25 例:在5和25之间插入4个数,使他们组成等差数列,这求这四个数?析:要插入这四个数,首先必须要利用公式求出公差.解:已知a1=5, n =6,an=25,求a2,a3,a4, a531教育课资例：求所有被4除余1的两位数之和。解：被4除余1的所有的两位数有13，17，21，97它们组成了一组公差为4的等差数列.其中a1=13,d=4,an=97,求Sn=?n = (a n - a 1 ) d +1 = (97 -13 )4 +1 = 22 Sn = (a 1 +a n)n2= (13 +97)222= 1210 例题32教育课资 梯子的最高一级宽32厘米，最低一级宽110厘米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，计算中间一级的宽度。智慧大比拼133教育课资 甲乙两人都住在同一胡同的同一侧，这一侧的门牌号码是连续的奇数。甲住21号，乙住193号。甲、乙两人的住处相隔着多少个门？智慧大比拼234教育课资 在12和60之间插入3个数，使之组成等差数列。智慧大比拼335教育课资回顾本章知识点：回顾本章知识点：求等差数列和的公式：求等差数列和的公式： 等差数列的和 = （首项末项）项数2求第几项公式：求第几项公式： 项数 = （末项首项）公差1求末项公式: 末项末项=首项首项+（项数（项数-1）公差）公差求等差数列第求等差数列第n n项公式：项公式： 等差数列的第n项 = 首项（n1）公差求首项公式： 首项 = 末项公差（项数1）求公差公式：求公差公式： 公差 = 第二项首项 或：公差 = (末项首项）（项数1）课堂小结课堂小结:36教育课资 一个等差数列的第一项是5.6,第六项是20.6,求它的第四项.智慧大比拼437教育课资38教育课资