平面向量三点共线性质定理的推论及空间推广

平面向量三点共线定理的推论及空间推广南昌外国语学校 梁懿涛邮编：330025 地址：江西省南昌市桃苑西路126号南昌外国语学校电话：13607917611 电子信箱：liangyitao 一问题的来源平面向量三点共线定理:对于共面向量,，则、三点共线的充要条件是二问题的提出问题1.在上述定理中，如果、时，分别有什么结论？问题2.、有什么特定的意义吗？问题3.上述问题可以推广到空间吗？三问题的解决推论1. 对于不共线向量,若，则（1）点在直线外侧（不含点一侧）的充要条件是（2）点在直线内侧（含点一侧）的充要条件是证明：（1）必要性：如图1-1，连OC交AB于点，则存在实数，使得，充分性：，存在，使得且，在直线上，在直线外侧 同理可证（2）进一步分析，得：推论. 对于不共线向量,若，则（1）连接得直线，过点作平行于的直线，则、将平面分成三个区域，如图1-2点落在各区域时，、满足的条件是：（）区：；（）区：；（）区：特别地，当点落在上时，；当点落在上时，（2）直线、将平面分成四个区域，如图1-3，则点落在各区域时，、满足的条件是：（）区：；（）区：；（）区：；（）区：证明略推论2.若，则，且当，则点在线段上；当，则点在线段的延长线上；当，则点在线段的延长线上 证明：且，。当时，与同向，如图2-1所示，则点在线段上；当时，与反向，且，如图2-2所示，则点在线段的延长线上；当时，与反向，且，如图2-3所示，则点在线段的延长线上推论3. 点是所在平面上且与不重合的一点，若，则，证明：只证的情形，其它情形可类似证明由得，存在点使得，且，如图3，同理有，命题得证将以上结论拓展到空间，得：推论4. 对于不共面的向量,若，则：（1）若，则点在平面上（空间向量基本定理）；（2）若，则点在平面的外侧（不含点O一侧）；（3）若，则点在平面的内侧（含点O一侧）证明：仿照推论1，略推论5. 对于不共面的向量，若，则（1），；（2）；（3），证明：（1），由推论3，可知结论成立（2）由（1）得证（3），同理可证，推论6.已知四面体及与其顶点不重合的点，若，则证明：只证的情形，其它情形可类似证明由，得，令，则四点共面，由推论5，又，如图4，知，同理可证，命题得证四结论的应用1（2006年湖南（理）如图，点在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是 ；当时，的取值范围是 解析：由推论1及推论，有，且当，有，即 答案为：，（，）2（2009年安徽卷（理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动若其中,则的最大值是_解析：由推论3，设，此时3(2010年高考天津卷理)如图，在中，则= 解析：，由推论2，得，答案：4（2011届黑龙江省哈尔滨三中高三10月月考理）如图所示，两射线与交于，下列向量若以为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的是 . ； 解析：由推论1及推论，可知的系数要满足，适合的只有答案为5（江西省十所重点中学2010届高三第一次模拟理）设点在的外部,且,则= 解析：由推论3，可知=5.（2011届江苏省南京师大附中高三学情调研）设点是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是 .解析：由推论1及推论，可知满足，表示点（）到的距离的平方，由线性规化知识可得所求的范围为6（自编题）已知点与四面体，且，则解析：由推论5，可知7（自编题）已知点与四面体，且，则= .解析：由推论6， 可知.8（自编题）已知点是四面体内一点（不包括边界），且，则点满足的概率是 .解析：因为点是四面体内一点（不包括边界），由推论4，可知满足，如图建立空间直角坐标系，表示正方体中三棱锥内部的区域，而表示以点为圆心，半径为的球体在正方体内部的区域，由几何概型知所求概率为 4