高考数列压轴题

高考数列压轴题一.解答题(共50小题)1 .数列an满足 ai=1, a2=A；+A：,，an=+-+ (nCN*)(1)求 a2, a3, a4, a5的值；(2)求an与an-1之间的关系式(nCN*, n2)；(3)求证：(1+工)(1+L)(id) 3 (nCN*) |al a2|%|2,已知数列xn满足：x1=1, xn=xn+1+ln (1+xn+1)(nCN*),证明：当 nCN*时, (I ) 0xn+1xn；(II) 2xn+1-xn0任密且；(m)3 .数歹1an中，a1(I )求证：an+1an；(n )记数列an的前n项和为Sn,求证：Sn 1.4 .已知正项数列an满足 an2+an=3a2n+1+2an+1, a1二1.(1)求a2的值；(2)证明：对任意实数nCN*, an2an+1；(3)记数列an的前n项和为Sn,证明：对任意nCN*, 2-fSn3.第17页(共59页),ne N*5 .已知在数列an中,(1)求证：1an+ian2;(3)求证：nSn1 时，an (a1-1) aJ1;(III)当 a1乌时，n 3 n.7 .已知数列an满足a二1, S=2an+1,其中Sn为an的前n项和(nCN*).(I )求S, S2及数列S的通项公式；(H)若数歹Ibn满足bn=1T)”,且bn的前n项和为Tn,求证：当n2时,8 .已知数列an满足 a二1,(n N*),(I)证明:%旭 %n n+1(H) 证明:39 .设数列an的前n项的和为Sn,已知a1=1-, an+1= ? %,其中nCN*.2 2a -3a +2n n(1)证明：an2；(2)证明：an 2,且对任意 n C N*,都有 Snnai(n - 1),证明：Sn2n+1.311 .设 an=xn, bn= () 2, Sn 为数列an?bn的前 n 项和，令 fn (x) =4 - 1, x C R, a N*. n(I )若x=2,求数歹！J 2n-L 的前n项和品；(n )求证：对？ ne N*,方程fn (x) =0在XnC 2, 1上有且仅有一个根；(田)求证：对？ pCN*,由(H)中xn构成的数列xn满足0xn-xn+pL.12.已知数歹1an，bn, ao=1,1+%（n=0, 1, 2,），3,），Tn 为数列bn的前n项和.求证：（I ） an+1 an ；（R） a3.）:R 4 %（田）0n（于1，2, 3i ）.13 .已知数列an满足：a1=27， an=an 12+an 1 （n2且 nCN）. （I）求a2, a3；并证明：2 2nl-an?3 2；(n )设数歹1an2的前n项和为An,数列J的前n项和为Bn,证明:14 .已知数列an的各项均为非负数，其前n项和为sn,且对任意的nCN*,都有& 飞 人n+l 2(1)若 ai=1, a505=2017,求 a6 的最大值;(2)若对任意nCN*,都有Snan+1；(H)求证：nCN*时，2Sn-2n ； 3(2)求证：| an+1 - an| W ；(3)求证：| a2n - an|17.设数列an满足:a1=a,2% an+1 -4(a0 且 aw 1, n C N*).(1)证明：当 n2 时，anan+1(b-a?) (b+l)(1 -b)+1时,ak+1 b.总218 .设 a3,数列an中，a=a, an+1= , nCN*.d：a Jn.(I )求证：an 3,且 1; ( n )当 a4 时，证明：an0, ai=2,且(n+1) a)+i2=nan2+an (n N*).(I )证明：an 1;2221(n)证明：_?_+当_+-+2).4 9/回20 .已知数列an满足：a 0. a+2(nG N*) . nnrl q(1)求证：2an+12,都有拼2 (U-sn + +n22 .已知数列an满足ai=1, an+i=(1)求证：anan；(2)求证：a2017V1 ；(3)若ak 1,求正整数k的最小值.25 .已知数列an满足：an2an an+1+1=0, a1=2(1)求 a2, a3；(2)证明数列为递增数列；(3)求证：+- 1 ；(n)证明：Sn+1 1 +-(n+1 ) 2(m )求证：如此或- an+1 3尸.28 .设数列an满足 3二彳an-1(1)证明:(2)证明:29 .已知数列an满足 ai=2, an+i=2 ($+n+1) (nCN*),令 bn=an+1.(I )求证:bn是等比数列；(n )记数列nbn的前n项和为Tn,求Tn；(田)求证： + 4+ +an；(n )证明：an2+ (二)n1;2(田)设数列的前n项和为Sn,求证：1-(二)nSn1.二331.已知数列an满足a1二, 5,nC N*.(1)求 a2；(2)求工的通项公式；)n) Sn2113IM(3)设an的前n项和为S,求证:32.数列an中，a1=1, an=J、加一二(1)证明：an 2n+1 ；(3)设 bn斗，证明：2bn2).1933.已知数列an满足=1,=arL +独，(1)若数歹Ian是常数歹I，求m的值；(2)当 m1 时，求证：anan+1；(3)求最大的正数m,使得an1,*a 35一 p/一1In an*(I )求数列an的通项公式;(H ) 求证：ai+aia2+aia2a3+.+aia2.不i 时，求证：anan+i；(3)求最大的正数p,使得an4, %* 4；(2)判断数列an的单调性；(3)设Sn为数列an的前n项和，求证：当a=6时，4m2凡4公吟.38 .已知数列an满足 ai=i, an+i= y .% +1(I )求证：an+Kan；(n)求证:*139 .已知数列an满足：ai=i, %*q外。-24+3+b(D若b=i,证明：数列(%-I)之是等差数列；(2)若b=-i,判断数列曲7的单调性并说明理由;(3)若b=i,求证：/+5也m#.40 .已知数歹I an满足卬=1, aJ(n=1, 2, 3)，b =2a , Sn=bi+b2+- +bn.u 3 n v 2 xrln n n.证明：(I) an 1 an1)；(n) 0s 2). 241.已知数列an满足ai=1, an+i=y, nCN*,记S , Tn分别是数列an , a的前n项和,证明：当nCN*时，(1) an+1 an；(2) Tn= 2n - 1 ；(3)技-1&倔.42.已知数歹Ian满足a1=3,an+1=an2+2an , n N* ,设 bn=log2 ( an+1).1+-2 3+2)；(I)求an的通项公式;(II)求证:(III)若bn,求证：20)口3.43.已知正项数列an满足 a1=3,an+1=2 an，nN*.(1)求证：1an03, n N*;(2)若对于任意的正整数n,都有呼一况成立，求M的最小值;(3) 求证：a1+a2+a3+ +an n+6, nCN*.44.已知在数列an中，an+1 = -2ar+2, nCN*. bl(1)求证：1an+1an2；(2)求证：三K；2 t3 2h+l(3)求证：n&n+2.45 .已知数列an中，勺4 飞” 上5产(nCN)(1)求证：兴1；(2)求证：与匕是等差数列；(3)设b一冬一；- 记数列bn的前n项和为Sn,求证:15n (l + aj (1+曰2)46 .已知无穷数列an的首项ai=1-, 士(鼻 JpneN*.(I )证明：0an 1；/ _a )2(H)记bn= 4 0 , Tn为数列bn的前n项和，证明：Xt任意正整数n, Tn.%A由11047 .已知数列xn满足xi = 1, xn+1=2j73,求证:(I) 0Xn9；(II) xn g-8(!严1.48.数列an各项均为正数，且对任意nCN*,满足an+1=an+can2 (c 0且为常数).(I )若a1，2a2, 3a3依次成等比数列，求a1的值(用常数c表示)；(H )设bn=, &是数列bn的前n项和,1+c%(i) 求证： -一-;an If(ii)求证：&+12n 1 (|a1| -2) (n N*)(H )若 | an| w (n, n N ,证明：|an|02, nCN . 二an*、50 .已知数列an?两足：a1=1, an+1=an+可.(nCN)(i)证明：皿-盲1+- J；an (n+1) 2(H )求证：口手 an+1n+1.n+3高考数列压轴题参考答案与试题解析一.解答题(共50小题)1,数列an满足 a=1, a2=A；，an= + +(1)求a2, %, a4，a5的值;93+6+6=15,a4=a5=4+4X 3+4X 3X2+4X3X2X 1=64,+ Ar+Af+A 2=5+20+60+120+120=325; u u(2) an=A：+A：+- +A：=n+n (n - 1) +n (n 1) (n-2) +- +n!=n+n (n- 1)+ (n 1) (n2) +-+(n 1) !=n+nan i；(3)证明：由(2)可知3所以(1 +)1+(1+-) a2=2+1 n-1=3- - 2).n所以n)2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立.2,已知数列Xn满足:X1 = 1,xn=xn+1+ln (1+Xn+1)(n G N*),证明：当 nG N时,(I ) 0Xn+1Xn；(n ) 2xn+1 - xn0,当n=1时，xi=io,成立，假设当n=k时成立,则Xk0,那么 n=k+1 时，若 0,则 04=xci+ln (l+x-) 0,因此 xn0, ( n N*)：Xn=Xn+l + ln (1+XnM) Xn+1 ,因此 0Xn+i0：f (x)=.2y十v工+1.+ln (1+x) 0,.f (x)在(0, +8)上单调递增,.f (x) f (0) =0,因此 Xn+1 - 2xn+i+ (i+2) In ( 1 +Xrvi) 0,故 2xn+! - Xn2 (20,-Xn2 (2Kn-1=2212 n-2综上所述3,数列an中,2n-223nan+i- 7(n N*)a 4一a 41ti n(I )求证：an+ian;(n )记数列an的前n项和为Sn,求证：&0,且ai=Lo, ： an0, 口口 anri 1口n 2 /42%2 卜2 8n+1 4= an= 0.n nn n - 8n+1 3n ；4,已知正项数列an满足 an2%n=3a2n+l+2an+1, ai = 1 .(1)求a2的值；(2)证明：对任意实数 nCN*, an0, 4a2n+i0,则有对任意实数nGN*, an2an+1;(3)由(1)可得对任意实数 n G N*, an_lJ, as224an-，前 n 项和为 S1=ai+a24- +an 1-ki_+l+- +-2 4211-1第21页（共59页）又 an2+an=3a2n+i+2an-ia2nM+an-i,即有(aan+i) (an+an+i+1) 0,贝U ananM,数歹U an递减，即有 S=ai+a2+i+an 1,+-2 42n-2n-l5.已知在数列an中，遂，a61二五;20门+2-，ne N* UI(1)求证：12什1a2；(2)求证：3-(0+2；2n-1 +3产(3)求证：nsn n+2.【解答】证明：(1)先用数学归纳法证明1备2. . n=1时1勺42， -1 .假设n=k时成立，即1 ak 2.那么 n=k+i 时，ak+1 = a-2ak+2C (1, 2), ak (1, 2)成立由知 Ian2, n N*恒成立an-l) ( an-2)0所以Ivav an 2成立.(2) J._2, H-，当n)3时，g1而1an(3)由(1) 1 ann由（2）得产 +2=m_1_1 时，an (aT) a1；(111)当 a1 =-时,n V2n Sn n.【解答】证明：（I ）用数学归纳法证明.当n=1时，0Wan01成立.假设当 n=k (k N*)时，0Wak01,由知，0a/ 1,则 an 1, ( nG N*),%-产(%2-%+1)-1n a an=an ( an - 1), r从而- %-l)( a】一1) ajT, .当 ai 1 时,an ( ai 1) ain 1.(W)当白，一时，由(I ), 0an1 (nGN*),故 Snbn+10, (n N*),%包二42-%+1得1，二卜口卜丘十;bj+b/+匕2= ( b1b2) + ( b2 b3) +-+ (bn bn+1) =b1b第27页（共59页）bj+b/+b/7.(ne N*),卷吃房:T（而g”：b1+b2+一+加口/， ;当a1蒋时，n/Sn2时，(-l)n(n )若数列 bn满足b =n 5凸n.【解答】解：(I )数列an满足Sn=2an+1,则Sn=2an+1=2(Sn+1 Si),即3Si=2Sn+1 ,即数列S为以1为首项，以为公比的等比数歹U,.Sn=（工）n1 （nG N*）.2.& = 1, S2=；（n ）在数列bn中,为 bn的前n项和,则1 Tn|= 一 ：一二：3 g 。,(-1)11-1国 rt-l u=i 狂十-338.已知数列an满足ai=i,（I）证明：（口）证明：【解答】（I ）_ %tl n+121而T-1）左嗡/I （什J口由+得:%+2，+ 4必arl P an ann n+1由 bi=ai =1, b2=2,易得 bn 0由-得：7 = trrl.pbn_1(n2)n. bib3 b2n 1, b2Vb4 一1根据 bn?bn+i=n+1 得：bn+in+1,1bn0,故 an(an+1.?2 a 3 a +2Fl Ti(1)证明：an2;(2)证明：备 (g ) 21 ._%(%一) (%也,又 an 2. . 1 v an 0, 分母 0.2 a Sa +2rL n另一方面：由（II）可知:JF =注22 st %，2a；-3/+2(2an-3)CaZ)H(24an) 4从而可得:犷得产,，2尹个_电1汐4 2n 3综上可得：2n-Sn2,且对任意 nG M,都有 S1nai -I (n 1),证明：Sna10?目十Z1a10,解得0a1a20, ? a j_?a2, ? 0a22?。 名十JL 12,解得 1a12,.2-11 a l由可得：1a12.下面利用数学归纳法证明：当 1坊2时，？ nG N*, 1an2成立.(1)当 n=1 时，1a12 成立.（2）假设当n=k N*时，1an2成立.则 zb n k+1 时,ak+1=ak+1 e2）?（1, 2）,叱即n=k+1时，不等式成立.综上（1） （2）可得：？ nG N*, 1an0,即 an+1 an,anan是递增数列，a1的取值范围是（1, 2）.（II）证明：a12,可用数学归纳法证明：an2X? n N*都成立.9、于是：an+1 -备=1 na1(n- 1)中，令 n=2,可得：2al1=2al-解得 a1a3,因此 2a13371下证：(1)当 2 a 时，SG na1 - (n - 1)恒成立.事实上，当2 a+ (n - 1)(aj)=nai-2d) -ajtJ再证明：(2)曰?时不合题意.3bn+i=b2 1,可得 bjjl=h+L Wbl+1% L %+2 b+2 3事实上，当 工句43时，设叫=如+2,可得!J1.由 an+1=an+-? 1 (n 6 N*),可得: %于是数列bn的前n和Tn 3bi 3.第29页(共59页). a 寸不合题意.故 Sn=2n+Tn0)?由可得：Sina1+ (2-a1)n+3二fiq- 33(n - 1)恒成立矛盾.3只要n充分大，可得：nai-1令7故数歹|J 3的前 n 项和 Tn bi 1，; 0=2n+Tn 2n+1.1 . A 311 .设 an=xn, bn= () 2, 为数列an?bn的前 n 项和，令 fn (x) =31 1, x G R, a G N*.n(I )若x=2,求数列型二L的前n项和Tn；9(n )求证：对？ nG N方程fn (x) =0在Xn 且，1上有且仅有一个根;3(HI)求证：对？ pG N*,由(U )中Xn构成的数列Xn满足0Xn- Xn+p0,:,n G N+), fn(X)=1故函数f （x）在（0, +8）上是增函数.由于fl（Xl）又fn（=1 +2+322=0,当n2时，fni0,即 fn (1) 0.)n0时,. fn+1（X）=fn（X）+fn(X), fn+1(xn) fn (Xn)=fn+1(Xn+1)=0.由 fn+1（X） 在（0, +8）上单调递增，可得Xn+10,故数列Xn为减数列，即对任意的 n、pGN+, Xn - Xn+p 0 .23第,1 1 1 1+32由于 fn (Xn) =- 1+Xn 4%与=0，, n产黑3冒1+ .+ 32fn+p ( Xn+p) = 1 +Xn+p-n;一2 n+n+1Cn+1 产 Cn+2 )+-rt+p+Cn+p )2,用减去并移项，利用0Xn+pW1,可得Xn Xn+p=k=2 X k=n+l KrH-p E k=n+lJ -k=n41kn1+止(D综上可得，对于任意 p N + ,由（1）中Xn构成数列Xn满足0Xn-Xn+p2(门-1)+十4+53口-2 n=1 时* bl_3_n2,可证：3口一22口(3)由3nlk1=(n=L 2,)- 7 +Ln=ntL1r (n+l) a =- tn+D,目n+ln 己口 an+l an11 ann an可得：工2G.an+l %叠加可得上2(立十&1+，卜匹)，工32(0Wti7+V5+1) ,/ 日 %所以13.已知数列an）满足:ai=_2,an=an - 12+3n-1 5)2且门2.（I ）求 a2, a3；并证明：2 2”L?3 22A-（n ）设数列an2）的前n项和为A,数列的前n项和为Bn,证明:an+1 -第39页（共59页）【解答】解：（I） a2=a1：An=a12+a22+%2+乐2= (a2a)+83药)+ +an=an- 12+an- 1=an- 1 (备-1+1),+a1tL-154 2a3=a22+a2=225 . 15 285164证明：an=an- 12+an-1 ,+:= ( an- 1+-)22+A4a + - an+2 (an1+ 上)2 ( an-2+1)4 ( an 3+二J)2n- I=22:an 2又. an) 备 备-1 an-2 a1 1,an2 an.an=an12+an-1 2a , n-1n 1综上，2 ：L2?22?24?？2 ”.?(II)证明：: an=an- 12+an- 1,an-?=an an - 1 )an+ln 二一3 a什114.已知数列an的各项均为非负数，其前n项和为Sn,且对任意的n G N*,都有arri-i 2(1)若 ai=i, a505=20 1 7,求 as 的最大值;(2)若对任意nGN*,都有&01,求证:【解答】解：(1)由题意知 an+厂 an&an+2 备+1)设 d=ai+1 - a, (i=1, 2,，504),贝 It d10d2d30 v d504, FL d1+d2 +d 3+ * * +d504=2016,d+ d/ ,d50Ml2。16-(a4y,耳)409409所以 d1+d2+-+d50 20, . as=a+ ( d1 +2+ ，+d5) 021.(2)证明：若存在k N*,使得ak a,则由得 ak+1 1,与题设矛盾，所以斗不可能递增，即只能 斗-an+1)0.令 bk=ak ak+1, (k e N*),由 a. ak+1 n a+1 ak+2,彳导 bknbk+1,bk0,n (n+l )故 1 a1+a2+- +an= ( b1+a2)+a2+an=b1+2 (b2+a3)+aa+- +an, =5+2b2+-+nbn+nan，-一 ： | 二.一. i -综上，对一切n N*,0 都有0an+1；(n )求证:an+1 -备与 an an -1 同号,由ai=4,可得可得 a2 - aian+1.(II)22=6+an,an+l2 ( a2刊=an 2,即 2 (备+1 2) (an+i +2) =an 2, * an+1 2 2 an 2 同号, 又 J a2=20, J an2. . Sn=a1+a2+，,+ann 4+2 (n 1) =2n+2.,.Sn-2n2.由可得：/+2= ,1%-2 2(an+l+2)| 8因止匕 an 2 ( a1 2) .(1)口一1,即备02+2 x (1一)a,16 * Sn=a+a2+，,+an 2n+2x7 2n+.1上 g综上可得：nGN*时，20Sn-2n35.716.已知数列an满足,a1=1,an=己Ml(1)求证:(2)求证:(3)求证:| a2n an| 0 且 a，1, r七1|(1)证明：当 n2 时，anan+1工七(1耳 【解答】证明：(1)由an+1r一知an与a1的符号相同， 4+1 . an 0 工-an+1=j0,下面用数学归纳法证明:a 0 且 a，11,即有 a2a3V1,第45页（共59页）假设n=k时，有% ak+i 1,则ak+2=2ak+-l1,即条1%21即当n=k+1时不等式成立, 由可得当n2时，anan+1b,由(1)知 ak+1akb,若 ak b,0 xnx,而 ak2+1 b2+1 b+1,且 a2a3 ak b a2?(1+b)k 1=a2? (1+-1+b)k1.a2?1 +1,(b+1)k(k 1) 吃(1 -b)1-b i+b;ak+1 b.18.设a3,数列备中,(I )求证:an3,且1；（口）当 a04 时，证明：an0,卷 &专=一生0a同号与小同同号，又a3:勺号.an+1 30,即 an3 （n=1 时也成立）综上可得：an3,且+1 1； %（口）当 a04 时，- an+1 3= 3= 2aj32 a3nnf 3= %-3 ,%-3 2an-3由（I）可知：3anwa1=a=c4,-3an4.设 an 3=t （0, 1.%+3=%-3 2t43 5 an0, a1=2,且（n+1） an+12=nan2+an （nGN*）.（I ）证明：an1;【解答】证明：（I）由题意得（n+1） an+12- （n+1） =nan2 n+an 1,(n+1) (an+i+1) (an+i 1) = (an 1) (nan+n+1),由 an0, nG N*, ;(n+1) (an+1+1) 0, nan+n+10,an+1 1 与 an 1 同号，11=1 0, , an 1 ；(口)由(I )知，故(n+1) an+12=nan2+an (n+1) a/ .an+1an, 1an2,又由题意可得 an= (n+1) an+12- nan2,a1=2a22a12,a2=3a322a22,，an=(n+1)an+12nan2,相加可得 a1+a2+ ,+an= (n+1) an+12 42,当n=2时,当n=3时,5当n）4时,0.江一1+一2（nE V） nrrr 1 a（1）求证：N。；求证：N*） 【解答】证明：（1）由1/必 51+；2,所以5+12-21 %所以备+2V备+11,底 后由（1）可得当 nN 时，anaN+i 1,根据 aa -1=-0,而 an1 +-一，aN+2-1 aN+l-11 +aN-M-1囹trrl T累加可得 1n -1 +(*)aNtn-1aN+l-1由(1)可得 aN+n K0,而当n十时，显然有一L十-0,己1 T&M+1 T因此有 . ,aWtn-1aN+l-1这显然与（*）矛盾，所以21 .已知数列an满足 a1=1,且 an+1【解答】解：（1） a1=1,且an+12+an2可彳导备+12+2口2 2an+1an 2an+1+2an+1=0,即有( an+1 On) 2 - 2 ( an+1 an) +1=0,即为(an+1 一斗1 ) 2=0,+an2=2 (an+1an+an+1 an（1）求数列an的通项公式;(3)（2）求证:记 Sn=L+J+. al a2 %证明：对于一切n2,都有 &22 ().=2 ( an+1an+an+1 an -)2可彳导On+1 - On = 1贝U an=ai+n 1=n, n G N* ；(2)证明：由23n1+11故原不等式成立;(3)证明：&=L al1+11+n=1+412 ari当 n=2 时，S22= 11+) 2= 2?-24假设 n=k2,都有 S22 (则 n=k+1 时，Sk+i2= (Sk+-k+1)2,=(&+52T成立;*+- 3s21 + - +L)Sk+12 2 (+ “5/1-+k k+1k+1) 2? kZk+1=S0,$223T(k+1 ) 2由k1可得七1(k+1 产+-+2S2可 4导 S2 -2( -2).)0,则 Sk+12 2 (+- +k+-lk+1)恒成立.综上可得，对于一切n2,都有022 (L- +-2 322.已知数列an满足a=1, an+1=(1)求证：一 an 1；第53页(共59页)(2)求证：| a2n- an| 【解答】证明：（1）用数学归纳法证明:当n=1时,假设当n=k时，有3a j +2 5一4与成立，则当n=k+1时,ak+l 相 小+不1,ak+l J:当 n=k+1 时,命题也成立.由得(2)当 n=1 时,| a2 一 a1| | an+1 an| =|当n）2时，:an-l=(1 an- an-1| , (I %1Ml1=22(an+y)(al+j)n1| a2 一a1=（百）i(上L)订10*23.已知数列