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青岛二中2011-2012学年第二学期期中考试高三数学(理科)(考试时间:120分钟 满分:150分)第I卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若,其中,是虚数单位,则 ( )A B2 C D42已知R为全集,则 是( )A1或 B1或 C3或 D3或 3在面积为的的边上取一点,则的面积大于的概率为( )A B C D4过点的直线与圆C:交于、两点,当 最小时,直线的方程为( )A B C D5若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过025, 则可以是 ( ) A BC D6在上单调递减,那么实数的取值范围是( )A B C D7已知向量,的夹角为,且,则与的夹角等于( ) ABCD8函数对任意的,都有,若函数,则的值是( )A1 B5或3 C2D9执行如右图所示的框图,输入,其中,为的平均数,若输出的数,则( )A2 B3 C4 D510设,点为所表示的平面区域内任意一点,为坐标原点,为的最小值,则的最大值为( )A B C D 11已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,则以此抛物线的焦点为圆心,以双曲线的离心率为半径的圆的方程是( )A B C D12在平面直角坐标系中,定义为点到点的一个点变换,已知P1(0,1),P2(x2,y2),(nN*)是经过点变换得到的一列点,设,数列的前n项和为,给出以下四个结论:; ; ; 则正确结论的序号是 ( )A B C D 第卷(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共计16分)13已知函数,对任意的,则的取值范围是_14若正三棱柱的底面边长为3,侧棱长为,则该棱柱的外接球的表面积为_15设是的展开式中的一次项的系数,则 的值是_16给出以下命题:是成立的充分不必要条件函数的最大值为2正态分布曲线中,一定时,越小,曲线越“矮胖”,表明总体分布越分散对于函数,若,则函数在内至多有一个零点其中正确命题的序号是_(注:把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在锐角中,分别是角所对的边已知,且(I)求角的大小;(II)记,求的值域18(本小题满分12分)某学校举行定点投篮考试,规定每人最多投篮4次,一旦某次投篮命中,便可得到满分,不再继续以后的投篮,否则一直投到第4次为止如果李明同学参加这次测试,设他每次定点投篮命中的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9(I)求他在本次测试中投篮次数的概率分布和数学期望;(II)求他在本次测试中得到满分的概率19(本小题满分12分)如图,四棱锥中,平面,是的中点(I)求证:平面平面;(II)求二面角平面角的正弦值20(本小题满分12分)已知为数列的前项和,且 (I)求证:数列为等比数列;(II)设,求数列的前项和21(本小题满分12分)已知函数(I)求;(II)设,函数,若对于任意,总存在,使得成立,求的取值范围22(本小题满分14分)如图,在直角坐标系中,O为坐标原点,直线轴于点, 动点到直线的距离是它到点的距离的2倍(I)求点的轨迹方程;(II)设点为点的轨迹与轴正半轴的交点,直线交点的轨迹于,两点(,与点不重合),且满足,动点满足,求直线的斜率的取值范围青岛二中2011-2012学年第二学期期中考试高三数学(理科)参考答案一、 选择题:DBBAA CCCAA DD二、 填空题:13;14;15; 16;17解:(),即,(),锐角,的值域为18解:(1)随机变量1,2,3,4P(1)=0.6P(2)=0.40.7=0.28P(3)=0.40.30.8=0.096P(4)=0.40.30.2=0.0241234P0.60.280.0960.02410.6+20.28+30.096+40.024=1.544(2)记李明在本次测试中得满分为事件AP(A)=0.997619解:如图,四棱锥中,平面,是的中点(I)求证:平面平面;(II)求二面角平面角的正弦值解:由于平面,,可建立以点A为坐标原点,直线AB、AD、AE分别为轴的空间直角坐标系.设,则,点是的中点,即有(I)证明:设平面的法向量为,平面的法向量为,则有: 令,则 同理:又 即平面平面(II)由题意可知向量为平面的法向量,设平面的法向量为 令,则 又,设二面角平面角为,则(几何法略)20解:(I)证明:当时,整理得是以2为首项,以2为公比的等比数列 (II)解:由(I)得, 当 为偶数时,)= 当 为奇数时,可得 综上, (为奇数) (为偶数) 21解:(), ,()由()知:,在为减函数,值域为,时,在为减函数,的值域为,由题意知:只需,又,22解:(1)依题意知,点C(4,0),由 得点D(1,0)设点M(),则:整理得:动点M的轨迹方程为 (2)当直线EF的斜率不存在时,由已知条件可知,O、P、K三点共线,直线PK的斜率为0.当直线EF的斜率存在时,可设直线EF的方程为代入 ,整理得设 ,K点坐标为(2,0),代入整理得解得:当时,直线EF的方程为恒过点,与已知矛盾,舍去.当时,设,由 知直线KP的斜率为当时,直线KP的斜率为0, 符合题意当时,时取“=”)或时取“=”)或综合以上得直线KP斜率的取值范围是.
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