中等职业学校通用教材数学上1

第1章 数、式与方程1.1 1.1 数（式）的运算数（式）的运算1.2 1.2 解方程（组）解方程（组）1.3 1.3 指数与对数的运算指数与对数的运算1.1 数（式）的运算数（式）的运算l 数的基本知识l 整式的运算l 分式的运算l 数的乘方和开方运算回顾数的基本知识数的基本知识有理数有理数 整数和分数统称为有理数。 无理数无理数 无限不循环小数叫做无理数。实数实数 有理数和无理数统称为实数。 数轴数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。倒数倒数 乘积是1的两个数叫做互为倒数。相反数相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。绝对值绝对值 几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离，数a的绝对值记作|a|。 代数定义：(0)|0(0)(0)aaaaaa 例题解析例题解析 例例1 求下列数的绝对值： （1）3.4 （2）解解单击鼠标继续单击鼠标继续37（1）因为3.40，所以|3.4|3.4。 （2）因为 b，则ab0，ba0。所以 c|ab|ba|(ab)(ab)0 若ab，则ab0。所以 c|ab|ba|(ba)(ba)0 若ab，则ab0，ba0。所以 c|ab|ba|0综上所述，c0。 例例2 若a、b是两个已知数，且c=|ab|ba|，求c 。解解单击鼠标继续单击鼠标继续 1在2、 、 、 、 这些数中，整数有_，分数有_， 有理数有_，无理数有_。 2 的相反数为_，倒数为_；0的相反数_，0有倒数吗？ 3求下列各式中x的值： （1）x0，|x|0.1 （3）|x| 4已知a0， ，求x。4394225543aax 整式的运算整式的运算幂的运算法则幂的运算法则（a、b0，m、n是整数） anamanm (am)namn(ab)nanbn mm nnaaa常用乘法公式常用乘法公式22)(bababa2222)(bababa2222)(bababa因式分解因式分解乘法乘法因式分解因式分解 多项式的因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积，多项式的因式分解和整式的乘法是相反方向的变换。 2xaxbxab+)(bxax 例题解析例题解析 例例1 计算： （1） （2） 解解22(23 )4(1)xxx+-23()( 3) ( 7)4a bcababc （1）原式222234842114xxxxxx=+-+-= -+-（2）原式2217( 7)44acabca bc 单击鼠标继续单击鼠标继续解解 例例2 把下列各式分解因式 （1） （2） （3）3223215205a ba ba b2221xyy2215xx（1）原式) 143(522babba（2）原式2222(21)(1)(1)(1)xyyxyxyxy（3）原式)5)(3(xx单击鼠标继续单击鼠标继续 1计算 2计算 3分解因式： （1） （2） （3） （4）22(25)( 346 )xxxx 2(37) ( 467)abaab 22236482412()a bcab cabcabcbcabaca2862xx2235xx-=分式的运算分式的运算 分式分式 A、B表示两个整式，AB就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 BABA 分式的基本性质分式的基本性质 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，即 ， （M为不等于零的整式）AAMBBMAAMBBM 分式的运算分式的运算 分式的加减运算是使用通分进行的；分式的乘除运算是使用约分进行的。 例题解析例题解析解解 例例 计算： （1） （2） （3） 11axax2212babaabb22322222babbaa babab 分析分析分式的加、减法关键是求最小公分母，基本方法：先将各分母分解因式；将所有因式全部取出，公因式应取次数最高的；将取出的因式相乘，积为最小公分母。在分式的乘除运算中，先要将各分式的分子、分母都因式分解，相乘时约去分子分母的公因式，再化简。（1）原式222()()()()axaxaax axax axax+-=+=-+-+-（2）原式2221()()()()babbaabababab+-=-=+（3）原式)()()()(22baabbabbababaab单击鼠标继续单击鼠标继续 1当x_时，分式 没有意义。 2当x_时，分式 的值为0。 3计算： （1） （2）xx3132xx3132332113baabba)252(423xxxx数的乘方和开方运算数的乘方和开方运算正整数指数幂正整数指数幂nnaa a a aaa 个（n是正整数）零指数幂零指数幂10a（a0）负整数指数幂负整数指数幂nnaa1（a0，n是正整数）平方根平方根若x2a (a0)，则称x为a的平方根（二次方根） 立方根立方根若x3a (a0)，则称x为a的立方根（三次方根） n次方根次方根 若xna （a是一个实数，n是大于1的正整数），则称数x为a的一个n次方根。 当n为偶数时，对于每一个正实数a，它在实数集里有两个n次方根，互为相反数，分别表示为 和 ；而对于每一个负数a，它的n次方根没有意义。 当n为奇数时，对于每一个实数a，它在实数集里只有一个n次方根，表示为 。 当a0时， 0；当a0时， 0。 的n次方根是。nananan次根式次根式 我们把形如 （有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数，正的n次方根 称为a的n次算术根，并且na()nnaa（n1，n是正整数） 例题解析例题解析 例例1 计算：解解033313( 3)( )( )0.0122、。0( 3)133111( )8112( )28313( 1) ( 3)332228( )( ) ( )( )233327323( 2) ( 3)60.01(10 )1010 例例2 求8的立方根，16的四次方根。解解 8的立方根为382-= -4162= 16的四次方根为单击鼠标继续单击鼠标继续 例题解析例题解析 例例 计算（用计算器运算）： （1）2215 （用科学计数法表示，保留4位有效数字） （2）(1.052)10（保留4位有效数字） （3）10(1.052)10（保留4位有效数字） （4） （保留4位有效数字） （5） （保留4位有效数字） （6） （精确到0.001）解解10610100( 61)-756.456- 分析分析 在计算器上用一个 yx 键来进行数的乘方运算，按键顺序为：底数 yx 指数 在计算器上用yx的第二功能键进行数的开方运算，按键顺序为：被开方数 2ndF yx 开方次数 =（1） 22151.3691020（2）(1.052)101.660（3）10(1.052)1016.60（4） 1.196（5） 19.62（6） 1.03510610100( 61)-756.456-单击打开单击打开计算器计算器单击鼠标继续单击鼠标继续 1计算下列各式的值： 40、 、 、0.12 。 2 的平方根为_；0的平方根为_；27的立方根为_； 的立方根为_； 的四次方根为_。 3用计算器运算： （1）3212、(2.05)10（用科学计数法表示，保留4位有效数字） （2） 、 （精确到0.001）0( 2)23( )2162582716816106866.4561.2 解方程（组）解方程（组）l 解一元二次方程l 解简单的二元二次方程组回顾解一元二次方程解一元二次方程一元二次方程一元二次方程20(0)axbxca求根公式求根公式aacbbx242判别式判别式24bac 当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根。一元二次方程的解法一元二次方程的解法（1）直接开平方法。 （2）配方法。（3）公式法 。 （4）因式分解法。 根和系数的关系根和系数的关系 如果ax2bxc0（a0）的两根是x1、x2，那么，x1x2 ，x1x2 。abac 例题解析例题解析 例例 解方程 2320 xx解法一（配方法）解法一（配方法）原方程配方，得 041)23(322 xx整理得231()24x所以2123x解得1221xx，解法二（因式分解法）解法二（因式分解法）原方程可化为0)2)(1(xx所以 1221xx，解法三（公式法）解法三（公式法）2( 3)4 1 21 213213x解得1221xx，单击鼠标继续单击鼠标继续 1解方程： （1）x25x60 （2）x21690 2若方程9x22mx160有两个相等的实数根，那么m_。 3若方程8x2(k1)xk70的一个根是0，则k=_，另一个根是_。解简单的二元二次方程组解简单的二元二次方程组 二元一次方程组二元一次方程组 几个二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 二元二次方程二元二次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项中，最高次数是2 的整式方程，叫做二元二次方程，它的一般形式为：Ax2+bxy+cy2+dx+ey+f0 二元二次方程组二元二次方程组 由两个二元方程组成并且其中至少有一个是二元二次方程的方程组叫做二元二次方程组。 二元二次方程组的解法二元二次方程组的解法 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般可用代入消元法来解。其目的是把二元方程化为一元方程。 例题解析例题解析 例例 解方程组：解解224310210 xyxyxy （1）（2）由（2）得 （3） 12 xy把（3）代入（1），得 01) 12(3) 12(422xxxx整理得 0823152xx; 1, 111yx解得 128115xx或 将x1、x2分别代入（3），求得121115yy或 所以，原方程组的解为 1111xy22815115xy或 单击鼠标继续单击鼠标继续 1解方程：（1） （2） 2解方程组：（1） （2） 3解方程组：（1） （2）10253xx3423xx-=25328xyxy52253415xyxy221062110 xyxxy 712xyxy1.3 指数与对数的运算指数与对数的运算l 指数的运算l 对数的运算回顾指数的运算指数的运算有理指数幂有理指数幂这样，我们把整数指数幂的概念推广到了有理指数幂有理指数幂。法则法则1 apaqapq法则法则2 (aq)p=aqp 法则法则3 (ab)papbp 一般地，我们规定 （ 为既约分数，m、n都是正整数）其中，当n为偶数时，a0；当n为奇数时，a为任意实数。 mnmnaamn 负分数指数幂的意义：设a0，n、m都是正整数且n1，当 有意义时，我们规定 （ 为既约分数， m、n都是正整数）nma1mnmnaa-=mn 例题解析例题解析 例例1 求分数指数幂的值：解解1231( )0.0014、。222( 2) ( 2)41(2 )22164（ ）111( 3)3133310.001(10 )101010 例例2 求值：632 31.512解解11111112633636221111111111( 1)233663336221 11 1 11113 32 3 632 31.5122 3( )122 3(3 2 )(23)22 332232 22333223236 单击鼠标继续单击鼠标继续 1计算下列有理指数幂的值： 2用计算器计算下列各式的近似值：（精确到0.001）4381523232)001. 0(431285711.416对数的运算对数的运算 在代数式abN中有a、b、N三个量，若已知其中两个量，就可以求出第三个量。已知a、b求N是乘方运算；已知b、N，求a是开方运算；已知a、N，求是什么运算呢？ 例如：（1）已知2x，求x；（2）已知2x，求x。它们都是已知底数和幂值，求指数的运算。由于23，所以（1）中的x，但（2）中的x是多少呢？要想顺利地解决这个问题，还需要学习新的知识：对数对数。对数的定义对数的定义 一般地，在式abN（a0，a1）中，称b为以以a为为底底N的对数的对数。并且把b记为logaN，即logaNb其中a称为对数的底数对数的底数（简称底），N称为真数真数。 由于a0，所以ab总是正数，即零和负数没有对数零和负数没有对数。 由于a01，所以loga10，即1的对数等于的对数等于0。 由于a1a，所以logaa1，即底的对数等于底的对数等于1。对数恒等式对数恒等式NlogaNa 例例1 求下列各式的值： （1）log31 （2） （3） 例题解析例题解析解解3log435log25（1）log3103log 434（2）5log252（3） 例例2 求下列对数的值： （1）log28 （2）21log4解解（1）因为238，所以log283。（2）因为22 ，所以log2 2。4141单击鼠标继续单击鼠标继续对数的运算法则对数的运算法则设a0，a1，M、N都是正实数，则有：法则法则1法则法则2法则法则3log ()loglogaaaM NMNlogloglogaaaMMNNloglogpaaMpM 例题解析例题解析 例例1 求log232和 的值。 解解2log12852log32log52212222117log128log 128log 1287222 例例2 求 的值。 31log9解解3331loglog 1log 90229 单击鼠标继续单击鼠标继续常用对数常用对数 我们把以10为底的对数称为常用对数常用对数。通常把log10N简记为lgN。自然对数自然对数 以无理数2.71828为底的对数称为自然对数自然对数。把logeN简记为简记为lnN。换底公式换底公式 设a0，a1， N是正数，则lgloglgaNNalnloglnaNNa 例题解析例题解析 例例 用计算器计算下列对数的值：（精确到0.01） （1）log1.152 （2）log1.0361.5解解1.15lg2log24.96lg1.15=（1）（2）1.036lg1.5log1.511.46lg1.036=单击鼠标继续单击鼠标继续 1请写出下列指数式相应的对数式，并指出底数和真数： 224，3327， ， ， 。 2求下列对数的值： log101、log216、 、 、 。 3用计算器计算下列对数的值：（精确到0.01） 、ln5、ln0.56、log50.752、 。3128913216)21(4243log3161log4)816(log43221lg13log21