湖南省长沙市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2016年湖南省长沙市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|3x3，B=x|x（x4）0，则AB=（）A（0，4） B（3，4） C（0，3） D（3，4）2已知复数z=，则对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知=（sin，cos），=（2，1），若，则tan的值为（）A2 B2 C D4下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件C命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题5双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（）A B C1 D6设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（）A11 B10 C9 D8.57某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A4 B5 C6 D78已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当0x时，f（x）=4x，则f（）=（）ABC1 D9已知函数y=sinx+cosx，y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）A两个函数的图象均关于点（，0）成中心对称B的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得的图象C两个函数在区间（，）上都是单调递增函数D两个函数的最小正周期相同10如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A B C D211已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若x1，3，x22，3，使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（）Aa1 Ba1 Ca0 Da012如图所示，直线y=m与抛物线y2=8x交与点A，与圆（x2）2+y2=16的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则ABF的周长的取值范围是（）A（6，8） B（4，6） C（8，12） D（8，10）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx+ay=1的斜率k的概率是14已知正项等比数列an中，a2a5a13a16=256，a7=2，则数列an的公比为15在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，ACB=60，则球心O到平面ABC的距离为cm16在ABC中，角A、B、C所对的边分别a、b、c，且满足b2+c2a2=bc， 0，a=，则边b的取值范围是三、解答题（共5小题，满分60分）17等差数列an中，a2=8，S6=66（1）求数列an的通项公式an；（2）设bn=，Tn=b1+b2+b3+bn，求Tn18某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：100，110），110，120），120，130），130，140），140，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：K2=19如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1（1）证明：平面ADE平面ACD；（2）当三棱锥CADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离20已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程21已知关于x的函数f（x）=（1）当a=0时，求函数y=f（x）的单调区间；若方程f（x）=k有两个不同的根，求实数k的取值范围；（2）若f（x）恒成立，求实数a的取值选修4-1：几何证明选讲22如图，BAC的平分线与BC和ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F（1）求证：EC=EF；（2）若ED=2，EF=3，求ACAF的值选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为=2cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|x+1|（1）解不等式f（x）1（2）当x0时，函数g（x）=（a0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围2016年湖南省长沙市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|3x3，B=x|x（x4）0，则AB=（）A（0，4） B（3，4） C（0，3） D（3，4）【考点】并集及其运算【分析】利用并集的性质求解【解答】解：集合A=x|3x3，B=x|x（x4）0=x|0x4，AB=x|3x4=（3，4）故选：B2已知复数z=，则对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】化简已知复数，可得其共轭复数，由复数的几何意义可得【解答】解：化简可得z=2+i，=2i，对应的点为（2，1），在第三象限，故选：C3已知=（sin，cos），=（2，1），若，则tan的值为（）A2 B2 C D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由向量垂直的性质得=2sin+cos=0，从而cos=2sin，由此能求出tan=【解答】解：=（sin，cos），=（2，1），=2sin+cos=0，cos=2sin，tan=故选：C4下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件C命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】写出命题的否定判断A；求解方程后结合充分必要条件的判断方法判断B；写出特称命题的否定判断C；由互为逆否命题的两个命题共真假判断D【解答】解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x21，则x1”，故A错误；由x25x6=0，解得x=1或x=6，“x=1”是“x25x6=0”的既不充分也不必要条件，故B错误；命题“xR使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”，故C错误；命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，故D正确故选：D5双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（）A B C1 D【考点】双曲线的简单性质【分析】由a2=m，b2=1，利用可得右焦点F取渐近线y=x利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：a2=m，b2=1，=可得右焦点F取渐近线y=x，即xy=0右焦点F到渐近线的距离d=1故选：C6设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（）A11 B10 C9 D8.5【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】首先做出可行域，将目标函数转化为，求z的最大值，只需求直线l：在y轴上截距最大即可【解答】解：做出可行域如图所示：将目标函数转化为，欲求z的最大值，只需求直线l：在y轴上的截距的最大值即可作出直线l0：，将直线l0平行移动，得到一系列的平行直线当直线经过点A时在y轴上的截距最大，此时z最大由可求得A（3，1），将A点坐标代入z=2x+3y+1解得z的最大值为23+31+1=10故选B7某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A4 B5 C6 D7【考点】循环结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S，k值并输出k，模拟程序的运行过程，即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前 100 0/第一圈100201 是第二圈10020212 是第六圈1002021222324250 6 是则输出的结果为7故选C8已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当0x时，f（x）=4x，则f（）=（）ABC1 D【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数的奇函数得f（）=f（），再根据f（x+1）=f（x），把）=f（）=f（+1）=f（），进而求解【解答】解：因为函数的奇函数，所以f（）=f（）又f（+1）=f（）=，所以f（）=故选A9已知函数y=sinx+cosx，y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）A两个函数的图象均关于点（，0）成中心对称B的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得的图象C两个函数在区间（，）上都是单调递增函数D两个函数的最小正周期相同【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性【分析】函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数；函数解析式利用二倍角的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，然后分别对各项判断即可【解答】解：y=sinx+cosx=sin（x+），y=2sinxcosx=sin2x，A、中的函数令x+=k（kZ），解得：x=k（kZ），故（，0）为函数对称中心；中的函数令2x=k（kZ），解得：x=（kZ），故（，0）不是函数对称中心，本选项错误；B、向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍，即得，本选项错误；C、令+2kx+2k（kZ），解得：+2kx+2k，故函数在区间（，）上是单调递增函数；令+2k2x+2k（kZ），解得：+kx+k，故函数在区间（，）上是单调递增函数，本选项正确；D、=1，T=2；=2，T=，本选项错误，故选C10如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A B C D2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1BDE，其中E是CD中点，由此能求出该四面体的体积【解答】解：由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1BDE，其中E是CD中点，BDE面积，三棱锥C1BDE的高h=CC1=2，该四面体的体积：V=故选：A11已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若x1，3，x22，3，使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（）Aa1 Ba1 Ca0 Da0【考点】全称命题【分析】由x1，3，都x22，3，使得f（x1）g（x2），可得f（x）在x1，3的最小值不小于g（x）在x22，3的最小值，构造关于a的不等式，可得结论【解答】解：当x1，3时，由f（x）=x+得，f（x）=，令f（x）0，解得：x2，令f（x）0，解得：x2，f（x）在，2单调递减，在（2，3递增，f（2）=4是函数的最小值，当x22，3时，g（x）=2x+a为增函数，g（2）=a+4是函数的最小值，又x1，3，都x22，3，使得f（x1）g（x2），可得f（x）在x1，3的最小值不小于g（x）在x22，3的最小值，即4a+4，解得：a0，故选：C12如图所示，直线y=m与抛物线y2=8x交与点A，与圆（x2）2+y2=16的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则ABF的周长的取值范围是（）A（6，8） B（4，6） C（8，12） D（8，10）【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线定义可得|AF|=xA+2，由已知条件推导出FAB的周长=6+xB，由此能求出三角形ABF的周长的取值范围【解答】解：抛物线的准线l：x=2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=xA+2，FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xBxA）+4=6+xB，由抛物线y2=8x及圆（x2）2+y2=16，得交点的横坐标为2，xB（2，6）6+xB（8，12）三角形ABF的周长的取值范围是（8，12）故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx+ay=1的斜率k的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数，再求出满足直线bx+ay=1的斜率k的基本事件个数，由此能求出直线bx+ay=1的斜率k的概率【解答】解：抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，基本事件总数n=66=36，直线bx+ay=1的斜率k=，满足直线bx+ay=1的斜率k的基本事件有：（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），共6个，直线bx+ay=1的斜率k的概率p=故答案为：14已知正项等比数列an中，a2a5a13a16=256，a7=2，则数列an的公比为【考点】等比数列的性质【分析】由题意和等比数列的性质可得a94=256，解得a9由通项公式可得公比【解答】解：正项等比数列an中，a2a5a13a16=256，a94=a2a5a13a16=256，解得a9=4，又a7=2，数列an的公比q=故答案为：15在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，ACB=60，则球心O到平面ABC的距离为6cm【考点】点、线、面间的距离计算【分析】设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O，从而可解得r=8；从而求答案【解答】解：设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O，则ACB=60，AOB=120；则在等腰三角形ABO中，AO=8；即r=8；故球心O到平面ABC的距离为=6（cm）；故答案为：616在ABC中，角A、B、C所对的边分别a、b、c，且满足b2+c2a2=bc， 0，a=，则边b的取值范围是（，1）【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算【分析】利用已知代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，利用平面向量的运算可得B的范围，利用正弦定理即可得解b的取值范围【解答】解：在ABC中，b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=，A是三角形内角，A=60，=|cos（B）0，B是钝角90B120，可得：sinB（，1）又a=，由正弦定理可得b=sinB（，1）故答案为：（，1）三、解答题（共5小题，满分60分）17等差数列an中，a2=8，S6=66（1）求数列an的通项公式an；（2）设bn=，Tn=b1+b2+b3+bn，求Tn【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【分析】设等差数列an的公差为d，则有，解之可得a1=6，d=2，进而可得通项公式；（2）把（1）的结果代入可得bn的通项，由列项相消法可得答案【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则有解得：a1=6，d=2，an=a1+d（n1）=6+2（n1）=2n+4 （2）bn=Tn=b1+b2+b3+bn=+=18某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：100，110），110，120），120，130），130，140），140，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：K2=【考点】独立性检验；频率分布直方图【分析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中，男生人有600.05=3（人），记为A1，A2，A3；女生有400.05=2（人），记为B1，B2；从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；故所求的概率为P=（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生 600.25=15（人），女生400.375=15（人）；据此可得22列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生154560女生152540合计3070100所以得K2=1.79；因为1.792.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”19如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1（1）证明：平面ADE平面ACD；（2）当三棱锥CADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【分析】（1）BCAC，CDBC推出DE平面ACD，然后证明平面ADE平面ACD（2）通过VCADE=VEACD，求出棱锥的体积的最大值，求解底面面积，设点C到平面ADE的距离为h，利用体积公式求出距离即可，【解答】（1）AB是直径，BCAC，又四边形DCBE为矩形，CDDE，BCDE，CDBCCDAC=C，BC平面ACD，DE平面ACD 又DE平面ADE，平面ADE平面ACD （2）解：由（1）知VCADE=VEACD=，当且仅当AC=BC=2时等号成立 ，当AC=BC=2三棱锥CADE体积最大为：，此时，AD=，设点C到平面ADE的距离为h，则h=20已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质【分析】（）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（）设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，利用0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程【解答】解：（） 设F（c，0），由条件知，得=又，所以a=2=，b2=a2c2=1，故E的方程（）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0，即时，从而=+又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积=，设，则t0，当且仅当t=2，k=等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x2或y=x221已知关于x的函数f（x）=（1）当a=0时，求函数y=f（x）的单调区间；若方程f（x）=k有两个不同的根，求实数k的取值范围；（2）若f（x）恒成立，求实数a的取值【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间，根函数单调性和最值分类讨论即可求出k的范围；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可求出a的值【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，其定义域为（0，1）（1，+）f（x）=，当f（x）0时，解得xe，函数单调递增，当f（x）0时，解得0x1或1xe，函数单调递减，f（x）在（0，1），（1，e）单调递减，在（e，+）上单调递增，当x1时，由知，f（x）min=f（e）=e，方程f（x）=k有两个不同的根，ke，当0x1时，函数f（x）在（0，1）单调递减，此时方程f（x）=k不可能有两个不同的根，综上所述k的取值范围为（e，+）；（2）f（x）恒成立，f（x）=恒成立，当0x1时，axlnx，令=t，则0t1，at22tlnt设g（t）=t22tlnt，g（t）=2t22lnt，令h（t）=2t22lnt，h（t）=2（1）0，h（t）在（0，1）上单调递减，h（t）minh（1）=0，g（t）0，在（0，1）上恒成立，g（t）在（0，1）上单调递增，g（t）g（1）=1，a1，当x1时，axlnx，令=t，则t1，at22tlnt，同理g（t）在（1，+）上单调递增，g（t）g（1）=1，a1，综上所述a=1选修4-1：几何证明选讲22如图，BAC的平分线与BC和ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F（1）求证：EC=EF；（2）若ED=2，EF=3，求ACAF的值【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质【分析】（1）证明ECF=EFC，即可证明EC=EF；（2）证明CEADEC，求出EA，利用割线定理，即可求ACAF的值【解答】（1）证明：因为ECF=CAE+CEA=CAE+CBA，EFC=CDA=BAE+CBA，AE平分BAC，所以ECF=EFC，所以EC=EF（2）解：因为ECD=BAE=EAC，CEA=DEC，所以CEADEC，即，由（1）知，EC=EF=3，所以，所以选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为=2cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）由2=x2+y2，y=sin，x=cos，能求出C2的直角坐标方程（）曲线C1消去参数，得C1的直角坐标方程为，求出圆心到直线C1的距离，由此能求出动点M到曲线C1的距离的最大值【解答】解：（），即2=2（cos+sin），x2+y22x2y=0，故C2的直角坐标方程为（x1）2+（y1）2=2（）曲线C1的参数方程为，C1的直角坐标方程为，由（）知曲线C2是以（1，1）为圆心的圆，且圆心到直线C1的距离，动点M到曲线C1的距离的最大值为选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|x+1|（1）解不等式f（x）1（2）当x0时，函数g（x）=（a0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围【考点】绝对值三角不等式；分段函数的应用【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集（2）由条件利用基本不等式求得，f（x）3，1），再由，求得a的范围【解答】（1）解：当x2时，原不等式可化为x2x11，此时不成立；当1x2时，原不等式可化为2xx11，即1x0，当x1时，原不等式可化为2x+x+11，即x1，综上，原不等式的解集是x|x0（2）解：因为当x0时，当且仅当时“=”成立，所以，所以f（x）3，1），即a1为所求2016年7月7日第23页（共23页）