金融工程的基本分析方法

1 金融工程的基本分析方法 2 主要内容n第一节 金融产品定价n第二节 无套利定价法n第三节 风险中性定价法n第四节 状态价格定价技术n第五节 积木分析法 3第一节 金融产品定价n绝对定价法与相对定价法n衍生金融产品定价的基本假设 4绝对定价法与相对定价法n绝对定价法就是根据金融工具未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现成现值，该现值就是绝对定价法要求的价格。n1896年,美国经济学家欧文费雪提出了关于资产的当前价值等于其未来现金流贴现值之和的思想.n优点:直观;易于理解.n缺点:一是金融工具(如股票)未来的现金流难以确定;二是恰当的贴现率难以确定,它既取决于金融工具风险的大小,还取决于人们的风险偏好. 5绝对定价法与相对定价法n相对定价法则利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价格。n优点:一是在定价公式中没有风险偏好等主观变量;二是它非常贴近市场.n衍生产品为什么不宜用直接定价法? 6绝对定价法与相对定价法n在用绝对定价法为基础产品定价时，在用绝对定价法为基础产品定价时，投资者即使发现市场价格与理论价投资者即使发现市场价格与理论价格不符，也往往需要一个较长的过格不符，也往往需要一个较长的过程。而在用相对定价法为衍生产品程。而在用相对定价法为衍生产品定价时，投资者一旦发现市场价格定价时，投资者一旦发现市场价格与理论价格不符，往往就意味着无与理论价格不符，往往就意味着无风险套利机会就在眼前。风险套利机会就在眼前。 7衍生金融产品定价的基本假设n市场不存在摩擦,即没有交易成本。 n市场参与者不承担对手风险。n市场是完全竞争的。n市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。n市场不存在套利机会。 8第二节 无套利定价法n无套利定价arbitrage-free pricing的思想n无套利定价的原理n无套利定价法的应用 91、无套利定价的思想n套利（Arbitrage） :在某项资产的交易过程中,交易者可以在不需要期初投资支出的条件下获得无风险报酬.n套利的五种基本形式：空间套利、时间套利、工具套利、风险套利和税收套利。n套利组合:1、套利组合的资产占有为零。 2、套利组合不具有风险。3、套利组合的预期收益率为正。 10无套利定价的思想 n早在早在20 20 世纪世纪20 20 年代年代, ,凯恩斯凯恩斯(1923) (1923) 在其利率平价理在其利率平价理论中论中, ,首次将无套利原则引入金融变量的分析中。首次将无套利原则引入金融变量的分析中。n其后其后, ,米勒和莫迪格利亚米勒和莫迪格利亚(1958) (1958) 创造性地使用无套利创造性地使用无套利分析方法来证明其公司价值与资本结构无关定理分析方法来证明其公司价值与资本结构无关定理, ,即著即著名的名的MM MM 定理。定理。n罗斯的套利定价罗斯的套利定价(APT) (APT) 理论的产生使人们进一步认识理论的产生使人们进一步认识到无套利思想的重要性。到无套利思想的重要性。n经济学家们甚至将无套利思想看做是金融经济学区别经济学家们甚至将无套利思想看做是金融经济学区别于经济学的重要特征。罗斯曾指出于经济学的重要特征。罗斯曾指出: :“大多数现代金融大多数现代金融不是基于无套利直觉理论不是基于无套利直觉理论, ,就是基于无套利的实际理论。就是基于无套利的实际理论。事实上事实上, ,可以把无套利看做是统一所有金融的一个概可以把无套利看做是统一所有金融的一个概念。念。”因此因此, ,无套利定价思想构成了金融经济学基本定无套利定价思想构成了金融经济学基本定理理( (也称资产定价的基本定理也称资产定价的基本定理) ) 11无套利定价的思想 n如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。市场效率越高，重建均衡的速度就越快。市场效率越高，重建均衡的速度就越快。n在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。会不复存在。n如果某项资产的定价不合理，市场必然出现以如果某项资产的定价不合理，市场必然出现以该项资产进行套利活动的机会，套利活动使资该项资产进行套利活动的机会，套利活动使资产的价格趋向合理，并最终使套利机会消失。产的价格趋向合理，并最终使套利机会消失。 1220世纪世纪50年代后期的年代后期的MM理论理论（F.Modigliani & M.Miller)。他们在研究企业资本结构和价值关系时提出的他们在研究企业资本结构和价值关系时提出的“无无套利（套利（NoArbitrage）”分析方法。分析方法。基本方法：将金融资产的基本方法：将金融资产的“头寸头寸”与市场中其他金与市场中其他金融资产的头寸组合起来，构筑起一个在市场均衡时融资产的头寸组合起来，构筑起一个在市场均衡时不能产生不承受风险的不能产生不承受风险的超额超额利润的组合头寸，由此利润的组合头寸，由此测算出该项头寸在市场均衡时的价值即均衡价格测算出该项头寸在市场均衡时的价值即均衡价格。这就是这就是“无套利无套利”分析方法分析方法相对定价法相对定价法 2 2、无套利定价原理、无套利定价原理 13n 套利存在的条件套利存在的条件arbitrage condition：n1、存在两个不同的资产组合，它们的未来损益、存在两个不同的资产组合，它们的未来损益相同，但它们的成本却不同；相同，但它们的成本却不同；n2、存在两个成本相同的资产组合，它们的未来、存在两个成本相同的资产组合，它们的未来损益却不同；损益却不同；n3、一个组合其购建成本为零，但损益大于等于、一个组合其购建成本为零，但损益大于等于零，且至少在某一状态下大于零。零，且至少在某一状态下大于零。无套利定价原理无套利定价原理arbitrage-free pricing principlearbitrage-free pricing principle2021-10-1214无套利定价原理n远期外汇定价例子n货币市场上美元的利率是货币市场上美元的利率是6%,6%,人民币利率人民币利率是是3%;3%;外汇市场上美元与人民币的即期汇外汇市场上美元与人民币的即期汇率是率是1 1美元兑换美元兑换7.57.5元元(1:7.5).(1:7.5). 问问: :一年期的远期汇率是否还是一年期的远期汇率是否还是1:7.5?1:7.5?2021-10-12152021-10-1216无套利的价格是什么？n无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。 2021-10-1217例子n假设现在假设现在6 6个月即期年利率为个月即期年利率为10%10%（连（连续复利，下同），续复利，下同），1 1年期的即期利率年期的即期利率是是12%12%。如果有人把今后。如果有人把今后6 6个月到个月到1 1年年期的期的远期利率远期利率定为定为11%11%，试问这样的，试问这样的市场行情能否产生套利活动？市场行情能否产生套利活动？2021-10-1218答案是肯定的n套利过程是：n第一步，交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）n第二步，签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5）。n第三步，按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。n第四步，1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.121），并用1110万元（等于1051e0.110.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。 (借短贷长)2021-10-1219v套利案例有两家公司A和B，它们的资产性质完全相同，每年创造的EBIT均为1000万元，但资本结构不同公司A的资本全部由股权构成，共100万股,社会要求的预期收益率为10%.公司B的资本分别由4000万元债券和60万股的股权构成。已知公司B发行的债券年利率为8%.问:B公司的股价?EBIT（earnings before interest and taxes）利税前收益2021-10-1220投资者实现套利方案一假设B公司股票的价格为90元2021-10-1221投资者实现套利方案二假设B公司股票的价格为110元2021-10-1222无套利定价方法的主要特征： n无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。n无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。 n无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合，即开始时套利者不需要任何资金的投入，在投资期间也没有任何的维持成本（自融资组合）。2021-10-1223一般商品和服务一般商品和服务 市场的均衡市场的均衡需求 供给+ +复制组合分解金融市场的均衡金融市场的均衡数量价格2021-10-1224复制 n复制技术的要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致,复制组合的多头(空头)与被复制组合的空头 (多头)互相之间完全实现头寸对冲.n如果两个金融工具的现金流相同,但其贴现率不一样,它们的市场价格必定不同.2021-10-12253、无套利定价法的应用 （1）确定状态下）确定状态下（2）不确定状态下）不确定状态下（3）金融工具的模仿）金融工具的模仿（4）金融工具的合成）金融工具的合成2021-10-1226（1）确定状态下无套利分析方法的应用确定状态下无套利分析方法的应用n例例1 1：假设：假设2 2个零息票债券个零息票债券A A和和B B，两者都是，两者都是1 1年后年后的同一天到期，面值都是的同一天到期，面值都是100100元，如果债券元，如果债券A A的当的当前价格为前价格为9898元，并假设不考虑交易成本和违约情元，并假设不考虑交易成本和违约情况，况， 1.1.债券债券B B的当前价格应为多少？的当前价格应为多少？ 2.2.如果如果P PB B97.597.5元，当前是否存在套利？如何套元，当前是否存在套利？如何套利？利？2021-10-12272021-10-1228n例例2 2 静态组合复制定价静态组合复制定价 假设假设3 3种零息票债券种零息票债券A A、B B和和C C，面值都是，面值都是100100元，它们的当前元，它们的当前市场价格分别为市场价格分别为 （1 1）1 1年后到期的零息票债券年后到期的零息票债券A A的当前市场价格为的当前市场价格为9898元，元， （2 2）2 2年后到期的零息票债券年后到期的零息票债券B B的当前市场价格为的当前市场价格为9696元，元， （3 3）3 3年后到期的零息票债券年后到期的零息票债券C C的当前市场价格为的当前市场价格为9393元，元， 并假设不考虑交易成本和违约情况并假设不考虑交易成本和违约情况, ,如果一个附息债券如果一个附息债券D D的息的息票率为票率为1010，一年支付一次利息，期限为，一年支付一次利息，期限为3 3年年 问：问：1.1.债券债券D D的当前价格应为多少？的当前价格应为多少？ 2.2.如果如果P PD D120120元，当前是否存在套利？如何套利？元，当前是否存在套利？如何套利？ 2021-10-12292021-10-12302021-10-12312021-10-1232n 例例3 3 动态组合复制定价动态组合复制定价 假设面值都为假设面值都为100100元的零息票债券，从现在开元的零息票债券，从现在开始始,1,1年后到期的零息票债券年后到期的零息票债券A A的当前市场价格为的当前市场价格为9898元；元；从从1 1年后开始，在年后开始，在2 2年后到期的零息票债券年后到期的零息票债券B B的市场价的市场价格恰好也为格恰好也为9898元。元。 问：问：1.1.从现在开始，从现在开始， 2 2年后到期的零息票债券债券年后到期的零息票债券债券C C 的当前价格应为多少？的当前价格应为多少？ 2.2.如果如果P PG G9797元，当前是否存在套利？如何套利？元，当前是否存在套利？如何套利？2021-10-12332021-10-12342021-10-12352021-10-1236n例例1 1 同损益同价格同损益同价格 假设有一个无红利支付的风险证券假设有一个无红利支付的风险证券A A，当前的市场价格，当前的市场价格为为100100元，元，1 1年后的市场有两种状态，在状态年后的市场有两种状态，在状态1 1时证券时证券A A的价的价格上升至格上升至105105元，在元，在状态状态2 2时证券时证券A A的价格下降为的价格下降为9595元；元； 同样也有一个证券同样也有一个证券B,B,它在它在1 1年后的损益为：年后的损益为：在状态在状态1 1时时价格上升至价格上升至105105元，在元，在状态状态2 2时时价格下跌为价格下跌为9595元；元；假设不考假设不考虑交易成本和信用风险，虑交易成本和信用风险， 问：问：1.1.证券证券B B的当前价格应为多少？的当前价格应为多少？ 2.2.如果如果证券证券B B的当前价格的当前价格P PB B9999元，当前是否存在套利？元，当前是否存在套利？如何套利？如何套利？（2）不确定状态下无套利分析方法的应用不确定状态下无套利分析方法的应用 2021-10-1237n例例2 2 静态组合复制定价静态组合复制定价 假设一种不支付红利的风险证券假设一种不支付红利的风险证券A A当前的市场价格为当前的市场价格为100100元，元，1 1年后的市场有两种状态，在状态年后的市场有两种状态，在状态1 1时证券时证券A A的价格上升的价格上升至至105105元，在元，在状态状态2 2时证券时证券A A的价格下降为的价格下降为9595元；元； 同样也有一证券同样也有一证券B,B,它在它在1 1年后的损益为：年后的损益为：在状态在状态1 1时时价格价格上升至上升至120120元，在元，在状态状态2 2时时价格下跌为价格下跌为110110元元, ,假设借贷资金的假设借贷资金的年利率为年利率为0 0，并且不考虑交易成本并且不考虑交易成本. . 问：问：1.1.证券证券B B的当前价格应为多少？的当前价格应为多少？ 2.2.如果如果证券证券B B的当前价格的当前价格PBPB110110元，当前是否存在套利？元，当前是否存在套利？如何套利？如何套利？2021-10-12382021-10-12392021-10-12402021-10-12412021-10-1242n例例3 如何将无套利分析方法运用到期权定价中如何将无套利分析方法运用到期权定价中 ？n 假设一种不支付红利股票目前的市价为假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，元，我们知道在我们知道在3个月后，该股票价格要么是个月后，该股票价格要么是11元，要元，要么是么是9元。假设现在的无风险年利率等于元。假设现在的无风险年利率等于10%，现，现在我们要找出一份在我们要找出一份3个月期协议价格为个月期协议价格为10.5元的该元的该股票欧式看涨期权的价值。股票欧式看涨期权的价值。知识回顾：n现货产品的多头：未来需要卖出产品的一方；现货产品的多头：未来需要卖出产品的一方；n现货产品的空头：未来需要买入产品的一方。现货产品的空头：未来需要买入产品的一方。n期权的多头：买入期权合约的一方，简称为期期权的多头：买入期权合约的一方，简称为期权买方；权买方；n期权的空头：卖出期权合约的一方，简称为期期权的空头：卖出期权合约的一方，简称为期权卖方；权卖方；2021-10-1243 看涨期权看涨期权看跌期权看跌期权多头多头有买标的资产的权利但无买标的资有买标的资产的权利但无买标的资产的义务产的义务有卖标的资产的权利但无卖标的有卖标的资产的权利但无卖标的资产的义务资产的义务期初需要支付给空头期权费；期初需要支付给空头期权费；到期日股票价格高于执行价格时有到期日股票价格高于执行价格时有正收益正收益期初需要支付给空头期权费；期初需要支付给空头期权费；到期日股票价格低于执行价格时到期日股票价格低于执行价格时有正收益有正收益空头空头有卖标的资产的义务但无卖标的资有卖标的资产的义务但无卖标的资产的权利产的权利有买标的资产的义务但无买标的有买标的资产的义务但无买标的资产的权利资产的权利期初会收到多头支付的期权费；期初会收到多头支付的期权费；到期日股票价格高于执行价格时有到期日股票价格高于执行价格时有负收益即亏损；否则没有损失。负收益即亏损；否则没有损失。期初会收到多头支付的期权费；期初会收到多头支付的期权费；到期日股票价格低于执行价格时到期日股票价格低于执行价格时有负收益即亏损；否则没有损失。有负收益即亏损；否则没有损失。2021-10-1244现在考虑如何利用股票和看涨期权来构建现在考虑如何利用股票和看涨期权来构建一个与无风险债券一个与无风险债券C损益相同的组合损益相同的组合2021-10-124510119c0.501e0.1 0.25e0.1 0.25股票A看涨期权B无风险债券Cn构建一个组合：x单位股票和y单位欧式看涨期权（x0说明股票的头寸为多头；否则为空头。 y0说明期权的头寸为多头；否则为空头。）n组合的现金流：2021-10-124610 x+cy11x+0.5y9x+0yn要使得组合与C具有相同的损益，则有n解得：n因此，持有0.11单位股票多头与0.46单位看涨期权空头的组合与C的损益相同。所以有：10 x+cy=1，n解得c=0.31。2021-10-124725. 01 . 025. 01 . 005 . 0911eeyx46. 0,11. 0yx我们还可以考虑利用股票我们还可以考虑利用股票A和无风险债券和无风险债券C来构建一个与看涨期权来构建一个与看涨期权B损益相同的组合损益相同的组合2021-10-124810119c0.501e0.1 0.25e0.1 0.25股票A看涨期权B无风险债券Cn构建一个组合：x单位股票A和y单位无风险债券C（x0说明股票的头寸为多头；否则为空头。 y0说明债券的头寸为多头；否则为空头。）n组合的现金流：2021-10-124910 x+y11x+e0.1 0.25y9x+e0.1 0.25yn要使得组合与B具有相同的损益，则有n解得：n因此，持有0.25单位股票多头与2.19单位无风险债券空头的组合与B的损益相同。所以有：10 x+y=c，n解得c=0.31。2021-10-125005 . 091125. 01 . 025. 01 . 0eeyx19. 2,25. 0yxn思考：该无风险组合还可以如何构建？思考：该无风险组合还可以如何构建？2021-10-12512021-10-1252交易策略交易策略即期现金流即期现金流 3个月后个月后现金流现金流 上升状态上升状态 下降状态下降状态1 1、卖空一单位、卖空一单位 看涨期权看涨期权 2、0.25股票多头股票多头3 3、卖空、卖空2.19单位单位的的无风险债券无风险债券 + 0.5 -100.25 - 2.5 2.19 -0.5 0 + 110.25 + 9 0.25 + 2.75 + 2.25 -2.25 -2.25 分析分析1 1：如果：如果f=0.5, ,如何套利如何套利? ?2021-10-1253（3）金融工具的模仿n即通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。 2021-10-1254 例如，我们可以通过买入一份看涨期权同时卖例如，我们可以通过买入一份看涨期权同时卖出一份看跌期权来模仿股票的盈亏。出一份看跌期权来模仿股票的盈亏。 假设上述看涨期权和看跌期权具有相同的标的资产假设上述看涨期权和看跌期权具有相同的标的资产S、到、到期日期日T和执行价格和执行价格X，而且是欧式期权。，而且是欧式期权。 假定在假定在t 时刻，上述看涨期权和看跌期权的价格分别是时刻，上述看涨期权和看跌期权的价格分别是c和和p，则构造模仿股票的成本是，则构造模仿股票的成本是c-p。在期权的到期日。在期权的到期日T，上述，上述组合的价值组合的价值V就是买入期权价值与卖出期权价值的差，即就是买入期权价值与卖出期权价值的差，即 MS=max(0,ST-X)-max(0,X- ST)2021-10-1255 如果到期日股票价格如果到期日股票价格ST大于执行价格大于执行价格X，则看涨期权价值是，则看涨期权价值是ST-X，看跌期权价值是零；反之，如果看跌期权价值是零；反之，如果ST小于小于X，则看涨期权价，则看涨期权价值是零，看跌期权价值是值是零，看跌期权价值是X- ST。因此，无论标的资产（股票）。因此，无论标的资产（股票）的价格怎么变化，模仿股票这个组合在期权到期日的价值总是的价格怎么变化，模仿股票这个组合在期权到期日的价值总是 MS= ST-X。 如果只考虑模仿股票的构造成本而不考虑利息，如果只考虑模仿股票的构造成本而不考虑利息，则该组合到则该组合到期盈亏是：期盈亏是： max(0,ST-X)-max(0,X- ST)-（c- p）= ST-X- c+ p 我们在第我们在第5章将看到，章将看到，当当S=X时，时，cp。由于投资股票的盈亏由于投资股票的盈亏为为ST-S= ST-X，显然投资模仿股票的盈亏不如投资股票，显然投资模仿股票的盈亏不如投资股票， 2021-10-12562021-10-1257 在上图的直线部分中，粗线表示模仿股票的盈亏，细线表在上图的直线部分中，粗线表示模仿股票的盈亏，细线表示股票的盈亏。两条折线分别表示做空看跌期权和做多看涨期示股票的盈亏。两条折线分别表示做空看跌期权和做多看涨期权的盈亏。两条直线是平行的关系，表示模仿股票与股票的盈权的盈亏。两条直线是平行的关系，表示模仿股票与股票的盈亏走向相一致。不过粗线的位置要低于细线，表示持有模仿股亏走向相一致。不过粗线的位置要低于细线，表示持有模仿股票在盈亏方面总是比持有股票相差一个固定的金额，这当然是票在盈亏方面总是比持有股票相差一个固定的金额，这当然是因为因为构造模仿股票需要花费一定成本构造模仿股票需要花费一定成本的缘故。的缘故。 咋看起来，持有模仿股票似乎有点不合算，但下面的例咋看起来，持有模仿股票似乎有点不合算，但下面的例子表明，子表明，模仿股票在财务杠杆方面的巨大优势，为风险偏好型模仿股票在财务杠杆方面的巨大优势，为风险偏好型的投资者提供了一个性质不同的投资渠道，在一定程度上弥补的投资者提供了一个性质不同的投资渠道，在一定程度上弥补了这个效益差额因素。了这个效益差额因素。2021-10-1258 例：例：假设一只股票现在的市场价格是假设一只股票现在的市场价格是10元，以该价格作元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是0.55元和元和0.45元。一个投资者用元。一个投资者用10元钱采取两种方案进行投资，元钱采取两种方案进行投资， 方案一：直接在股票市场上购买股票，方案一：直接在股票市场上购买股票， 方案二：用同样的资金购买模仿股票方案二：用同样的资金购买模仿股票,10元钱可以元钱可以购买购买100个模仿股票个模仿股票(因为一个模仿股票的构筑成本是因为一个模仿股票的构筑成本是0.55-0.45=0.1元元)。 表表1和表和表2比较了在股票价格上升到比较了在股票价格上升到10.5元和下跌到元和下跌到9.5元元时，两种投资方案的情况。时，两种投资方案的情况。2021-10-1259表表1 股票价格上升到股票价格上升到10.5元时两个方案的比较元时两个方案的比较 期初期初投资投资 净收益净收益 投资投资收益率收益率方案一方案一方案二方案二10元元10元元10.5元元-10元元=0.5元元100（10.5-10-0.1）=40元元5%400%2021-10-1260表表2 股票价格下跌到股票价格下跌到9.5元时两个方案的比较元时两个方案的比较 期期 初初 投投 资资 净收益净收益 投资投资收益率收益率方案一方案一方案二方案二10元元10元元9.5元元-10元元= -0.5元元 100（9.5-10-0.1）= -60元元-5% -600%2021-10-1261 我们看到，当股票价格上升时（即便是本例中微小的上升）我们看到，当股票价格上升时（即便是本例中微小的上升）购买模仿股票的收益率远高于直接购买股票；反之，当股票价购买模仿股票的收益率远高于直接购买股票；反之，当股票价格下降时，模仿股票的负收益也要远大于购买股票。格下降时，模仿股票的负收益也要远大于购买股票。 我们在此无意评判两个方案的优劣，只是说明，我们在此无意评判两个方案的优劣，只是说明，运用无套运用无套利的定价技术创造的金融衍生品，可以丰富投资品种，为不同利的定价技术创造的金融衍生品，可以丰富投资品种，为不同类型的投资者提供了满足其偏好的金融工具。类型的投资者提供了满足其偏好的金融工具。 事实上，由于可以选择不同水平的事实上，由于可以选择不同水平的X X，因此可以创造的模仿，因此可以创造的模仿股票远不止一个，而且对于不同的股票远不止一个，而且对于不同的X X，模仿股票的盈亏特征都不，模仿股票的盈亏特征都不相同，这极大地丰富了投资品种。相同，这极大地丰富了投资品种。2021-10-1262 n通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金融工具具有相同价值。融工具具有相同价值。n例如：以股票为例。模仿股票虽然可以再现股例如：以股票为例。模仿股票虽然可以再现股票的盈亏状况，但两者价值毕竟有所不同。模票的盈亏状况，但两者价值毕竟有所不同。模仿股票的价值是仿股票的价值是ST-X，股票的价值是，股票的价值是ST，为消，为消除这个差别，我们构造一个合成股票，它的价除这个差别，我们构造一个合成股票，它的价值可以与股票完全相同。值可以与股票完全相同。（4 4）金融工具的合成）金融工具的合成2021-10-1263n合成股票的构成是：合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，一个看跌一个看涨期权的多头，一个看跌期权的空头和无风险债券多头。期权的空头和无风险债券多头。n看涨期权的价格是看涨期权的价格是c c，看跌期权的价格是，看跌期权的价格是p p，无风险债，无风险债券的数量是券的数量是XeXe-r(T-t)-r(T-t)(r(r是无风险利率是无风险利率) )，看涨期权和看，看涨期权和看跌期权均是欧式，它们具有相同的标的资产跌期权均是欧式，它们具有相同的标的资产S S、到期、到期日日T T、执行价格、执行价格X X。这样一来，合成股票实际上是。这样一来，合成股票实际上是模仿模仿股票与无风险债券的合成品股票与无风险债券的合成品，它的构造成本是，它的构造成本是c-c-p+Xep+Xe-r(T-t)-r(T-t)。不难看出，到期日由于无风险债券的价不难看出，到期日由于无风险债券的价值是值是X X，该组合的价值（用，该组合的价值（用SSSS表示）为：表示）为： 2021-10-1264nSS= max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= STn这也就是股票在到期日的价值。既然合成股票和标这也就是股票在到期日的价值。既然合成股票和标的股票在到期日有相同的价值，则在任意时刻的股票在到期日有相同的价值，则在任意时刻t，它，它们的价值也应该相同们的价值也应该相同, ,即下面的等式成立：即下面的等式成立： S= c- p+Xe-r(T-t) 否则市场就会出现无风险套利活动。实际上上否则市场就会出现无风险套利活动。实际上上式就是我们在后面将要讲的看跌期权看涨期权平价式就是我们在后面将要讲的看跌期权看涨期权平价公式。公式。 2021-10-1265三、风险中性定价法三、风险中性定价法n 1、风险中性定价原理风险中性定价原理n 2、无套利定价法与风险中性定价法的关系无套利定价法与风险中性定价法的关系2021-10-1266n假设一种不支付红利股票目前的市价为假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在元，我们知道在3个月后，该股票价格要么个月后，该股票价格要么是是11元，要么是元，要么是9元。假设现在的无风险年元。假设现在的无风险年利率等于利率等于10%，现在我们要找出一份，现在我们要找出一份3个月个月期协议价格为期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权元的该股票欧式看涨期权的价值。的价值。n复制技术复制技术2021-10-12671、风险中性定价原理、风险中性定价原理n对衍生证券定价，基于无套利分析，可以假定投资对衍生证券定价，基于无套利分析，可以假定投资者都是风险中性的，此时：者都是风险中性的，此时： （1）所有可交易证券的预期收益率都是无风险利率所有可交易证券的预期收益率都是无风险利率r r； （2）未来现金流量可以用其期望值（按风险中性概未来现金流量可以用其期望值（按风险中性概率）计算率）计算 这就是风险中性定价原理。这就是风险中性定价原理。n风险中性假定所获得的结论不仅适用于投资者风险风险中性假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。2021-10-1268例子 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 10f110.509p1-p2021-10-1269n在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P。n P=0.6266n这样，根据风险中性定价原理，我们就可以就出该期权的价值： 0.1 0.25119 110ePP（）0.1 0.25(0.5 0.62660 0.3734)0.31fe 元2021-10-12702 无套利定价与风险中性定价的关系无套利定价与风险中性定价的关系n 例例: 假设一无红利支付股票，当前时刻假设一无红利支付股票，当前时刻 t 股票价格为股票价格为S， 基于该股票的期权的价值是基于该股票的期权的价值是f，期权的有效期是，期权的有效期是T-t，在这个有，在这个有效期内，股票价格或者上升到效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到，或者下降到Sd。 当股票价当股票价格上升到格上升到Su时，我们假设期权的收益为时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下，如果股票的价格下降到降到Sd时，期权的收益为时，期权的收益为fd。求。求该股票欧式看涨期权的价值。该股票欧式看涨期权的价值。复制组合fPf2021-10-1271n构造一个构造一个证券组合：证券组合：一个期权空头一个期权空头和和股股票多头，股股票多头， 并计算出该组合为并计算出该组合为无风险无风险时的时的值。值。 如果股票价值上升，该组合在期权末期的价值是如果股票价值上升，该组合在期权末期的价值是Su-fu, 如果股票价格下降，组合的价值是如果股票价格下降，组合的价值是Sd-fd。n为了求出使得该组合为为了求出使得该组合为无风险组合无风险组合的的值，我们令值，我们令 Su- fu = Sd- fd 得：得： 无套利定价的思路无套利定价的思路2021-10-1272n如果无风险利率用如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是表示，则该无风险组合的现值一定是 （Su-fu）e-r（T-t） 而构造该组合的成本是而构造该组合的成本是S-f， 在无套利机会的条件下，两者必须相等。即在无套利机会的条件下，两者必须相等。即 S-f=（Su-fu）e-r(T-t) 所以所以()r T tedPud其中其中dutTrfpfpef)1 ()(2021-10-1273)()()()()()(tTrududutTrutTruefSdSuffSuSdSuffSefSuSfefSufS2021-10-1274)()()()()(dtTrutTrtTrudutTrdutTrfdueufdudeefduufufeduffef2021-10-1275.10 , 1, 101)()()(dudueudueududetTrtTrtTr，其中2021-10-1276n假定风险中性世界中股票的上升概率为假定风险中性世界中股票的上升概率为 P，n由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得： )(1)r TtSeSuPSdP（()r TtedPuddutTrfpfpef)1 ()(得得，所以，所以 风险中性定价的思路风险中性定价的思路2021-10-1277n风险中性原理可以简洁描述为：在风险中性世风险中性原理可以简洁描述为：在风险中性世界中，衍生证券价值等于其未来预期值（风险界中，衍生证券价值等于其未来预期值（风险中性概率计算）按无风险利率贴现的值。中性概率计算）按无风险利率贴现的值。2021-10-1278n问题问题1 1：风险中性概率是否存在？何时存在？：风险中性概率是否存在？何时存在？n问题问题2 2：如果存在，是否唯一？何时唯一：如果存在，是否唯一？何时唯一n问题问题3 3：如果不唯一，会出现什么情况？：如果不唯一，会出现什么情况？2021-10-1279n金融经济学金融经济学第一基本定理第一基本定理: :风险中性概率存在的充风险中性概率存在的充分必要条件是不存在无风险套利机会分必要条件是不存在无风险套利机会。n金融经济学金融经济学第二基本定理第二基本定理: :风险中性概率是唯一的，其风险中性概率是唯一的，其充分必要条件是市场是完全的。充分必要条件是市场是完全的。n金融经济学金融经济学第三基本定理第三基本定理: :在一定的条件下，动态地修在一定的条件下，动态地修改现有证券的组合可以复制创造出新的证券，从而有效地改现有证券的组合可以复制创造出新的证券，从而有效地填补市场以增加完全性。填补市场以增加完全性。2021-10-1280第四节第四节 状态价格定价技术状态价格定价技术n状态价格指的是基本证券在当前的价格。状态价格指的是基本证券在当前的价格。n基本证券是指在特定的状态发生时回报为基本证券是指在特定的状态发生时回报为1，否则，否则回报为回报为0的资产。的资产。n如果未来时刻有如果未来时刻有N种状态，而这种状态，而这N种状态的价格我种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。术。 102021-10-1281n我们现在来构造两个我们现在来构造两个基本证券基本证券(阿罗德布鲁证券阿罗德布鲁证券Arrow-Debreu）n基本证券基本证券1在证券市场上升时价值为在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为，下跌时价值为0；n基本证券基本证券2恰好相反，市场上升时价值为恰好相反，市场上升时价值为0，下跌时价值为，下跌时价值为1。n基本证券基本证券1现在的市场价格是现在的市场价格是u，基本证券，基本证券2的价格是的价格是d。基本证券1基本证券2市场状态u时的值 1 0市场状态d时的值 0 1现值du10u10d2021-10-1282nA是有风险证券，其目前的价格是是有风险证券，其目前的价格是PA，一，一年后其价格要么上升到年后其价格要么上升到uPA，要么下降到，要么下降到dPA。n这就是市场的两种状态：上升状态（概率这就是市场的两种状态：上升状态（概率是是q）和下降状态（概率是）和下降状态（概率是1-q）。）。2021-10-1283n购买购买uPA份基本证券份基本证券1和和dPA份基本证券份基本证券2组成一个组成一个假想的证券组合。该组合在假想的证券组合。该组合在T时刻无论发生什么情时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券况，都能够产生和证券A一样的现金流一样的现金流 ，所以有无，所以有无套利原理套利原理 PA=uuPA+ddPA 或或1=uu+ddn由单位基本证券组成的组合在由单位基本证券组成的组合在T时刻无论出现什么时刻无论出现什么状态，其回报都是状态，其回报都是1元。这是无风险的投资组合，元。这是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率其收益率应该是无风险收益率r ()r T tude2021-10-1284 n所以所以n只要有具备上述性质的一对基本证券存只要有具备上述性质的一对基本证券存在，我们就能够通过复制技术，为金融在，我们就能够通过复制技术，为金融市场上的有价证券定价。市场上的有价证券定价。-只要是某一证券的价格在一段时间后出只要是某一证券的价格在一段时间后出现两种价格状态，它的两个基本证券就现两种价格状态，它的两个基本证券就惟一确定，进而为别的同样状态其它有惟一确定，进而为别的同样状态其它有风险证券定价。风险证券定价。()()d11r T tr T tudeueudud，2021-10-1285n假如有价证券假如有价证券A的市场情况如下：的市场情况如下：PA=100，r=2%，u=1.07, d=0.98，T-t=1, 可以算出：可以算出：0.020.0210.980.43781.070.981.0710.54241.070.98udee2021-10-1286n假设另外有一个证券假设另外有一个证券B在一年后的可能状态也是两在一年后的可能状态也是两种，它在一年后的价格可能上升到种，它在一年后的价格可能上升到103元，也可能下元，也可能下降到降到98.5元。那么我们可以为它定价。它当前的价元。那么我们可以为它定价。它当前的价格应该是格应该是 PB =u103+d98.5 =0.4378103+98.50.5424=98.52 n这就相当于用基本证券这就相当于用基本证券1和和2来复制证券来复制证券B，复制过，复制过程是购买程是购买uPB份基本证券份基本证券1和和 dPB 份基本证券份基本证券2。该。该组合确保一定时期后不管市场状况如何，都产生和组合确保一定时期后不管市场状况如何，都产生和有价证券有价证券B相同的现金流，所以该组合是相同的现金流，所以该组合是B的复制品的复制品2021-10-1287n我们现在用我们现在用现实中的证券现实中的证券A和无风险证券和无风险证券来复制证来复制证券券B。n复制过程：用复制过程：用份证券份证券A和当前市场价值为和当前市场价值为L的无风的无风险证券构成市场价值为险证券构成市场价值为I的组合，其成本是的组合，其成本是I=100+L。一年后，该组合无论市场价格上升还是。一年后，该组合无论市场价格上升还是下降，都必须与证券下降，都必须与证券B的价格相同。于是有的价格相同。于是有 ()()1071039898.5r Ttur TtdIL eIL e 2021-10-1288n由该方程组可解出由该方程组可解出=0.5， 于是于是 B 现在市场的价值是现在市场的价值是 I=100+L=1000.5+48.52=98.52。 这说明前面用状态价格为证券这说明前面用状态价格为证券B定价的结果是正确的，否则就会出定价的结果是正确的，否则就会出现无风险套利的机会。现无风险套利的机会。 0.02(1030.5107)48.52Le2021-10-1289 n状态价格定价技术与无套利原理具有内在一致状态价格定价技术与无套利原理具有内在一致性，它实际上是无套利原理及证券复制技术的性，它实际上是无套利原理及证券复制技术的具体应用。具体应用。n关于有价证券的价格上升的概率关于有价证券的价格上升的概率q q，它依赖于，它依赖于人们作出的主观判断，但是人们对人们作出的主观判断，但是人们对q q认识的分认识的分歧不影响为有价证券定价的结论。（风险中性歧不影响为有价证券定价的结论。（风险中性定价原理）定价原理）n状态价格定价法的基本思路是从一些已知价格状态价格定价法的基本思路是从一些已知价格的风险证券价格的信息中计算出相应状态的基的风险证券价格的信息中计算出相应状态的基本证券价格，再用这些基本证券为同样状态的本证券价格，再用这些基本证券为同样状态的其他风险证券定价。其他风险证券定价。n状态价格定价技术可以扩展两期以及两期以上状态价格定价技术可以扩展两期以及两期以上情况，还可以有多种价格状态。情况，还可以有多种价格状态。2021-10-1290 假设某股票符合我们上面提到的两种市场状态，假设某股票符合我们上面提到的两种市场状态，即期初即期初t价值是价值是S0，期末，期末T价值是价值是S1，S1只可能取两个只可能取两个值：值： 一是一是 S1 = Su = uS0 , u1, 二是二是 S1= Sd = dS0 , d1。 我们现在想要确定的是依附于该股票的欧式看我们现在想要确定的是依附于该股票的欧式看涨期权的价值是多少？涨期权的价值是多少？ 状态价格定价法的应用状态价格定价法的应用2021-10-1291n购买购买uS0份基本证券份基本证券1和和dS0份基本证券份基本证券2组成一个假组成一个假想的证券组合。该组合在想的证券组合。该组合在T时刻无论发生什么情况，时刻无论发生什么情况，都能够产生和股票一样的现金流都能够产生和股票一样的现金流 ，所以有无套利，所以有无套利原理原理 S0=uuS0+ddS0 或或1=uu+ddn由单位基本证券组成的组合在由单位基本证券组成的组合在T时刻无论出现什么时刻无论出现什么状态，其回报都是状态，其回报都是1元。这是无风险的投资组合，元。这是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率其收益率应该是无风险收益率r ()r T tude2021-10-1292 n所以所以n依附于该股票的欧式看涨期权在依附于该股票的欧式看涨期权在T时刻时刻价值要么是价值要么是cu ,要么是要么是cd 。那么根据状态。那么根据状态价格定价技术，有价格定价技术，有()()d11r T tr T tudeueudud，)()()(dtTrutTrtTrdduucdueucdudeeccc无套利定价原理无套利定价原理2021-10-1293S0SuSdccucd1er(T-t)er(T-t)股票A看涨期权B无风险债券C可以考虑利用股票可以考虑利用股票A和无风险债券和无风险债券C来构建来构建一个与看涨期权一个与看涨期权B损益相同的组合损益相同的组合n构建一个组合：x单位股票A和y单位无风险债券C（x0说明股票的头寸为多头；否则为空头。 y0说明债券的头寸为多头；否则为空头。）n组合的现金流：2021-10-1294S0 x+ySux+er(T-t)ySdx+er(T-t)yn要使得组合与B具有相同的损益，则有n解得：n所以有：S0 x+y=c，n解得2021-10-1295dutTrtTrcceeydSuSx)()(00dudcuceyduSccxudtTrdu)(0,)()()()(dtTrutTrtTrcdueucdudeec2021-10-1296n实际上实际上,我们构造了这样的一个投资组合我们构造了这样的一个投资组合： 以无风险利率以无风险利率r借入资金借入资金B（相当于做空无风险债券相当于做空无风险债券） 同时在股票市场上购入同时在股票市场上购入 N 股标的股票。股标的股票。 思考与讨论思考与讨论:2021-10-1297n我们举例说明如下我们举例说明如下:n假设一份欧式看涨期权，到期日为假设一份欧式看涨期权，到期日为1年，执行年，执行价格价格X是是112元；标的股票当前的价格是元；标的股票当前的价格是100元，元，无风险利率是无风险利率是8%。1年后，股票的价格或是上年后，股票的价格或是上升到升到180元，或是下降到元，或是下降到60元。这样，期权的元。这样，期权的到期价值到期价值c1也有两种可能：或是也有两种可能：或是68元，或是零，元，或是零，见下图见下图2021-10-129810018060c680股票A看涨期权B2021-10-1299n购买购买180份基本证券份基本证券1和和60份基本证券份基本证券2组成一个假组成一个假想的证券组合。该组合在想的证券组合。该组合在T时刻无论发生什么情况，时刻无论发生什么情况，都能够产生和股票一样的现金流都能够产生和股票一样的现金流 ，所以有无套利，所以有无套利原理原理 100=180u+60d 或或1=1.8u+0.6dn由单位基本证券组成的组合在由单位基本证券组成的组合在T时刻无论出现什么时刻无论出现什么状态，其回报都是状态，其回报都是1元。这是无风险的投资组合，元。这是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率其收益率应该是无风险收益率r 108. 0edu2021-10-12100 n所以所以n依附于该股票的欧式看涨期权在依附于该股票的欧式看涨期权在T时刻时刻价值要么是价值要么是68 ,要么是要么是0 。那么根据状态。那么根据状态价格定价技术，有价格定价技术，有28.253718. 068068duc5513. 0,3718. 0du2021-10-12101第五节积木分析法 n积木分析法也叫模块分析法，指将各种金融工具进行分解和组合，以解决金融问题。 2021-10-12102期权交易的四种回报期权交易的四种回报payoff图图( (假设期权执假设期权执行价格就是现货价格）行价格就是现货价格）2021-10-12103 2021-10-121042021-10-12105 2021-10-12106 2021-10-12107金融工程师常用的六种积木金融工程师常用的六种积木 2021-10-12108 资产多头看跌期权多头资产多头看跌期权多头 看涨期权多头看涨期权多头 2021-10-12109 资产多头看涨期权空头看跌期权空头资产多头看涨期权空头看跌期权空头2021-10-12110 资产空头看涨期权多头资产空头看涨期权多头 看跌期权多头看跌期权多头 2021-10-12111 资产空头看跌期权空头资产空头看跌期权空头 看涨期权空头看涨期权空头 2021-10-12112习题n1、假定外汇市场美元兑换马克的即期汇率是1美元换1.8马克，美元利率是8%，马克利率是4%，试问一年后远期无套利的均衡汇率是多少？n2。银行希望在6个月后对客户提供一笔6个月的远期贷款。银行发现金融市场上即期利率水平是：6个月利率为9.5%，12个月利率为9.875%，按照无套利定价思想，银行为这笔远期贷款索要的利率是多少？ 2021-10-12113n3、一只股票现在价格是40元，该股票一个月后价格将是42元或者38元。假如无风险利率是8%，用无风险套利原则说明，执行价格为39元的一个月期欧式看涨期权的价值是多少？n4、条件同题3，试用风险中性定价法计算题3中看涨期权的价值，并比较两种计算结果。2021-10-12114n5、一只股票现在的价格是50元，预计6个月后涨到55元或是下降到45元。假如无风险利率是8%，运用无套利定价原理，求执行价格为50元的欧式看跌期权的价值。 2021-10-12115n6、假设市场上股票价格S=20元，执行价格X=18元，r=10%,T=1年。如果市场报价欧式看涨期权的价格是3元，试问存在无风险的套利机会吗？如果有，如何套利？n7、股票当前的价格是100元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是3元和7元。如果买入看涨期权、卖出看跌期权，再购入到期日价值为100 的无风险债券，则我们就复制了该股票的价值特征（可以叫做合成股票）。试问无风险债券的投资成本是多少？如果偏离了这个价格，市场会发生怎样的套利行为？