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2015年山西高考文科数学试题及答案一、选择题:每小题5分,共60分1、已知集合,则集合中的元素个数为(). (A) 5 (B)4 (C)3 (D)2【答案】D【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系,即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1,第一章集合中有详细讲解,其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学(文)强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.2、已知点,向量,则向量 ().(A) (B) (C) (D)【答案】A【难度】容易【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1,第六章平面向量有详细讲解,其中第01讲,有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学(文)强化提高班中有对向量相关知识的总结讲解,在百日冲刺班有向量与三角形综合类型题目的讲解。3、已知复数满足,则().(A) (B) (C) (D)【答案】C【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。在高二数学(文)强化提高班下学期,第四章复数中有详细讲解,其中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学(文)强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。4、如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为().(A) (B) (C) (D)【答案】C【难度】容易【点评】本题考查概率的计算。在高二数学(理)强化提高班下学期,第六章概率有详细讲解,其中第04讲主要讲解“高考中的概率题”,有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学(理)强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。5、已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线的焦点重合,是C的准线与E的两个交点,则().(A) (B) (C) (D)【答案】B【难度】容易【点评】本题考查椭圆与抛物线的基本性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第三章圆锥曲线与方程有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解,同时高清课程平面解析几何专题也有对抛物线的专题讲解。6、九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有().(A)斛 (B)斛 (C)斛 (D)斛【答案】B【难度】中等【点评】本题考查圆锥体积的计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第四章立体几何有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。7、已知是公差为1的等差数列,为的前项和,若,则(). (A) (B) (C) (D)【答案】B【难度】容易【点评】本题考查等差数列的性质及公式。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第二章数列有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。8、函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为(). (A) (B)(C)(D)【答案】D【难度】容易【点评】本题考查三角函数的性质。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2,第六章三角函数中有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。9、执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的(). (A) (B) (C) (D)【答案】C【难度】容易【点评】本题考查程序图。在高二数学(文)强化提高班上学期,第一章算法初步有详细讲解,其中第02讲有完全相似的题目。在高考精品班数学(文)强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。10、已知函数 ,且,则(). (A) (B)(C)(D)【答案】A【难度】较难【点评】本题考查分段函数求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1,第二章函数有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。第II 卷11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为,则r().(A) (B)(C)(D)【答案】B【难度】中等【点评】本题考查几何体的三视图及其计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第二章几何体的直观图与三视图有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班中有对三视图相关知识的总结讲解,有几乎一致的题目解析。12、设函数的图像与的图像关于直线对称,且,则a().(A) (B) (C) (D)【答案】C【难度】中等【点评】本题考查函数图像关于直线对称。在高一数学(文)强化提高班下学期,第一章函数有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13、数列中为的前n项和,若,则 .【答案】6【难度】容易【点评】本题考查等比数列的性质与计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第二章数列有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。14.已知函数的图像在点的处的切线过点,则 .【答案】1【难度】容易【点评】本题考查函数切线的性质及计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1,第二章函数有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。15. 若x,y满足约束条件 ,则z3xy的最大值为 【答案】4【难度】中等【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学(文)上学期讲座2,第五章不等式有详细讲解。在高考精品班数学(文)强化提高班中有对线性规划相关知识的总结讲解。16.已知是双曲线的右焦点,P是C左支上一点, ,当周长最小时,该三角形的面积为 【答案】【难度】较难【点评】本题考察双曲线的性质及计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第三章圆锥曲线与方程有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解,同时高清课程平面解析几何专题也有对椭圆的专题讲解。三、解答题17. (本小题满分12分)已知分别是内角的对边,.(I)若,求 (II)若,且 求的面积.【答案】(I)由题设及正弦定理可得.又ab,可得b2c,a2c.由余弦定理可得.(II)由(I)知.因为B90,由勾股定理得.故,得.所以,ABC的面积为1.【难度】容易【点评】本题考查三角函数的性质及计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2,第六章三角函数中有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。18. (本小题满分12分)如图四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,(I)证明:平面平面;(II)若, 三棱锥的体积为,求该三棱锥的侧面积.【答案】(I)因为四边形ABCD为菱形,所以,ACBD.因为BE平面ABCD,所以,ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以,平面AEC平面BED.(II)设ABx,在菱形ABCD中,由ABC120,可得因为AEEC,所以在RtAEC中,可得.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得由已知得,三棱锥EACD的体积故x2.从而可得.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为【难度】较难【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及立体几何的相关计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第四章立体几何有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。19. (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费,和年销售量的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(I)根据散点图可以判断,与,哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);(II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(III)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为 ,根据(II)的结果回答下列问题:(i)当年宣传费时,年销售量及年利润的预报值时多少?(ii)当年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?【答案】(I)由散点图可以判断,适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。(II)令,先建立y关于w的线性回归方程。由于所以y关于w的线性回归方程为因此y关于x的回归方程为(III)(i)由(II)知,当x49时,年销售量y的预报值年利润z的预报值(ii)根据(II)的结果知,年利润z的预报值所以,当,即x46.24时,取得最大值。故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大。【难度】较难【点评】本题考查函数的相关计算求解。在高二数学(文)下学期,第五章统计第01讲,统计案例中有详细讲解。20. (本小题满分12分)已知过点且斜率为k的直线l与圆C:交于M,N两点.(I)求k的取值范围;(II),其中O为坐标原点,求.【答案】(I)由题设,可知直线l的方程为ykl1.因为l与C交于两点,所以,解得所以k的取值范围为.(II)设M(x1,y1),N(x2,y2).将ykx1代入方程,整理得所以,由题设可得,解得k1,所以l的方程为yx1故圆心C在l上,所以|MN|2.【难度】较难【点评】本题考查圆锥曲线及向量的相关计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第三章圆锥曲线与方程以及高一数学强化提高班上学期课程讲座1,第六章平面向量有详细讲解,其中第01讲,有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学(文)强化提高班、百日冲刺班中均有对此相关知识的总结讲解。21. (本小题满分12分)设函数.(I)讨论的导函数的零点的个数;(II)证明:当时.【答案】(I)f(x)的定义域为(0,),当a0时,f(x)0,f(x)没有零点;当a0时,因为单调递增,单调递增,所以f(x)在(0,)单调递增.又f(a)0,当b满足且时,f(b)0,故当a0时,f(x)存在唯一零点.(II)由(I),可设f(x)在(0,)的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)0.故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,)单调递增,所以当xx0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于,所以。故当a0时,【难度】中等【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质。在高二数学(文)强化提高班下学期,第一章导数有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班中有对函数、导数综合知识的总结讲解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2,第五章不等式有详细讲解。请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. (本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图AB是圆O直径,AC是圆O切线,BC交圆O与点E.(I)若D为AC中点,求证:DE是圆O切线;(II)若 ,求的大小.【答案】(I)连结AF,由已知得,ADBC,ACAB.在RtAEC中,由已知得,DEDC,故.连结OE,则又所以,故DE是的切线(II)设CE1,AEx,由已知得由射影定理可得,所以,可得,所以【难度】较难【点评】本题考查圆的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第三章圆锥曲线与方程有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班、百日冲刺班中均有对圆、椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解,同时高清课程平面解析几何专题也有对圆的专题讲解。23. (本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系 中,直线,圆,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求的极坐标方程.(II)若直线的极坐标方程为,设的交点为,求 的面积.【答案】(I)因为xpcosx,ypsinx,所以,C1的极坐标方程为C2的极坐标方程为(II)将代入解得.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.【难度】中等【点评】本题考查圆锥曲线的极坐标方程。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第三章圆锥曲线与方程有详细讲解,在高考精品班数学(文)强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程等相关知识的总结讲解。24. (本小题满分10分)选修45:不等式证明选讲已知函数 .(I)当 时求不等式 的解集;(II)若 图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【答案】(I)当a1时,f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时,不等式化为x40,无解;当1x1时,不等式化为3x20,解得当x1时,不等式化为x20,解得1x2.所以,f(x)1的解集为(II)由题设可得,所以,函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为ABC的面积为由题设得,故a2.所以,a的取值范围为(2,).【难度】较难【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学(文)上学期讲座2,第五章不等式有详细讲解。在高考精品班数学(文)强化提高班中有对不等式相关知识的总结讲解。
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