《高等代数》试卷与答案

高等代数试卷与答案一 填空题：（210=20）1若向量组可由线性表示，且rs,则线性 。2数域P上所有n阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是 ； 3设是线性空间V的两个子空间，则的充分必要条件是= ；4数域P上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是 。5设V是数域P上的n维线性空间，是V上一切线性变换所成的P上的线性空间，则dim(L(V)= 。6设是线性空间V的一组基，则由这个基到基的过度矩阵是 。7令Pnx表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式组成的线性空间，则关于基下的矩阵是 。8设是n维欧氏空间V上的一个正交变换，且 （单位变换），则是 变换 。9 欧氏空间V上的对称变换的特征根都是 数。10设 是n维欧氏空间V的一组标准正交基，则它的度量矩阵是 。二判断题（每题1分，计10分）1设。（ ）2两个等价的向量组一个线性无关，则另一个也线性无关。（ ）3若，且V中的任意一个向量都可由线性表示，则实数是V的组基。（ ）4线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。（ ）5如果一个线性变换是单射，则它无零特征根。（）6设是线性空间V上的一个线性变换，则的核与的象都是的不变子空间。（）7如果W是欧氏空间的一个子空间，那么对V的内积来说，W也作成欧氏空间。（）8设是欧氏空间V上的一个正交变换，则对于夹角等于的夹角。（）9两个n元二次型（与（等价的充分必要条件是A与B合同。（）10实二次型（正定的当且仅当A合同于单位矩阵。（）三、证明题（103=30）1在一个欧氏空间里，对任意向量 有不等式；且仅当线性相关时等式成立。2设V是数域P上的n维线性空间，是V的一组基，那么对V的任意n个向量 有且仅有一个线性变换 使得。3 设，令V表示A的全体实系数多项式矩阵关于通常加法与数乘运算构成的线性空间；证明：dim(V)=3.四、计算题（152=30）1 设，求出一个正交矩阵U，使得是对角矩阵。2 化二次型为标准形，并求相应的变换矩阵。五、以下四个证明题中任选两个作答。（每题5分共10分）1 设V是复数域P上的n维线性空间，是V的一组基，那么实数域R上的线性空间V，有。2 设V是数域P上的线性空间，是V的一个线性变换，证明：1）若是的两个不同特征根，是分别属于的特征向量，则不是的特征向量；2）若是线性变换，如果V中的每一个向量都是它的特征向量，则为数乘变换。3 若在线性空间定义中去掉算律（1）而把算律（2）改成都有而其于算律保持不变，则V对原来的如法和数乘运算也构成一个线性空间。4 设是n维欧氏空间V上的一个线性变换，称为广义正交变换，如果存在一个正数k,使得，证明：是广义正交变换当且仅当在任一标准正交基下的矩阵A，满足。2