三角形解的个数问题专题

解三角形专题2三角形解的个数问题 A为锐角A为钝角或直角图形关系AbsinAA=bsinAbsinAababab解的个数无解一解两解一解无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) (2) (3) (4) 答案:(1) 而，故无解(2) ，故有无解(3) ，故有一组解(4) ，故有两组解2在ABC中，A=45，AB=，则“BC=”是“ABC只有一解且C=60”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知中的边长，和角，且已知，的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角与角的大小关系，然后求出的值，根据三角函数的有界性求解【例1】在中，已知，求、及解：由正弦定理，得，或当时，；当时，点评：在三角形中，这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘法2：二次方程的正根个数一般地，在中的边长，和角，常常可对角应用余弦定理，并将其整理为关于的一元二次方程，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数ABCD解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解【例2】如图，在四边形中，已知，求的长解：在中，设，由余弦定理得，整理得，解得由正弦定理，得点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷法3：画圆法已知中，为已知角（），先画出，确定顶点，再在的一边上确定顶点，使边长为已知长度，最后以顶点为圆心，以边长为半径画圆，看该圆与的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2AbCaD【例3】在中，则解的情况（）（A）无解（B）有一解（C）有两解（D）不能确定解：在的一边上确定顶点，使，作，以顶点为圆心，以为半径画圆，看该圆与没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A