组合数学论文

薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁薇螅膀莄蒃螄莂薀袂螃肂蒂螈螂膄蚈蚄螁芇蒁薀螀荿芃袈螀聿葿螄衿膁节蚀袈芃蒇薆袇羃芀薂袆膅薅袁袅芇莈螇袄莀薄蚃袄聿莇蕿袃膂薂蒅羂芄莅螄羁羄薀蚀羀肆莃蚆罿芈虿薂羈莁蒁袀羈肀芄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈肅羅蒈蒄肄肇芁螃肃腿蒆蝿肃莁艿蚅肂肁薅薁肁膃莇衿肀芆薃螅聿莈莆蚁膈肈薁 组合数学论文 组合数学期末论文 （设计）题 目 组合数学一个迅速发展起来的数学分支 作 者 所 属 学 院 数理学院专 业 年 级 10级数本（2）班 指 导 教 师 写 作 时 间 2013年6月 摘要：组合数学是一个既历史悠久又充满活力的、新兴的数学分支。近几十年来，组合数学在诸如计算机科学、规划论、运筹学等新兴学科的推动和刺激下，取得了异常迅速的发展，而组合数学的发展进步又促进了这些学科的发展进步。今天，组合数学已焕发出青春，成为了最活跃、发展最为迅速的数学分支之一。 关键词：组合数学；迅速发展；计算机；奥数引言组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学即算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。当今的高速计算机使得各领域中实际组合问题的求解成为可能，而这些问题在不久以前还是无法解决的 这种情况增强了研究组合问题求解方法的重要性 与此同时，计算机科学的发展本身又带来了大量具有挑战性的组合问题 因此，我们很难把组合数学和计算技术割裂开来读者将会看到组合数学中对计算技术的强调，我们会经常采用计算机科学中的大量应用实例，频繁讨论算法，等等。 另一方面，我们认为：组合数学在大量学科中有着广阔的应用前景，我们强调的重点是应用的多样性，而不限于某一方面。组合数学之所以发展快速，它不仅计算机科学方面应用广泛，而且在通信、交通运输、遗传学、实验设计和排程等方面也有广泛应用。因此，组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用, 组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位。有人说，如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。组合数学在我国的发展历史悠久，它起源于古代的数学游戏，我国古人在河图洛书中便已经对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。它又是年轻的，第二次世界大战结束以来，随着组合数学的复兴和崛起，组合设计理论的内涵和外延也经历了极为深刻的变化。它突破了古典组合数学仅研究一些趣味性安排和计数问题的局限，逐步发展成了一个崭新的数学分支。今天，现代设计理论的基本内容、思想和方法已与计算机科学、信息科学、网络通讯理论乃至生物学和化学等学科相互交叉渗透。而对实际应用中涌现的热点设计问题的探讨则已成为当代组合设计研究领域的一个主流方向。计算机科学和信息科学的迅猛发展正在从根本上改变着人们工作、生活、学习及社会活动的面貌。编码、密码技术也早已越过军事和外交的范畴，日益深入到经济领域和日常生活中。组合数学这门学科得以迅猛发展，成为了一个重要的数学分支，它的地位日益重要，它的应用及其广泛。对于计算机科学，组合数学的重要性也日渐凸显。一、组合数学的简介说到组合数学，必让人想到现代数学，现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等；另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学（combinatorial mathematics），又称为离散数学。组合数学的定义有广义和狭义之分，广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化（最佳组合）等。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。二、组合数学的应用2.1 组合数学在计算机科学方面的应用Ramsey 定理和Ramsey 数众所周知,若有n +1 只鸽子同时飞进n 个鸽巢中,则一定有某个鸽巢中至少飞进两只鸽,这就是有名的鸽巢原理(也叫抽屉原理) 。它非常简单,其正确性也显而易见,但却有很广泛的应用。鸽巢原理有如下重要的推广:Ramsey 定理 设q1 , q2 , , qn ; t 是正整数,且qi>=t ( i =1 , 2 , , n) ,则存在最小的正整数r (记作r ( q1 ,q2 , qn ; t) 使得:对任意m 元集合s ,若m E r ,当把S 的所有t 元子集放到n 个盒子里时,那么存在某个i (1 <=n) 和某qi 个元素,它的所有t 元子集都在第i 个盒子里。这是称r ( q1 , q2 , qn ; t) 为Ramsey 数。上述定理是Ramsey1930 年提出并给出证明。当t =1 时,Ramsey 定理就是加强形式的鸽巢原理,且容易求出r ( q1 , q2 , qn ;1) = qi - n +1(i=1n)Ramsey 定理是组合论中一个重要的存在性定理,它的发表推动了组合论等数理科学的发展,而且关于Ram2sey 定理和Ramsey 数自身的研究目前已成为组合学中一个重要的分支n +1 Ramsey 理论。但是,Ram2sey 定理只保证了Ramsey 数的存在性,并没有给出计算Ramsey 数的有效方法。目前,确定Ramsey 数的问题仍是一个尚未解决的大难题,要找到一个很小的Ramsey 数是很困难的。虽然如此,由于其重要的理论价值和广泛的应用价值,确定Ramsey 数是很有意义的。下面用两个例子说明Ramsey 数在信息检索、分组交换网设计等计算机科学领域中的重要应用。随着计算机科学的发展,组合数学也在迅猛发展,而组合数学在理论方面的推进也促进计算机科学的发展。计算机软件空前发展的今天要求有相应的数学基础,组合数学作为大多数计算机软件设计的理论基础,它的重要性也就不言而喻。 组合数学在计算机方面的应用极其广泛。计算机软件与各种算法的研究分不开,为了衡量一个算法的效率,必须估计用此算法解答具有给定长的输入(问题) 时需要多少步(例如算术运算、二进制比较、程序调用等的次数) 。这要求对算法所需的计算量及存储单元数进行估算,这就是计数问题的内容,而组合数学分析主要研究内容就是计数和枚举的方法和理论。我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化，管理水平，教育水平，思想素质等诸多因素有关。除去这些人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。然而问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及到了很深的数学知识，而数学本身也已经发展到了很深、很广的程度并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，而更重要的是需要集体的合作和力量，就像软件的开发需要多方面的人员的合作。美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。一般人可能会认为数学是一门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会有任何实际的意义。如果真是这样，一门纯粹学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析，信息压缩，网络安全，编码技术，系统软件，并行算法，数学机械化和计算机推理，等等。此外，与实际应用有关的还有许多许多需要数学基础的算法，如运筹规划，金融工程，计算机辅助设计等。如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软件这个领域也会让国外的企业抢去很大的市场。如果我们现在在信息技术的数学基础上，大力支持和投入，那将是亡羊补牢，犹未为晚；只要我们能抢回信息技术的数学基地，那么我们还有可能在软件产业的竞争中，扭转局面，甚至反败为胜。吴文俊院士开创和领导的数学机械化研究，为中国在信息技术领域占领了一个重要的阵地，有了雄厚的数学基础，自然就有了软件开发的竞争力。这样的阵地多几个，我们的软件产业就会产生新的局面。值得注意的是，印度有很好的统计和组合数学基础，这可能也是印度的软件产业近几年有很大发展的原因。纵观全世界软件产业的情况，易见一个奇特的现象：美国处于绝对的垄断地位。造成这种现象的一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发展。当今计算机科学界的最权威人士很多都是研究组合数学出身的。美国最重要的计算机科学系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，.）都有第一流的组合数学家。除上述以外，欧洲也在积极发展组合数学，英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的组合数学研究中心。近几年，南美国家也在积极推动组合数学的研究。澳大利亚，新西兰也组建了很强的组合数学研究机构。值得一提的是亚洲的发达国家也十分重视组合数学的研究。日本有组合数学研究中心，并且从美国引进人才，不仅支持日本国内的研究，还出资支持美国的有关课题的研究，这样使日本的组合数学这几年的发展极为迅速。台湾、香港两地也从美国引进人才，大力发展组合数学。新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。世界各地对组合数学的如此钟爱显然是有原因的，那就是没有组合数学就没有计算机科学，没有计算机软件。2.2组合数学在奥数中的应用在历届高中奥赛中,组合计数问题都占有很大的比例,但考生的得分情况并不是很好,这主要是由于这类问题的难度很大,综合性也很强。问题的提出近年来，数学奥林匹克这一群众性数学课外活动，逐渐在广大学生中发展起来。每年，各种形式的数学竞赛接连不断，试题的种类越来越多，应用性也越来越强。但是，对这些试题进行总结的书籍、资料并不多，因而阻碍了数学奥林匹克的发展 。而组合数学某些思想及方法正好可以应用到奥数中，所以组合数学开始被越来越多的人关注。下面讲一组合数学在奥数中应用的习题。 例.设M= 1,2,3,2mn (m,nN*)是连续2mn个正整数组成的集合，求最小的正整数k，使得M的任何k元子集中都存在m+1个数，a1,a2,am+1，满足ai|ai+1 (i=1,2,m)。解：记A=1,2,n，任何一个以i为首项(1in)，2为公比的等比数列与A的交集记为A.一方面，由于M中的2mn-n个元的子集n+1,n+2,2mn中，若存在满足要求的m+1个数：n+1a1<a2<<am+12mn，使得ai|ai+1 (1im)，则ai+12ai，从而am+12am2ma12m(n+1)>2mn，矛盾，故不存在满足要求的m+1个数，因此所求的k2mn-n+1.另一方面，若k=2mn-n+1时，可证明M中的任何k元子集T中，此有m+1个数a1,a2,am+1满足ai|ai+1 (i1m).n-1反证：假设这样的m+1个数不存在，考虑2i+1为首项i，2为公比的等2比数列，它与集合M的交的元素个数为|A2i+1|+m，由假设知，它至少有|A2i+1|个元素不在T中，再注意到当ij时，A2i+1A2j+1=f，可知M中至少有1i|A2i+1|n-12个元素不在T中，注意到 U1iA2+=A 所以 |MS|i1n-12U1iA2i+1=|A|=n， n-12从而 |T|M|-n2mn-n，这与|T|=2mn-n+1矛盾.故假设不成立.综上所述满足要求的最小正整数值k为2mn-n+1.注：这种先确定单边界限再证明最值是经常采用的。三、生活中的组合数学组合数学是十分贴近于人们的生活的，因此组合问题在生活中非常常见。 例如，求n 个 球队参加比赛，每队只和其他队比赛一次的总比赛场数。例如，在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路揍，在笔不离开纸面而且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。又例如这样一个简单的组合数学问题：一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。而当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运送其中的一个，问人怎样才能把三者都运过河。下面介绍几种组合数学中的著名问题。3.1装箱问题当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。3.2四色问题如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，1976年数学家通过计算机运算得到证明而成为四色定理，最近人们才发现了一个更简单的证明。3.3中国邮差问题由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这是一个NP完全问题。由中国组合数学家管梅谷教授提出，著名组合数学家，J. Edmonds和他的合作者给出了一个解答。 任务分配问题（也称婚配问题）有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？3.4是否存在稳定婚姻的问题假如能找到两对夫妇（如张（男）-李（女）和赵（男）-王（女），如果张（男）更喜欢王（女），而王（女）也更喜欢张（男），那么这样就可能有潜在的不稳定性。组合数学的方法可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情况出现（当然这只是理论上的结论）。这种组合数学的方法却有 一个实际的用途：美国的医院在确定录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序，同时也给申请排序。按这样的 次序考虑出的总的方案将没有医院和申请者两者同时后悔的情况。 实际上，高考学生的最后录取方案也可以用这种方法。3.5铺地砖问题我们知道，用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），但是如果用不同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也涉及到很深的组合数学问题。结束语总之而言，一方面，组合数学在诸如计算机科学、奥数、规划论、运筹学等新兴学科的推动和刺激下，取得了异常迅速的发展；另一方面，现实生活中的组合数学问题无处不在。也正是因为它与我们的生活及现在的某些科学领域息息相关，所以它能迅速发展起来，并越来越被人喜欢与接受。 参考资料（1） 曹汝成著 组合数学 华南理工大学出版 2012.07（2） 百度百科组合数学（3） 百度文库组合数学在计算机中的应用（4） 2013高中数学奥数培训资料之组合数学选讲 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