本科毕业设计基于matlab的FIR数字滤波器设计

分类号 编 号 XXXXNorth China Institute Of Water Conservancy And Hydroelectric Power毕 业 设 计题目 基于Matlab的FIR数字滤波器设计 学 院 信息工程学院 专 业 通信工程 姓 名 学 号 指导教师 2011年 5月20日基于Matlab的FIR数字滤波器设计摘 要在数字控制系统中输入信号中所含的干扰对系统的性能会产生很大的影响，因此需要对输入信号进行处理，以提取有用信号。有限长冲激响应（FIR）滤波器在数字信号处理中发挥着重要作用，采用Matlab软件对FIR数字滤波器进行仿真设计，简化了设计中繁琐的计算。本文采用窗函数法，频率采样法和优化设计方法，通过调用Matlab函数设计FIR数字滤波器。绘制对应的幅频特性曲线。最后用基于Matlab函数设计的FIR数字滤波器进行语音滤波处理，通过滤波前后信号的频谱图和生成的声音文件的对比，分析不同滤波器的滤波效果。关键词：FIR数字滤波器，仿真，窗函数法，频率取样法，优化设计方法AbstractIn digital control system, interference, which is mixed in the input signal, has a great effect on performance of the system. Therefore, processing of input signal has to be done to get useful signal. Finite impulse response (FIR) filter plays an important role in the processing of digital signal. Designing the FIR filter by Matlab can simplify the complicated computation in simulation and improve the performance. By using the methods of window function, frequency sampling and optimization techniques, the design of FIR digital filter has been processed in Matlab. In the view of the designed program of Matlab and the figure of the amplitude-frequency characterization. At last, by using the FIR digital filters which have been designed to process the sound signal based on the Matlab function, the filtering effect of different digital filters is analyzed by comparing the signals spectrum viewers and the sound files which have been generated. The experimental results show that the FIR filters designed in this paper are effective.Key words: FIR digital filter, simulation, windowing method, frequency sampling method, optimization techniquesIII目 录摘要IAbstractII1 数字滤波器11.1 数字滤波器简介11.2 IIR数字滤波器11.3 FIR数字滤波器21.4 IIR与FIR数字滤波器的比较42 Matlab及电子通信系统仿真简介52.1 Matlab简介52.1.1 基本功能52.1.2 Matlab的优势52.2 电子通信系统的仿真简介52.2.1 通信与电子系统仿真的概念52.2.2 计算机仿真的步骤62.2.3 电子通信系统计算机仿真的优点62.2.4 电子通信系统计算机仿真的局限性73 FIR数字滤波器的设计83.1 窗函数法设计FIR滤波器83.2 频率取样法设计线性相位FIR滤波器113.3 线性相位FIR滤波器的优化设计134 利用Matlab实现FIR滤波器设计154.1 窗函数法的Matlab实现154.2 频率取样法的Matlab实现224.3 优化设计的Matlab实现264.4 利用滤波器处理加有噪声的音频波形32参考文献37附录38附录一 外文原文及翻译38外文原文38外文翻译51附录二 利用Matlab实现FIR滤波器设计参考程序611 数字滤波器1.1 数字滤波器简介 数字滤波器是一个离散的系统。它可以对输入的离散信号进行一系列运算处理，从输入的信号中获得所需要的信息。数字滤波器的系统函数通常表示为 (1-1) 数字滤波器分为有限冲激响应数字滤波器，即FIR数字滤波器和无限冲激响应，即IIR数字滤波器。从公式的角度来看，FIR数字滤波器的 始终为零；IIR数字滤波器至少有一个非零。实现数字滤波器的方法一般有两种：一种是利用计算机的程序编译，从而仿真实现；另一种是利用硬件来实现。实现一个数字滤波器一般需要三个基本的运算单元：加法器、延时器和乘法器。设计一个数字滤波器的一般步骤为：（1）按所给要求确定滤波器的性能（2）用一个因果稳定的离散线性时不变的系统函数逼近此性能的要求（3）利用算法来实现这个系统函数（4）利用计算机仿真或硬件来实现1.2 IIR数字滤波器 无限长单位冲激响应滤波器，即IIR数字滤波器具有下面几个特点：（1） 系统的单位冲激响应为无限长的（2） 系统函数在有限z平面上有极值点（3） 结构上是递归型的IIR滤波器的设计就是在给定的技术指标下去确定滤波器的阶数N和系数，。在已满足给定的技术指标下，应选用阶数尽可能低的滤波器，因为滤波器的阶数越低，在实现时成本就越低。 在设计IIR滤波器时，最常用的方法是利用模拟滤波器来设计数字滤波器。其原因为：（1） 模拟滤波器的设计技术相对成熟，可以广泛利用（2） 模拟滤波器有大量的参考程序和表格（3） 它的解可以为闭合形式的1.3 FIR数字滤波器FIR滤波器是指在有限范围内系统的单位脉冲响应hk仅有非零值的滤波器。M阶FIR滤波器的系统函数H(z)为 (1-2) 其中H(z)是的M阶多项式，在有限的z平面内H(z)有M个零点，在z平面原点z=0有M个极点. FIR滤波器的频率响应为 (1-3)它的另外一种表示方法为 (1-4)其中和分别为系统的幅度响应和相位响应。若系统的相位响应满足下面的条件 (1-5)即系统的群延迟是一个与没有关系的常数，称为系统H(z)具有严格线性相位。由于严格线性相位条件在数学层面上处理起来较为困难，因此在FIR滤波器设计中一般使用广义线性相位。 如果一个离散系统的频率响应可以表示为 (1-6)其中和是与无关联的常数，是可正可负的实函数，则称系统是广义线性相位的。 如果M阶FIR滤波器的单位脉冲响应hk是实数，则可以证明系统是线性相位的充要条件为 (1-7)当hk满足hk=hM-k,称hk偶对称。当hk满足hk=-hM-k,称hk奇对称。按阶数hk又可分为M奇数和M偶数，所以线性相位的FIR滤波器可以有四种类型。四种线性相位FIR滤波器的性质如表1-1所示表1-1 四种线性相位FIR滤波器的性质类型IIIIIIIV阶数M偶数奇数偶数奇数hk的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称关于的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称关于的对称性偶对称奇对称奇对称偶对称的周期00A(0)任意任意00任意00任意可适用的滤波器类型LP,HP,BP,SPLP,BP微分器，变换器，Hilbert微分器，变换器，Hilbert，HP1.4 IIR与FIR数字滤波器的比较(1)在技术指标相同的条件下，IIR滤波器的输出对输入有反馈，所以可以用比FIR少的阶数来满足要求，存储单元少，运算次数也少，经济实惠。（2）FIR滤波器的相位是严格线性的，而IIR滤波器做不到这一点，IIR滤波器的选择性越好，其相位的非线性越严重。（3）FIR滤波器主要采用非递归结构， 有限精度的运算误差很小。而IIR滤波器在运算中会产生寄生振荡。（4）FIR滤波器可以使用快速傅里叶变换算法，而IIR滤波器不能这样。（5）IIR滤波器可以利用模拟滤波器的公式、数据和表格，计算量小。FIR滤波器设计时往往要借助计算机。2 Matlab及电子通信系统仿真简介Matlab是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括Matlab和Simulink两大部分。2.1 Matlab简介2.1.1 基本功能Matlab是由美国的mathworks公司发布，主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。 2.1.2 Matlab的优势(1) 工作平台编程环境十分友好（2）编程语言简单易用（3）数据的计算处理能力十分强大（4）图像处理能力强大（5）模块集合工具箱应用广泛（6）程序的接口和发布平台很实用（7）可以开发用户界面2.2 电子通信系统的仿真简介2.2.1 通信与电子系统仿真的概念系统仿真技术指自1970年以来发展起来的利用现代计算机和仿真软件来进行仿真的计算机仿真技术。由于计算机仿真具有精度高，通用性强，重复性好，建模迅速以及成本低廉等许多优点，尤其是今年来发展了以Matlab为代表的多种科学计算和系统仿真语言，使用起来比利用传统的C/C+语言进行仿真方便快捷得多。所谓电子通信系统的仿真，就是利用计算机对实际的电子通信系统物理模型或数学模型进行试验，通过这样的模型试验来对一个实际系统的性能和工作状态进行分析和研究。当在实际电子通信系统中进行试验研究比较困难或者根本无法实现时，仿真技术就成为必然选择。2.2.2 计算机仿真的步骤（1） 提出仿真问题（2） 分析仿真系统（3） 构建系统的数学模型（4） 收集数据（5） 建立系统的计算机仿真模型（6） 验证仿真模型（7） 确认仿真模型（8） 设计仿真试验（9） 运行仿真模型（10） 分析仿真结果2.2.3 电子通信系统计算机仿真的优点（1）应用计算机仿真具有经济、安全、可靠、编程简易以及试验周期短等特点，在工程领域得到了越来越广泛的应用。（2）现代电子系统和通信系统通常是复杂的大规模系统，在噪声和各种随机因素的影响下，很难通过解析方法求的系统的数学描述，这时系统仿真也就成为了一个极为有效的工具。（3）在现代通信系统协议的性能研究中，直接试验几乎是不可能的，在这种情况下只能通过仿真数据来检验所选用的对象，以验证有关的假设。2.2.4 电子通信系统计算机仿真的局限性（1）模型的建立、验证和确认比较困难。（2）实际系统建模的原理和方法不正确，使得与实际系统的差别较大。（3）建模过程中忽略了部分次要因素，使得模型仿真结果偏离实际系统。（4）仿真试验时间太短。（5）随机变量的概率分布的类型或参数选取不当。（6）仿真输出结果的统计误差大。（7）计算机字长、编码和应用算法也会影响仿真结果。3 FIR数字滤波器的设计3.1 窗函数法设计FIR滤波器窗函数设计法又称为傅里叶级数法。这种方法首先给出，表示要逼近的理想滤波器的频率响应，则由IDTFT可得出滤波器的单位脉冲响应为 (3-1) 由于是理想滤波器，故是无限长序列。但是我们所要设计的FIR滤波器，其hk是有限长的。为了能用FIR滤波器近似理想滤波器，需将理想滤波器的无线长单位脉冲响应分别从左右进行截断。当截断后的单位脉冲响应不是因果系统的时候，可将其右移从而获得因果的FIR滤波器。 另一种设计方案是将线性相位因子加入到理想滤波器的频率响应中，然后利用IDTFT计算出后，取在0kM范围的值为FIR滤波器单位脉冲响应。 理想滤波器的频率响应和设计出的滤波器的频率响应的积分平方误差定义为 (3-2)也可以表示为 (3-3) 上式中的第一项和第三项与所设计出的滤波器参数是没有关系的，为了使上式中的第二项达到最小，可选择 (3-4)所以用上面的方法得出的滤波器是在积分平方误差最小意义下的最佳滤波器。 Gibbs现象就是理想滤波器的单位脉冲响应截断获得的FIR滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象。随着滤波器阶数的增加，幅度函数在通带和阻带振荡的波纹数量也随之增加，波纹的宽度随之减小，然而通带和阻带最大波纹的幅度与滤波器的阶数M无关。窗函数的主瓣宽度决定了过渡带的宽度，窗函数长度N增大，过渡带减小。 下面介绍一些常用的窗函数，用N=M+1表示窗函数的长度。（1） 矩形窗 (3-5) 矩形窗的主瓣宽度为。用矩形窗设计的FIR滤波器过渡带宽度近似为。（2） Hanning窗 (3-6) Hanning窗的主瓣宽度为。由Hanning窗的定义可知，Hanning窗在其两个端点的值为零，这就使得在实际的应用中不能利用两个端点的数据。我们可将N+2点的Hanning窗除去两个端点来定义长度为N的Hanning窗。修改后的长度为N的Hanning窗定义为 (3-7) 在Matlab信号处理工具箱中所采用的就是这种修改后的定义方式。（3） Hamming窗 (3-8)Hamming窗的主瓣宽度为。（4） Blackman窗(3-9) Blackman窗的主瓣宽度为。（5） Kaiser窗此种窗是一种应用广泛的可调节窗，它可以通过改变窗函数的形状来控制窗函数旁瓣的大小，从而在设计中可用滤波器的衰减指标来确定窗函数的形状。长度为N的Kaiser窗定义为 (3-10) 其中是一个可调参数，可以通过改变的值来调整窗函数的形状，从而达到不同的阻带衰减要求。上式中的是零阶第一类修正贝塞尔函数。可用幂级数表示为 (3-11)对于任意的一个实变量x，函数的值都是正的。在实际计算中，上式的求和一般取20项就能达到所需精度。随着参数的增加，Kaiser窗在两端的衰减是逐渐加大的。3.2 频率取样法设计线性相位FIR滤波器频率取样法是从频域出发，在频域直接设计，把给定的理想频率响应加以等间隔取样，并以此作为实际FIR滤波器的频率响应。设所需滤波器的频率响应为。现要求设计一个M阶的FIR滤波器hk，使得在M+1个取样点上，FIR滤波器的频率响应与所需的频率响应相等，即 (3-12)由设计的要求给定，hk需要通过设计来确定。如果M+1个方程是线性无关的，则可以通过求解M+1阶的线性方程来得出FIR滤波器的hk。对的一些特殊取样方法，上述方程的解可以直接由IDFT得到。由于要求设计出的滤波器是实系数的线性相位FIR滤波器，所以的取样值还需要满足线性相位滤波器的约束条件。 I型和II型线性相位滤波器的，III型和IV型线性相位滤波器的。为了使设计出的滤波器具有线性相位，在M+1个取样点上的值应为 (3-13) 下面分别讨论四种线性相位滤波器在取样点上的值：I型（M为偶数，hk偶对称）线性相位FIR滤波器在M+1个取样点值为 (3-14)上式表明I型线性相位FIR滤波器在的值可由在的值确定。在的值确定后，对做M+1点的IDFT即可得到I型线性相位滤波器的hk。II型（M为奇数，hk偶对称）线性相位FIR滤波器在M+1个取样点值为 (3-15)上式表明II型线性相位FIR滤波器在的值可由在的值确定。III型（M为偶数，hk奇对称）线性相位FIR滤波器在M+1个取样点值为 (3-16) 上式表明III型滤波器线性相位FIR滤波器在的值可由在的值确定。 IV型（M为奇数，hk奇对称）线性相位FIR滤波器在M+1个取样点值为 (3-17) 上式表明IV型线性相位FIR滤波器在的值可由在的值确定。 为了提高滤波器的质量并减少误差，可以采用人为地扩展过渡带的方法，即在频率相应的过渡带内插入一个或多个比较连续的采样点，使得过渡带比较连续，从而使得通带和阻带之间变法比较缓慢，使得设计得到的滤波器对理想滤波器的逼近误差较小。 在理想低通滤波器的设计中，若不增加过渡点，阻带和通带之间的衰减约为-21dB，如果在通带和阻带之间增加一个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-65dB，如果增加两个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-75dB，如果增加3个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-85dB至-95dB。3.3 线性相位FIR滤波器的优化设计在使用窗函数法设计滤波器时，如果使用矩形窗，则设计出的FIR滤波器是积分平方误差最小意义下的最佳FIR滤波器。但由于Gibbs现象的存在，使得设计出滤波器在阻带的衰减一般不能满足要求。为解决这个问题可以采用其他的窗函数，但得到的滤波器不是最小误差意义下的最优FIR滤波器。设表示要逼近的理想滤波器的幅度函数。表示设计出的线性相位FIR滤波器的幅度函数。优化设计的基本思想就是要确定线性相位FIR滤波器的系数，使得和的误差在范围内达到最小。与的加权误差函数定义为 (3-18)其中，是由设计者定义的加权函数。 一种常用的误差准则称为最大误差最小准则，又称切比雪夫准则，定义为 (3-19)其中I表示滤波器在范围内各频率带区间构成的集合。切比雪夫准则意义下的优化设计就是要确定FIR滤波器H(z)的系数，使得上式定义的误差达到最小。 在FIR滤波器的阶数M固定的条件下，利用切比雪夫误差准则设计出的FIR滤波器的幅度响应在通带和阻带都会呈现等波纹的波动。所以这类滤波器称为等波纹FIR滤波器。等波纹FIR滤波器的设计方法是由Parks-McClellan提出。在解决问题过程中使用了数学优化中的Remez交换算法。 利用Remez交换算法，等波纹线性相位FIR滤波器的设计步骤可归结为：（1）用Kaiser提出的经验公式估计滤波器的阶数 (3-20) 确定J的值。（2）选定初始极值点。（3）计算。（4）为寻找新的极值点，计算函数在I中的抽样值。为了减少计算误差，抽样间隔应足够小。通常选择抽样点数为16M。（5）寻找新的极值点。（6）如果，执行（7）。否则用交换回到（3）。（7）获得gk。（8）由gk求出hk。4 利用Matlab实现FIR滤波器设计在利用Matlab设计FIR滤波器时，分别采用窗函数法、频率取样法和优化设计方法去设计所需的滤波器。在设计的过程中，用设计的滤波器对加有噪声的语音信号或不同频率叠加的正弦输入信号进行滤波，对比输入前后的图像，以此验证滤波器的性能。在程序绘制的图像中，有滤波器的特性图、输入信号的时域频域图和输出信号的时域频域图。4.1 窗函数法的Matlab实现在窗函数法的Matlab实现中，程序中经常使用的函数有fir1和kaiserord。 程序中fir1函数的用法：b=fir1(n,Wn,ftype,window)n为滤波器的阶数Wn为滤波器的截止频率，它是一个0到1的数。如果Wn是一个含有两个数的向量，则函数返回一个带通滤波器ftype为滤波器的类型，ftype=high时，设计的是高通滤波器；ftype=stop时，设计的是带阻滤波器；没有此参数时，设计的是低通滤波器window为指定的窗函数，矩形窗为boxcar(n)，汉宁窗为hanning(n)，海明窗为hamming(n)，布莱克曼窗为blackman(n)，凯撒窗为kaiser(n,beta)，没有此参数时，默认为hamming窗程序中kaiserord函数的用法：n,Wn,beta,ftype=kaiserord(f,a,dev,Fs)f是一个向量，为设计滤波器过渡带的起始点和结束点a是一个向量，指定频率段的幅度值dev是一个向量，长度和a相同，为各个通带和阻带内容许的幅度最大误差n为能够满足要求的滤波器的最小阶数Wn为滤波器的截止频率ftype为根据待设计滤波器的要求得到的滤波器的类型(1) 利用窗函数法设计低通滤波器设计要求：使用hamming窗，采样频率2000Hz通带截频0.1，阻带截频0.17通带衰减小于等于0.1dB，阻带衰减大于等于50dB程序参见附录二中的1-（1）利用窗函数法设计低通滤波器图4-1 窗函数法设计低通滤波器的增益响应从参考程序及图4-1可以得到所设计出滤波器的参数如下：滤波器的采样频率为2000Hz，滤波器的阶数为266滤波器的通带截频0.1 ，阻带截频0.17 ，过渡带宽0.07 通带衰减为0.019dB，阻带衰减为53dB 对比设计要求与所设计出滤波器的参数可知，其各项参数均满足设计指标，所设计出的滤波器即为设计所要求的滤波器。图4-2 信号滤波前的时域图和频域图图4-3 信号滤波后的时域图和频域图从图4-2和图4-3的图像中可以看到：输入信号是由两个不同频率的正弦信号叠加而成，信号频域图中位于滤波器通带内的频率分量保留了下来，位于滤波器阻带内的频率分量被滤除，滤波器的效果符合设计要求。（2） 利用窗函数法设计带通滤波器设计要求：使用Kaiser窗，采样频率8000Hz通带截频0.325与0.5525，阻带截频0.25与0.6025阻带衰减大于等于40dB，通带和阻带波纹0.01程序参见附录二中的1-（2）利用窗函数法设计带通滤波器图4-4 窗函数法设计带通滤波器的增益响应从参考程序及图4-4可以得到所设计出滤波器的参数如下：滤波器的采样频率为8000Hz，滤波器的阶数为90滤波器的通带截频0.325与0.5525，阻带截频0.25与0.6025，过渡带宽0.075与0.05阻带衰减为40dB，通带和阻带的波纹均为0.01对比设计要求与所设计出滤波器的参数可知，其各项参数均满足设计指标，所设计出的滤波器即为设计所要求的滤波器。图4-5 信号滤波前的时域图和频域图图4-6 信号滤波后的时域图和频域图从图4-5和图4-6的图像中可以看到：输入信号是由四个不同频率的正弦信号叠加而成，信号频域图中位于滤波器通带内的频率分量保留了下来，位于滤波器阻带内的频率分量被滤除，滤波器的效果符合设计要求。 (3) 利用窗函数法设计多通带滤波器设计要求：使用Kaiser窗，采样频率200Hz通带截频0.2、0.4、0.7、0.8阻带截频0.1、0.5、0.6、0.9阻带衰减大于等于30dB，通带和阻带波纹0.01程序参见附录二中的1-（3）利用窗函数法设计多通带滤波器图4-7 窗函数法设计多通带滤波器的增益响应从参考程序及图4-7可以得到所设计出滤波器的参数如下：滤波器的采样频率为200Hz，滤波器的阶数为46滤波器的通带截频0.2、0.4、0.7、0.8，阻带截频0.1 、0.5、0.6、0.9，过渡带宽均为0.1阻带衰减为38dB，通带和阻带的波纹均为0.01对比设计要求与所设计出滤波器的参数可知，其各项参数均满足设计指标，所设计出的滤波器即为设计所要求的滤波器。图4-8 信号滤波前的时域图和频域图图4-9 信号滤波后的时域图和频域图从图4-8和图4-9的图像中可以看到：输入信号是由六个不同频率的正弦信号叠加而成，信号频域图中位于滤波器通带内的频率分量保留了下来，位于滤波器阻带内的频率分量被滤除，滤波器的效果符合设计要求。4.2 频率取样法的Matlab实现(1) 利用频率取样法设计低通滤波器设计要求：通带截频0.5，阻带截频0.6阻带衰减大于等于15dB程序参见附录二中的2-（1）利用频率取样法设计低通滤波器图4-10 频率取样法设计低通滤波器的增益响应从参考程序及图4-7可以得到所设计出滤波器的参数如下：滤波器的阶数为63滤波器的通带截频0.5，阻带截频0.6，过渡带宽为0.1阻带衰减为17dB对比设计要求与所设计出滤波器的参数可知，其各项参数均满足设计指标，所设计出的滤波器即为设计所要求的滤波器。图4-11 信号滤波前的时域图和频域图图4-12 信号滤波后的时域图和频域图从图4-11和图4-12的图像中可以看到：输入信号是由三个不同频率的正弦信号叠加而成，信号频域图中位于滤波器通带内的频率分量保留了下来，位于滤波器阻带内的频率分量被滤除，滤波器的效果符合设计要求。（2）利用频率取样法设计高通滤波器设计要求：通带截频0.5，阻带截频0.6阻带衰减大于等于15dB程序参见附录二中的2-（2）利用频率取样法设计高通滤波器图4-13 频率取样法设计高通滤波器的增益响应从参考程序及图4-7可以得到所设计出滤波器的参数如下：滤波器的阶数为32滤波器的通带截频0.6，阻带截频0.5，过渡带宽为0.1阻带衰减为18dB对比设计要求与所设计出滤波器的参数可知，其各项参数均满足设计指标，所设计出的滤波器即为设计所要求的滤波器。图4-14 信号滤波前的时域图和频域图图4-15 信号滤波后的时域图和频域图从图4-14和图4-15的图像中可以看到：输入信号是由三个不同频率的正弦信号叠加而成，信号频域图中位于滤波器通带内的频率分量保留了下来，位于滤波器阻带内的频率分量被滤除，滤波器的效果符合设计要求。4.3 优化设计的Matlab实现在优化设计的Matlab实现中，程序中经常使用remez函数，这种函数的使用方法为： b=remez(n,f,a,w,ftype)n为待设计滤波器的阶数；f是一个向量，它是一个0到1的正数a是一个向量，指定频率段的幅度值；w对应于各个频段的加权值函数的返回值b是设计出的滤波器的系数组成的一个长度为n+1的向量(1) 利用Remez函数设计等波纹低通滤波器设计要求：通带截频0.5，阻带截频0.6 , 采样频率2000Hz阻带衰减大于等于40dB，通带波纹0.1710和阻带波纹0.01程序参见附录二中的3-（1）利用Remez函数设计等波纹低通滤波器图4-16 等波纹低通滤波器的增益响应从参考程序及图4-16可以得到所设计出滤波器的参数如下：滤波器的采样频率为2000Hz，滤波器的阶数为22滤波器的通带截频0.5，阻带截频0.6，过渡带宽均为0.1阻带衰减为40dB，通带波纹为0.1710，阻带波纹为0.01对比设计要求与所设计出滤波器的参数可知，其各项参数均满足设计指标，所设计出的滤波器即为设计所要求的滤波器。图4-17 信号滤波前的时域图和频域图图4-18 信号滤波后的时域图和频域图从图4-17和图4-18的图像中可以看到：输入信号是由两个不同频率的正弦信号叠加而成，信号频域图中位于滤波器通带内的频率分量保留了下来，位于滤波器阻带内的频率分量被滤除，滤波器的效果符合设计要求。(2) 利用Remez函数设计等波纹带通滤波器设计要求：通带截频0.3、0.6，阻带截频0.2、0.7 阻带衰减大于等于40dB通带波纹0.1710和阻带波纹0.01采样频率2000Hz程序参见附录二中的3-（2）利用Remez函数设计等波纹带通滤波器图4-19 等波纹带通滤波器的增益响应从参考程序及图4-19可以得到所设计出滤波器的参数如下：滤波器的采样频率为2000Hz，滤波器的阶数为22通带截频0.3、0.6，阻带截频0.2、0.7，过渡带宽均为0.1阻带衰减为40dB，通带波纹为0.1710，阻带波纹为0.01对比设计要求与所设计出滤波器的参数可知，其各项参数均满足设计指标，所设计出的滤波器即为设计所要求的滤波器。图4-20 信号滤波前的时域图和频域图图4-21 信号滤波后的时域图和频域图从图4-20和图4-21的图像中可以看到：输入信号是由四个不同频率的正弦信号叠加而成，信号频域图中位于滤波器通带内的频率分量保留了下来，位于滤波器阻带内的频率分量被滤除，滤波器的效果符合设计要求。(3) 利用Remez函数设计等波纹带阻滤波器设计要求：阻带截频0.3、0.6，通带截频0.2、0.7 阻带衰减大于等于15dB通带波纹0.01和阻带波纹0.1710采样频率2000Hz程序参见附录二中的3-（3）利用Remez函数设计等波纹带阻滤波器图4-22 等波纹带阻滤波器的增益响应从参考程序及图4-22可以得到所设计出滤波器的参数如下：滤波器的采样频率为2000Hz，滤波器的阶数为22通带截频0.2、0.7，阻带截频0.3、0.6，过渡带宽均为0.1阻带衰减为15dB，通带波纹为0.01，阻带波纹为0.1710对比设计要求与所设计出滤波器的参数可知，其各项参数均满足设计指标，所设计出的滤波器即为设计所要求的滤波器。图4-23 信号滤波前的时域图和频域图图4-24 信号滤波后的时域图和频域图从图4-23和图4-24的图像中可以看到：输入信号是由四个不同频率的正弦信号叠加而成，信号频域图中位于滤波器通带内的频率分量保留了下来，位于滤波器阻带内的频率分量被滤除，滤波器的效果符合设计要求。4.4 利用滤波器处理加有噪声的音频波形（1） 利用窗函数法设计的低通滤波器处理加有噪声的音频波形程序参见附录二4-（1）利用窗函数法设计的低通滤波器处理加噪声的音频波形图4-25 加噪前录音波形的时域图和频域图图4-26 加噪后录音波形的时域图和频域图图4-27 窗函数法设计低通滤波器的增益响应图4-28 滤波后录音波形的时域图和频域图从参考程序及以上的四个图像中可以得到如下结论：从录音波形的频域图可以看到其频率分量主要在0到6000Hz之间，噪声的频率分量主要集中在7000Hz，利用通带截频为6000Hz的低通滤波器可以滤除噪声。对比figure（1）和figure（4）滤波前后的波形和频谱，可以看到波形得到了重现滤波器的采样频率为22050Hz，滤波器的阶数为266滤波器的通带截频0.6，阻带截频0.68，过渡带宽0.08通带衰减为0.019dB，阻带衰减约为53dB（2） 利用优化设计的低通滤波器处理加有噪声的音频波形程序参见附录二中4-（2）利用优化设计的低通滤波器处理加有噪声的音频波形图4-29 加噪前录音波形的时域图和频域图图4-30 加噪后录音波形的时域图和频域图图4-31 等波纹低通滤波器的增益响应图4-32 滤波后录音波形的时域图和频域图从参考程序及以上的四个图像中可以得到如下结论：从录音波形的频域图可以看到其频率分量主要在0到6000Hz之间，噪声的频率分量主要集中在7000Hz，利用通带截频为6000Hz的低通滤波器可以滤除噪声。对比figure（1）和figure（4）滤波前后的波形和频谱，可以看到波形得到了重现滤波器的采样频率为22050Hz，滤波器的阶数为24滤波器的通带截频0.6，阻带截频0.7，过渡带宽为0.1阻带衰减为40dB，通带波纹为0.1710，阻带波纹为0.01参考文献1陈后金.数字信号处理.高等教育出版社，20062徐明远，邵玉斌.Matlab仿真在通信与电子工程中的应用.西安电子科技大学出版社.20083邹鲲，袁俊泉，龚享铱.Matlab 6.x信号处理.清华大学出版社.20024张明照，刘政波，刘斌.应用Matlab实现信号分析和处理.科学出版社.20065刘波，文忠.曾涯.Matlab信号处理.电子工业出版社.20066William H.Tranter,K.Sam Shanmugan,Theodore S.Rappaport,Kurt L.Kosbar著.肖明波，杨光松，许芳，席斌译.通信系统仿真原理与无线应用.机械工业出版社.20067程佩青.数字信号处理教程.清华大学出版社.20078Oppenheim A V,Schafer R W.Digital Signal Processing. Prentice Hall,Inc.1975.董士嘉译.数字信号处理.科学出版社.19819黄顺吉.数字信号处理及其应用.国防工业出版社.198210苏金明，张莲花，刘波.Matlab工具箱应用.电子工业出版社.2004附录附录一 外文原文及翻译外文原文FIR Filter Design TechniquesAbstractThis report deals with some of the techniques used to design FIR filters. In the beginning, the windowing method and the frequency sampling methods are discussed in detail with their merits and demerits. Different optimization techniques involved in FIR filter design are also covered, including Rabiners method for FIR filter design. These optimization techniques reduce the error caused by frequency sampling technique at the non-sampled frequency points. A brief discussion of some techniques used by filter design packages like Matlab are also included. Introduction FIR filters are filters having a transfer function of a polynomial in z and is an all-zero filter in the sense that the zeroes in the z-plane determine the frequency response magnitude characteristic.The z transform of a N-point FIR filter is given by (1)FIR filters are particularly useful for applications where exact linear phase response is required. The FIR filter is generally implemented in a non-recursive way which guarantees a stable filter. FIR filter design essentially consists of two parts (i) approximation problem (ii) realization problem The approximation stage takes the specification and gives a transfer function through four steps. They are as follows:(i) A desired or ideal response is chosen, usually in the frequency domain. (ii) An allowed class of filters is chosen (e.g.the length N for a FIR filters). (iii) A measure of the quality of approximation is chosen. (iv) A method or algorithm is selected to find the best filter transfer function. The realization part deals with choosing the structure to implement the transfer function which may be in the form of circuit diagram or in the form of a program.There are essentially three well-known methods for FIR filter design namely: (1) The window method (2) The frequency sampling technique (3) Optimal filter design methods The Window Method In this method, Park87, Rab75, Proakis00 from the desired frequency response specification Hd(w), corresponding unit sample response hd(n) is determined using the following relation (2) (3)In general, unit sample response hd(n) obtained from the above relation is infinite in duration, so it must be truncated at some point say n= M-1 to yield an FIR filter of length M (i.e. 0 to M-1). This truncation of hd(n) to length M-1 is same as multiplying hd(n) by the rectangular window defined as w(n) = 1 0nM-1 (4)0 otherwiseThus the unit sample response of the FIR filter becomes h(n) = hd(n) w(n) (5) = hd(n) 0nM-1= 0 otherwise Now, the multiplication of the window function w(n) with hd(n) is equivalent to convolution of Hd(w) with W(w), where W(w) is the frequency domain representation of the window function (6)Thus the convolution of Hd(w) with W(w) yields the frequency response of the truncated FIR filter (7)The frequency response can also be obtained using the following relation (8)But direct truncation of hd(n) to M terms to obtain h(n) leads to the Gibbs phenomenon effect which manifests itself as a fixed percentage overshoot and ripple before and after an approximated discontinuity in the frequency response due to the non-uniform convergence of the fourier series at a discontinuity.Thus the frequency response obtained by using (8) contains ripples in the frequency domain. In order to reduce the ripples, instead of multiplying hd(n) with a rectangular window w(n), hd(n) is multiplied with a window function that contains a taper and decays toward zero gradually, instead of abruptly as it occurs in a rectangular window. As multiplication of sequences hd(n) and w(n) in time domain is equivalent to convolution of Hd(w) and W(w) in the frequency domain, it has the effect of smoothing Hd(w). The several effects of windowing the Fourier coefficients of the filter on the result of the frequency response of the filter are as follows: (i) A major effect is that discontinuities in H(w) become transition bands between values on either side of the discontinuity. (ii)