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热点专题突破系列(四)平行、垂直的综合问题考点一考点一 平行、垂直关系的证明与体积的计算平行、垂直关系的证明与体积的计算【考情分析【考情分析】以空间几何体以空间几何体( (主要是柱、锥或简单组合体主要是柱、锥或简单组合体) )为载体为载体, ,通通过空间平行、垂直关系的论证命制过空间平行、垂直关系的论证命制, ,主要考查公理主要考查公理4 4及线、面平行与垂及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理直的判定定理与性质定理, ,常与平面图形的有关性质及体积的计算等常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查知识交汇考查, ,考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想化归思想, ,一般以解答题的形式出现一般以解答题的形式出现, ,难度中等难度中等. .【典例【典例1 1】(2014(2014重庆高考改编重庆高考改编) )如图所示如图所示, ,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面是以底面是以O O为中心的菱形为中心的菱形, ,POPO底面底面ABCD,AB=2,BAD= ,MABCD,AB=2,BAD= ,M为为BCBC上一点上一点, ,且且BM= ,NBM= ,N为为ABAB上一点上一点, ,且且BN= .BN= .(1)(1)证明证明:MN:MN平面平面PAC.PAC.(2)(2)证明证明:BC:BC平面平面POM.POM.(3)(3)若若MPAP,MPAP,求四棱锥求四棱锥P-ABMOP-ABMO的体积的体积. .31212【解题提示【解题提示】(1)(1)只需证明只需证明MNMNACAC即可即可. .(2)(2)在平面在平面POMPOM内可以找到内可以找到OM,POOM,PO与与BCBC垂直垂直, ,从而得出结论从而得出结论. .(3)(3)直接利用体积公式求解即可直接利用体积公式求解即可. .【规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为BM=BN= ,BM=BN= ,所以所以所以所以MNAC.MNAC.又又MNMN 平面平面PAC,ACPAC,AC平面平面PAC,PAC,所以所以MNMN平面平面PAC.PAC.12BMBN,BCBA(2)(2)因为因为ABCDABCD为菱形为菱形,O,O为菱形中心为菱形中心, ,连接连接OB,OB,则则AOOB.AOOB.因为因为BAD= ,BAD= ,故故OB=ABOB=ABsinsin =1, =1,又因为又因为BM= ,BM= ,且且OBM= ,OBM= ,在在OBMOBM中中, ,OMOM2 2=OB=OB2 2+BM+BM2 2-2OB-2OBBMBMcosOBMcosOBM36123221131( )2 1cos.2234 所以所以OBOB2 2=OM=OM2 2+BM+BM2 2, ,故故OMBM,OMBM,故故OMBC.OMBC.又又POPO底面底面ABCD,ABCD,所以所以POBC.POBC.从而从而BCBC与平面与平面POMPOM内两条相交直线内两条相交直线OM,POOM,PO都垂直都垂直, ,所以所以BCBC平面平面POM.POM.(3)(3)由由(2)(2)得得,OA=AB,OA=ABcosOABcosOAB=2=2设设PO=a,PO=a,由由POPO底面底面ABCDABCD知知, ,POAPOA为直角三角形为直角三角形, ,故故PAPA2 2=PO=PO2 2+OA+OA2 2=a=a2 2+3.+3.由由POMPOM也是直角三角形也是直角三角形, ,故故PMPM2 2=PO=PO2 2+OM+OM2 2=a=a2 2+ .+ .连接连接AM,AM,在在ABMABM中中, ,AMAM2 2=AB=AB2 2+BM+BM2 2-2AB-2ABBMBMcosABMcosABMcos3.63422112212( )2 2cos.2234 由已知由已知MPAP, MPAP, 故故APMAPM为直角三角形为直角三角形, ,则则PAPA2 2+PM+PM2 2=AM=AM2 2, ,即即 得得 ( (舍去舍去),),即即PO=PO=此时此时S S四边形四边形ABMOABMO=S=SAOBAOB+S+SOMBOMB= = AOAOOB+ OB+ BMBMOMOM所以四棱锥所以四棱锥P-ABMOP-ABMO的体积的体积22321a3a,44 33a,a22 3.2121211135 33 1.22228 P ABMOABMO115 335VSPO.338216四边形【规律方法【规律方法】1.1.空间两直线位置关系的判定方法空间两直线位置关系的判定方法(1)(1)对于平行直线可通过作辅助线对于平行直线可通过作辅助线, ,利用三角形或梯形中位线的性质及利用三角形或梯形中位线的性质及线面平行与面面平行的性质定理线面平行与面面平行的性质定理. .(2)(2)垂直关系可采用线面垂直的性质解决垂直关系可采用线面垂直的性质解决. .2.2.空间线面的位置关系的判定方法空间线面的位置关系的判定方法(1)(1)证明直线与平面平行证明直线与平面平行, ,设法在平面内找到一条直线与已知直线平行设法在平面内找到一条直线与已知直线平行, ,解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质, ,或构造平行四边形或构造平行四边形, ,寻寻求比例关系确定两直线平行求比例关系确定两直线平行. .(2)(2)证明直线与平面垂直证明直线与平面垂直, ,主要途径是找到一条直线与平面内的两条相主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直交直线垂直. .解题时注意分析观察几何图形解题时注意分析观察几何图形, ,寻求隐含条件寻求隐含条件. .3.3.空间面面的位置关系的判定方法空间面面的位置关系的判定方法(1)(1)证明面面平行证明面面平行, ,需要证明线面平行需要证明线面平行, ,要证明线面平行需证明线线平要证明线面平行需证明线线平行行, ,将将“面面平行面面平行”问题转化为问题转化为“线线平行线线平行”问题问题. .(2)(2)证明面面垂直证明面面垂直, ,将将“面面垂直面面垂直”问题转化为问题转化为“线面垂直线面垂直”问题问题, ,再再将将“线面垂直线面垂直”问题转化为问题转化为“线线垂直线线垂直”问题问题. .4.4.计算几何体体积的关键及注意点计算几何体体积的关键及注意点计算几何体的体积时计算几何体的体积时, ,能直接用公式时能直接用公式时, ,关键是确定几何体的高关键是确定几何体的高, ,而不而不能直接用公式时能直接用公式时, ,注意进行体积的转化注意进行体积的转化. .【变式训练【变式训练】(2015(2015杭州模拟杭州模拟) )如图如图, ,在三棱柱在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,ACBC,ABBB,ACBC,ABBB1 1,AC=BC=BB,AC=BC=BB1 1=2,=2,D D为为ABAB的中点的中点, ,且且CDDACDDA1 1. .(1)(1)求证求证: :平面平面A A1 1B B1 1BB平面平面ABC.ABC.(2)(2)求多面体求多面体DBC-ADBC-A1 1B B1 1C C1 1的体积的体积. .【解析【解析】(1)(1)因为因为AC=BC,DAC=BC,D为为ABAB的中点的中点, ,所以所以CDAB,CDAB,又又CDDACDDA1 1,ABDA,ABDA1 1=D,=D,所以所以CDCD平面平面A A1 1B B1 1B,B,又因为又因为CDCD平面平面ABC,ABC,故平面故平面A A1 1B B1 1BB平面平面ABC.ABC.(2)(2)因为平面因为平面A A1 1B B1 1BB平面平面ABC,ABC,平面平面A A1 1B B1 1BB平面平面ABC=AB,BBABC=AB,BB1 1平面平面A A1 1B B1 1B,ABBBB,ABBB1 1, ,所以所以BBBB1 1平面平面ABC,ABC,因此因此=S=SABCABC|AA|AA1 1|- S|- SADCADC|AA|AA1 1|=S|=SABCABC|AA|AA1 1|- S|- SABCABC|AA|AA1 1|=|= S SABCABC|AA|AA1 1|= .|= .111111DBC A B CABC A B CVV多面体棱柱1AADCV棱锥13113256103【加固训练【加固训练】(2013(2013江西高考江西高考) )如图如图, ,四棱柱四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AA,AA1 1面面ABCD,ABCD,ADAB,AB=2,AD= ,AAABCD,ABCD,ADAB,AB=2,AD= ,AA1 1=3,E=3,E为为CDCD上一点上一点,DE=1,EC=3.,DE=1,EC=3.(1)(1)证明证明:BE:BE平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)求点求点B B1 1到平面到平面EAEA1 1C C1 1的距离的距离. .2【解析【解析】(1)(1)过点过点B B作作CDCD的垂线交的垂线交CDCD于点于点F,F,则则BF=AD= ,BF=AD= ,EF=AB-DE=1,FC=2.EF=AB-DE=1,FC=2.在在RtRtBFEBFE中中,BE= ,BE= ,在在RtRtCFBCFB中中,BC= .,BC= .在在BECBEC中中, ,因为因为BEBE2 2+BC+BC2 2=9=EC=9=EC2 2, ,所以所以BEBC,BEBC,又由又由BBBB1 1平面平面ABCDABCD得得BEBBBEBB1 1, ,又又BBBB1 1BC=B,BC=B,故故BEBE平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.236(2)(2)在在RtRtA A1 1D D1 1C C1 1中，中，同理，同理，则则设点设点B B1 1到平面到平面EAEA1 1C C1 1的距离为的距离为d d，则三棱锥，则三棱锥B B1 1-EA-EA1 1C C1 1的体积为的体积为所以点所以点B B1 1到平面到平面EAEA1 1C C1 1的距离为的距离为111111E A B C1A B C1VAA S2.322111111A CA DD C 3 2.222221111ECECCC3 2A EA AADDE2 3.，11A C ES3 5.11A C E110Vd S5d,5d2,d.35 从而10.5考点二考点二 平面图形折叠成空间几何体问题平面图形折叠成空间几何体问题【考情分析【考情分析】先将平面图形折叠成空间几何体先将平面图形折叠成空间几何体, ,再以其为载体研究其再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向几何的一类重要考向, ,它很好地将平面图形拓展成空间图形它很好地将平面图形拓展成空间图形, ,同时也将同时也将空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径, ,是高考深层次是高考深层次考查空间想象能力的主要方向考查空间想象能力的主要方向. .【典例【典例2 2】(2015(2015中山模拟中山模拟) )如图如图1 1所示所示, ,在在RtRtABCABC中中,AC=6,BC=3, ,AC=6,BC=3, ABC=90ABC=90,CD,CD为为ACBACB的平分线的平分线, ,点点E E在线段在线段ACAC上上, ,且且CE=4.CE=4.如图如图2 2所示所示, ,将将BCDBCD沿沿CDCD折起折起, ,使得平面使得平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,连接连接AB,AB,设点设点F F是是ABAB的中点的中点. .(1)(1)求证求证:DE:DE平面平面BCD.BCD.(2)(2)若若EFEF平面平面BDG,BDG,其中其中G G为直线为直线ACAC与平面与平面BDGBDG的交点的交点, ,求三棱锥求三棱锥B-DEGB-DEG的体积的体积. .【解题提示【解题提示】(1)(1)由平面由平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,只需证明只需证明DEDCDEDC即可即可. .(2)(2)先由平面先由平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,求得求得B B到平面到平面ACD,ACD,即即DEGDEG的距离的距离, ,再由体积再由体积公式求解公式求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)在题图在题图1 1中中, ,因为因为AC=6,BC=3,ABC=90AC=6,BC=3,ABC=90, ,所以所以A=30A=30,ACB=60,ACB=60. .因为因为CDCD为为ACBACB的平分线的平分线, ,所以所以BCD=ACD=30BCD=ACD=30, ,所以所以CD=2 .CD=2 .因为因为CE=4,DCE=30CE=4,DCE=30, ,由余弦定理可得由余弦定理可得cos30cos30= = 即即 , ,解得解得DE=2.DE=2.则则CDCD2 2+DE+DE2 2=EC=EC2 2, ,所以所以CDE=90CDE=90,DEDC.,DEDC.3222CECDDE,2CE CD22234(2 3)DE22 4 2 3 在题图在题图2 2中中, ,因为平面因为平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,平面平面BCDBCD平面平面ACD=CD,ACD=CD,DEDE平面平面ACD,ACD,且且DEDC,DEDC,所以所以DEDE平面平面BCD.BCD.(2)(2)在题图在题图2 2中中, ,因为因为EFEF平面平面BDG,EFBDG,EF平面平面ABC,ABC,平面平面ABCABC平面平面BDG=BG,BDG=BG,所以所以EFBG.EFBG.因为点因为点E E在线段在线段ACAC上上,CE=4,CE=4,点点F F是是ABAB的中点的中点, ,所以所以AE=EG=CG=2.AE=EG=CG=2.作作BHCDBHCD于点于点H.H.因为平面因为平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,所以所以BHBH平面平面ACD.ACD.由已知可得由已知可得所以三棱锥所以三棱锥B-DEGB-DEG的体积的体积V= SV= SDEGDEGBH=BH=BD BC333BH.DC22 3DEGACD111SSAC CD sin 303,332 131333.322【规律方法【规律方法】折叠问题的求解策略折叠问题的求解策略(1)(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量. .一般情况下一般情况下, ,长度是不变量长度是不变量, ,而位置关系往往会发生变化而位置关系往往会发生变化. .(2)(2)在解决问题时在解决问题时, ,要综合考虑折叠前后的图形要综合考虑折叠前后的图形, ,既要分析折叠后的图既要分析折叠后的图形形, ,也要分析折叠前的图形也要分析折叠前的图形. .进而将其转化为立体几何的常规问题求解进而将其转化为立体几何的常规问题求解. .解决折叠问题的关注点解决折叠问题的关注点 平面图形折叠成空间图形平面图形折叠成空间图形, ,主要抓住变与不变的量主要抓住变与不变的量, ,所谓不变的量所谓不变的量, ,即是指即是指“未折坏未折坏”的元素的元素, ,包括包括“未折坏未折坏”的边和角的边和角, ,一般优先标出未一般优先标出未折坏的直角折坏的直角( (从而观察是否存在线面垂直从而观察是否存在线面垂直),),然后标出其他特殊角然后标出其他特殊角, ,以及以及所有不变的线段所有不变的线段. .【变式训练【变式训练】(2015(2015天津模拟天津模拟) )如图如图, ,在边长为在边长为3 3的正三角形的正三角形ABCABC中中,G,F,G,F为边为边ACAC的三等分点的三等分点,E,P,E,P分别是分别是AB,BCAB,BC边上的点边上的点, ,满足满足AE=CP=1,AE=CP=1,今今将将BEP,BEP,CFPCFP分别沿分别沿EP,FPEP,FP向上折起向上折起, ,使边使边BPBP与边与边CPCP所在的直线重所在的直线重合合,B,C,B,C折后的对应点分别记为折后的对应点分别记为B B1 1,C,C1 1. .(1)(1)求证求证:C:C1 1FF平面平面B B1 1GE.GE.(2)(2)求证求证:PF:PF平面平面B B1 1EF.EF.【证明【证明】(1)(1)取取EPEP的中点的中点D,D,连接连接FD,CFD,C1 1D.D.因为因为BC=3,CP=1,BC=3,CP=1,所以折起后所以折起后C C1 1为为B B1 1P P的中点的中点. .所以在所以在B B1 1EPEP中中,DC,DC1 1EBEB1 1. .又因为又因为AB=BC=AC=3,AE=CP=1,AB=BC=AC=3,AE=CP=1,所以所以 , ,所以所以EP=2EP=2且且EPGF.EPGF.因为因为G,FG,F为为ACAC的三等分点的三等分点, ,所以所以GF=1.GF=1.EPEBACAB又因为又因为ED= EP=1,ED= EP=1,所以所以GF=ED,GF=ED,所以四边形所以四边形GEDFGEDF为平行四边形为平行四边形. .所以所以FDGE.FDGE.又因为又因为DCDC1 1FD=D,GEBFD=D,GEB1 1E=E,E=E,所以平面所以平面DFCDFC1 1平面平面B B1 1GE.GE.又因为又因为C C1 1F F平面平面DFCDFC1 1, ,所以所以C C1 1FF平面平面B B1 1GE.GE.12(2)(2)连接连接EF,BEF,B1 1F,F,由已知得由已知得EPF=60EPF=60, ,且且FP=1,EP=2,FP=1,EP=2,由余弦定理由余弦定理, ,得得EFEF2 2=1=12 2+2+22 2-2-21 12 2cos60cos60=3,=3,所以所以FPFP2 2+EF+EF2 2=EP=EP2 2, ,可得可得PFEF.PFEF.因为因为B B1 1C C1 1=PC=PC1 1=1,C=1,C1 1F=1,F=1,得得FCFC1 1=B=B1 1C C1 1=PC=PC1 1, ,所以所以PBPB1 1F F的中线的中线C C1 1F= PBF= PB1 1, ,可得可得PBPB1 1F F是直角三角形是直角三角形, ,即即B B1 1FPF.FPF.因为因为EFBEFB1 1F=F,EF,BF=F,EF,B1 1F F平面平面B B1 1EF,EF,所以所以PFPF平面平面B B1 1EF.EF.12【加固训练【加固训练】(2013(2013湖北高考湖北高考) )如图甲如图甲, ,在平面四边形在平面四边形ABCDABCD中中, ,已知已知A=45A=45,C,C=90=90,ADC=105,ADC=105,AB=BD,AB=BD,现将四边形现将四边形ABCDABCD沿沿BDBD折起折起, ,使平面使平面ABDABD平面平面BDCBDC( (如图乙如图乙),),设点设点E,FE,F分别为棱分别为棱AC,ADAC,AD的中点的中点. .(1)(1)求证求证:DC:DC平面平面ABC.ABC.(2)(2)设设CD=a,CD=a,求三棱锥求三棱锥A-BFEA-BFE的体积的体积. .【解析【解析】(1)(1)在图甲中因为在图甲中因为AB=BDAB=BD且且A=45A=45, ,所以所以ADB=45ADB=45,ABD=90,ABD=90, ,即即ABBD.ABBD.在图乙中在图乙中, ,因为平面因为平面ABDABD平面平面BDC,BDC,且平面且平面ABDABD平面平面BDC=BD,BDC=BD,所以所以ABAB底面底面BDC,BDC,所以所以ABCD.ABCD.又又DCB=90DCB=90, ,所以所以DCBC,DCBC,且且ABBC=B,ABBC=B,所以所以DCDC平面平面ABC.ABC.(2)(2)因为因为E,FE,F分别为分别为AC,ADAC,AD的中点的中点, ,所以所以EFCD,EFCD,又由又由(1)(1)知知,DC,DC平面平面ABC,ABC,所以所以EFEF平面平面ABC,ABC,所以所以V VA-BFEA-BFE=V=VF-AEBF-AEB= S= SAEBAEBFEFE在图甲中在图甲中, ,因为因为ADC=105ADC=105, ,所以所以BDC=60BDC=60,DBC=30,DBC=30, ,13由由CD=aCD=a得得BD=2a,BC= a,EFBD=2a,BC= a,EF= CD= a,= CD= a,所以所以S SABCABC= AB= ABBC= BC= 2a2a a= a a= a2 2, ,所以所以S SAEBAEB= =所以所以3121212123323a ,223A BFE1313Vaaa .32212考点三考点三 线、面位置关系中的存在性问题线、面位置关系中的存在性问题【考情分析【考情分析】是否存在某点或某参数是否存在某点或某参数, ,使得某种线、面位置关系成立使得某种线、面位置关系成立问题问题, ,是近几年高考命题的热点是近几年高考命题的热点, ,常以解答题中最后一问的形式出现常以解答题中最后一问的形式出现, ,一般有三种类型一般有三种类型:(1):(1)条件追溯型条件追溯型.(2).(2)存在探索型存在探索型.(3).(3)方法类比探索型方法类比探索型. .【典例【典例3 3】(2015(2015威海模拟威海模拟) )如图所示如图所示, ,在四棱锥在四棱锥P P- -ABCDABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是边长为是边长为a a的正方形的正方形, ,侧面侧面PADPAD底面底面ABCD,ABCD,且且PA=PD= AD,PA=PD= AD,若若E,FE,F分分别为别为PC,BDPC,BD的中点的中点. .(1)(1)求证求证:EF:EF平面平面PAD.PAD.(2)(2)求三棱锥求三棱锥F F- -DECDEC的体积的体积. .(3)(3)在线段在线段CDCD上是否存在一点上是否存在一点G,G,使得平面使得平面EFGEFG平面平面PDC?PDC?若存在若存在, ,请说请说明其位置明其位置, ,并加以证明并加以证明; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .22【解题提示【解题提示】(1)(1)由中位线性质由中位线性质, ,证明证明EFPAEFPA即可即可. .(2)(2)转化为求转化为求V VE-FDCE-FDC. .(3)(3)假设在假设在CDCD上存在点上存在点G G为为CDCD的中点的中点, ,使平面使平面EFGEFG平面平面PDC,PDC,通过相关证通过相关证明验证正确与否明验证正确与否. .【规范解答【规范解答】(1)(1)连接连接EF,AC,EF,AC,因为四棱锥因为四棱锥P-P-ABCDABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是边长为是边长为a a的正方形且点的正方形且点F F为对角线为对角线BDBD的中点的中点, ,所以对角线所以对角线ACAC经过经过F F点点. .又在又在PACPAC中中, ,点点E E为为PCPC的中点的中点, ,所以所以EFEF为为PACPAC的中位线的中位线, ,所以所以EFPA,EFPA,又又PAPA平面平面PAD,EFPAD,EF 平面平面PAD,PAD,所以所以EFEF平面平面PAD.PAD.(2)(2)过点过点P P作作ADAD的垂线的垂线PH,PH,垂足为垂足为H,H,因为侧面因为侧面PADPAD底面底面ABCD,PHABCD,PH平面平面PAD,PAD,侧面侧面PADPAD底面底面ABCD=AD,ABCD=AD,所以所以PHPH平面平面ABCD,ABCD,因为因为E E为为PCPC的中点的中点, ,所以三棱锥所以三棱锥E-E-FDCFDC的高的高h= PH,h= PH,又又PA=PD= ADPA=PD= AD且且AD=a,AD=a,所以所以PH= ,PH= ,所以所以h= .h= .所以三棱锥所以三棱锥F-F-DECDEC的体积的体积V VF-DECF-DEC=V=VE-FDCE-FDC= = 1222a2a43111111S FDC haaaa .3322448(3)(3)在线段在线段CDCD上存在一点上存在一点G G为为CDCD的中点的中点, ,使得平面使得平面EFGEFG平面平面PDC,PDC,因为底面因为底面ABCDABCD是边长为是边长为a a的正方形的正方形, ,所以所以CDAD.CDAD.又侧面又侧面PADPAD底面底面ABCD,CDABCD,CD平面平面ABCD,ABCD,侧面侧面PADPAD平面平面ABCD=AD,ABCD=AD,所以所以CDCD平面平面PAD.PAD.又又EFEF平面平面PAD,PAD,所以所以CDEF.CDEF.取取CDCD中点中点G,G,连接连接FG,EG.FG,EG.因为因为F F为为BDBD中点中点, ,所以所以FGAD.FGAD.又又CDAD,CDAD,所以所以FGCD,FGCD,又又FGEF=F,FGEF=F,所以所以CDCD平面平面EFG,EFG,又又CDCD平面平面PDC,PDC,所以平面所以平面EFGEFG平面平面PDC.PDC.【规律方法【规律方法】解决探索性问题的方法解决探索性问题的方法(1)(1)对命题条件的探索的三种途径对命题条件的探索的三种途径. .途径一途径一: :先猜后证先猜后证, ,即先观察与尝试给出条件再证明即先观察与尝试给出条件再证明; ;途径二途径二: :先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件, ,再证明充再证明充分性分性. .途径三途径三: :将几何问题转化为代数问题将几何问题转化为代数问题, ,探索出命题成立的条件探索出命题成立的条件. .(2)(2)对命题结论的探索方法对命题结论的探索方法. .从条件出发从条件出发, ,探索出要求的结论是什么探索出要求的结论是什么, ,对于探索结论是否存在对于探索结论是否存在, ,求解求解时常假设结论存在时常假设结论存在, ,再寻找与条件相容或者矛盾的结论再寻找与条件相容或者矛盾的结论. .【变式训练【变式训练】(2015(2015广州模拟广州模拟) )如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P P- -ABCDABCD中中, ,底面底面ABCDABCD为为菱形菱形,BAD=60,BAD=60,Q,Q为为ADAD的中点的中点. .(1)(1)若若PA=PD,PA=PD,求证求证: :平面平面PQBPQB平面平面PAD.PAD.(2)(2)点点M M在线段在线段PCPC上上,PM=tPC,PM=tPC, ,试确定实数试确定实数t t的值的值, ,使得使得PAPA平面平面MQB.MQB.【解析【解析】(1)(1)依题意依题意, ,可设可设AB=2a,AB=2a,故故AQ=a,AQ=a,又又BAD=60BAD=60, ,由余弦定理可知由余弦定理可知,BQ,BQ2 2=AQ=AQ2 2+AB+AB2 2-2AQ-2AQABABcosBAD=acosBAD=a2 2+(2a)+(2a)2 2- -2 2a a2a2acos 60cos 60=3a=3a2 2. .所以所以AQAQ2 2+BQ+BQ2 2=4a=4a2 2=AB=AB2 2. .故可知故可知AQB=90AQB=90, ,可知可知ADBQ,ADBQ,( (另解另解: :连接连接BD,BD,由由BAD=60BAD=60,AD=AB,AD=AB,可知可知ABDABD为等边三角形为等边三角形, ,又又Q Q为为ADAD的中点的中点, ,所以也可证得所以也可证得ADBQ).ADBQ).又在又在PADPAD中中,PA=PD,Q,PA=PD,Q为为ADAD的中点的中点, ,所以所以PQAD,PQAD,又又PQBQ=Q,PQBQ=Q,所以所以ADAD平面平面PQB.PQB.又又ADAD平面平面PAD,PAD,所以平面所以平面PQBPQB平面平面PAD.PAD.(2)(2)连接连接ACAC交交BQBQ于点于点O,O,连接连接MO,MO,欲使欲使PAPA平面平面MQB,MQB,只需满足只需满足PAOMPAOM即可即可. .又由已知又由已知AQBC,AQBC,易证得易证得AQOAQOCBO,CBO,所以所以 故只需故只需 即即t= t= 时时, ,满足题意满足题意. .因为因为 所以可知所以可知PAOM,PAOM,又又PAPA 平面平面MBQ,OMMBQ,OM平面平面MBQ,MBQ,所以可知当所以可知当t= t= 时时,PA,PA平面平面MQB.MQB.AOAQ1.OCBC2PM1,MC213PMAO1,MCOC213【加固训练【加固训练】(2014(2014廊坊模拟廊坊模拟) )在如图所示的几何在如图所示的几何体中体中, ,面面CDEFCDEF为正方形为正方形, ,面面ABCDABCD为等腰梯形为等腰梯形,ABCD,ABCD,AC= ,AB=2BC=2,ACFB.AC= ,AB=2BC=2,ACFB.(1)(1)求证求证:AC:AC平面平面FBC.FBC.(2)(2)求四面体求四面体FBCDFBCD的体积的体积. .(3)(3)线段线段ACAC上是否存在点上是否存在点M,M,使使EAEA平面平面FDM?FDM?证明你的结论证明你的结论. .3【解析【解析】(1)(1)在在ABCABC中中, ,因为因为AC= ,AB=2,BC=1,AC= ,AB=2,BC=1,所以所以ACBC.ACBC.又因为又因为ACFB,BCFB=B,ACFB,BCFB=B,所以所以ACAC平面平面FBC.FBC.(2)(2)因为因为ACAC平面平面FBC,FBC,所以所以ACFC.ACFC.因为因为CDFC,ACCD=C,CDFC,ACCD=C,所以所以FCFC平面平面ABCD.ABCD.在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中可得中可得CB=DC=1,CB=DC=1,所以所以FC=1.FC=1.所以所以BCDBCD的面积为的面积为S= .S= .所以四面体所以四面体FBCDFBCD的体积为的体积为:V:VF-BCDF-BCD= = 33413S FC312(3)(3)线段线段ACAC上存在点上存在点M,M,且且M M为为ACAC中点时中点时, ,有有EAEA平面平面FDM.FDM.证明如下证明如下: :连接连接CE,CE,与与DFDF交于点交于点N,N,取取ACAC的中点的中点M,M,连接连接MN.MN.如图所示如图所示, ,因为因为CDEFCDEF为正方形为正方形, ,所以所以N N为为CECE中点中点. .所以所以EAMN.EAMN.因为因为MNMN平面平面FDM,EAFDM,EA 平面平面FDM,FDM,所以所以EAEA平面平面FDM.FDM.所以线段所以线段ACAC上存在点上存在点M,M,使得使得EAEA平面平面FDMFDM成立成立. .
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