行列式的计算方法小结

4、其他技巧：其他技巧：1、定义法定义法2、利用性质利用性质3、按行（列）展开（按行（列）展开（降阶法）降阶法）析因子法析因子法箭形行列式箭形行列式行（列）和相等的行列式行（列）和相等的行列式递推公式法递推公式法加边法（升级法）加边法（升级法）拆项法拆项法数学归纳法数学归纳法1、定义法：适用于定义法：适用于0比较多的行列式比较多的行列式1121 211121()212221212( 1)nnnnjjnjjnjj jjnnnnaaaaaaaaaaaa （P97P97 8 8、9 9、1010、1111、1212）提供网站： 2、利用性质利用性质（直接利用；利用性质化三角形行列式）（直接利用；利用性质化三角形行列式）例例1. .若若n 级行列式级行列式 满足满足nijDa ,1,2,jiijaai jn 证明：当证明：当n为奇数时，为奇数时，0.nD 例例2. .设设n 为奇数，将为奇数，将 个数排成一个个数排成一个n 阶行列式，使其每行、每列的元素之各都相等。阶行列式，使其每行、每列的元素之各都相等。证明该行列式能被全体元素的和整除。证明该行列式能被全体元素的和整除。2n21,2,n（P98P989999：1212、1717（2 2）提供网站： 解：设排成的解：设排成的n 级行列式为，则级行列式为，则 所有所有元素之和元素之和nijDa nD222(1)12,2n nsn 且每行、每列的元素之和且每行、每列的元素之和211(1),2nnikkikksn nbaan 1,2,in 于是于是1212222122111nnnnnnaaaaD ccc baa22212211nnnnnnbbaarrr baa2222111nnnnbbnnnbaaaa 因为因为n为奇数，所以为偶数，从而为奇数，所以为偶数，从而为整数。所以下面行列式的值为整数。所以下面行列式的值 m 为整数：为整数：212bnn 21n 2222111nnnnbbnnmaaaa nDnbm能被所有元素之和能被所有元素之和 snb整除整除. .522260204D 例例3. .计算行列式计算行列式(5)(2)(8) 解：原式解：原式13225062402cc 4312(4)(5)22250 6204 2rr (4)(5)2(4)(5)220402404 2 (4)(5)2(4)(5)(4)(5)42222 040 240 0 2(4) 3、降阶法：主要利用降阶法：主要利用按行（列）展开公式按行（列）展开公式 10nikjkkDija Aij 10nkikjkDija Aij （P100P100：1717（5 5）提供网站： 1 2 3 43 3 4 461 5 6 71 1 2 2D 例例4. .已知行列式已知行列式求求41424344,.AAAA答案：答案：4142434412,9.AAAA 提供网站： （一）析因子法（一）析因子法2211231 2232315231 9xDx 例：计算例：计算 解：由行列式解：由行列式 定义知为定义知为 的的4次多项式次多项式xD又，当又，当 时，时，1，2行相同，有行相同，有 ，0D 1x 1x 为为D的根的根当当 时，时，3，4行相同，有行相同，有0,D 2x 2x 为为D的根的根故故 有有4个一次因式个一次因式: :1,1,2,2xxxxD其他技巧其他技巧(1)(1)(2)(2),Da xxxx设设令令 则则 0,x 1 1 2 31 2 2 3122 3 1 52 3 1 9D 1 ( 1) 2 ( 2)12.a 3.a 即，即， 3(1)(1)(2)(2)Dxxxx 提供网站： （二）箭形行列式（二）箭形行列式0121112200,0,1,2,3.0000nninnabbbcaDaincaca 解：把所有的第解：把所有的第 列列 的的 倍加到倍加到(1, )in iica 1i 第第1列，得：列，得： 11201()niinniibcDa aaaa 可转为箭形行列式的行列式：可转为箭形行列式的行列式：121111111),0,1,2,3.111inaaaina 122),0,1,2,3.inaxxx axainxxa （把第（把第i 行分别减去第行分别减去第1行，行， 即可转为箭形行列式）即可转为箭形行列式）（三）行（列）和相等的行列式（三）行（列）和相等的行列式1)a bbb abDba 12(1)(1)(1)nanb bbanb abcccanb ba 解：解：D 11(1)1bbabanbba 1100(1)2,3,00ibbrrabanbinab 1()(1)nabanb 12 3123 412)11321 221nnnDnnnnnnn 1 2 311 3 41(1)211321 1 221nnnn nDnnnnn 解解11221123101111(1)2011110 1111nnnnrrrrrrnnnn nnn 1111 1(1)111121111nnn nnn 111111(1)002,31200innrrn nnninnn 11211111(1)0002000nnnn nncccn (1)(1)22(1)( 1)( 1)()2nnnn nn (1)12(1)( 1)2n nnnn （四）升级法（加边法）（四）升级法（加边法）1121221 212,0nnnnnnabaaaabaDb bbaaab 121121221211000nnnnnnnaaaabaaDaabaaaab 解：解：1)121121100(2,31)1 001 00ninaaabrr inbb 1 21(1).niniiab bbb 11111100(1,21)00niniiiinaaabcbcinbb 2112122122212111nnnnnnxx xx xx xxx xDx xx xx 练习练习1、计算行列式、计算行列式12212112122221211010101nnnnnnnnxxxx xx xxDx xxx xx xx xx 解解12112111000101,2,001nii innxxxxrx rxinx 221211111100000101,2,0001nniinxxxxxcx cin 2211nxx121212121200,00nnnnnnaaaaaaaaDa aaaaaa练习练习2、计算行列式、计算行列式21121122121000000nnnnnnaaaaaaaDaaaaaaaa 解解12111122211112,311ninnnnaaaaaarraaainaaa 121111222221000001111nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 12112212101110112001020(3,42)1002ninnnaaaaaaacc inaa 1221(3,42)21(1,2)2ijjcc inccjna 121221111112211122002000002000002ininnnanaaaaaaa 111122( 2)1122nininaaana 2212,1( 2)(2)nnini jjaa aana （五）（五）递推公式法递推公式法0001000100.0000001nabababababDababab 112c()nnnDab DabD按按 展开展开解解211221()()nnnnnDaDb DaDbDaD 211221()()nnnnnDbDa DbDaDbD 22221();nnnnDaDbaabbaabb 22221().nnnnDbDaaabbaaba 11(1)nnnnababDabnaab 由以上两式解得由以上两式解得 2221,DaabbDab而而行列式的值求出行列式的值求出 的值）的值）D（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线形（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（关系式，再用递推关系及某些低阶（2 2阶，阶，1 1阶）阶）（六）拆项法（六）拆项法（主对角线上、下元素相同主对角线上、下元素相同）121)nnaxaaaaxaDaaax 1210000000nnxaxax Da 112200nnaxaaaxaaaaxaaaxaDaaa xaaa 解：解：1211nnnnDx xxax D112212,nnnnDx xxaxD 继续下去，可得继续下去，可得 111221231nnnnnnnDaxxax xxxax xxxx 1241341321nnnnax x xxax x xxx xx x D 1211221323()nnnnna x xxx xxxx xxx xx1212110(1)nnnniix xxDx xxax , ,当当 时时 212323,nnnnDx xxaxD12nx xx 1100nnaaaxaDaax 1111naaxax 当当 时时也可以用加边法做：也可以用加边法做： 0(1,2)ixin111100niinnaaaxDxax 1211(1)nniix xxax nabbbcabbDccabccca 111()11nnbbbabbcac Dcabcca 000ncbbbac bbbcabbabbDccabcabcccacca 解解练习练习3、计算、计算11000()000nnbbbabcac Dcb abcb cbab 11()()nnc abac D 000nbbbbabcabbcabbDccabccabcccaccca 又又()()nnncb Dc abb ac()()1(1) ()nncbDanb ab ，当当 时时 ()() /nnncbDc abb accb，当当 时时11111()ncabbbab Dccabccca abac（）-()-()，得，得（七）（七） 数学归纳法数学归纳法例、证明：例、证明：12121111111(1)111nninaaDa aaaa 证：当证：当 时，时， ，结论成立，结论成立111111(1)Daaa1n 1211(1)kkkiiDa aaa 假设假设 时结论成立，即，时结论成立，即，nk 1122111101111111011110111 10111 11111111111kkkaaaaaaa 121111111111111 1111111kkkaaDaa 对对 ，将，将 按最后一列拆开，按最后一列拆开，1nk1kD 1211211(1)kkkkiia aaaa aaa 112111(1)kkiia aaa 所以所以 时结论成立，故原命题得证时结论成立，故原命题得证1nk12100 000 0000001111 1kkkaaaDa 121kkka aaaD 证：证：时，时， . . 结论成立结论成立1cosD 1n 11cos10012cos2cos( 1)2cos11 2coskkkkDD 假设假设 时，结论成立时，结论成立nk 当当 时，时， 按第按第 行展开得行展开得1k 1nk1kD cos10012coscos2cos11 2cosnDn 练习练习4 4、证明：、证明： 2coscoscoskk2coscoscoscossinsinkkkcoscossinsinkkcos(1)k 于是于是 时结论亦成立，原命题得证时结论亦成立，原命题得证1nk12coskkDD 由归纳假设由归纳假设 12coscoscos(1)kDkk （八）（八） 范德蒙行列式范德蒙行列式解：考察解：考察阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式1n 1222221211111212111 1( )nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxf xxxxxxxxx 12222122221212111nnnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx 例、计算行列式例、计算行列式121()()()()nijj i nxxxxxxxx 显然显然 就是行列式就是行列式 中元素中元素 的余子式的余子式 ，.1n nM 1nx ( )f xD即即,1,1nn nn nDMA , ,（ 为代数余子式）为代数余子式）,1n nA 又由又由 的表达式及根与系数的关系知，的表达式及根与系数的关系知，( )f x1nx ( )f x中中 的系数为：的系数为： 121()().nijj i nxxxxx 121()()nnijj i nDxxxxx ,1121()()n nnijj i nAxxxxx 即，即， 2221212111nnnnnnxxxDxxx 解：考察解：考察阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式1n 1222221211111212111 1( )nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxg xxxxxxxxx 121()()()()nijj i nxxxxxxxx 练习练习5、计算、计算2,1nM ( )g x显然显然 就是行列式就是行列式 中元素的余子式中元素的余子式 ，即，即nD32,12,1( 1)nnnnDMA 由由 的表达式知，的表达式知， 的系数为：的系数为：( )f xx23121211()()nnnijj i nx xxx xxx xxxx 2 31 21 21( 1) ()()nnnnnijj i nDx xxx xxx xxxx 2,123121211()()nnnnijj i nAx xxx xxx xxxx 即即提供网站： 9 20004 9 2000 4900 09 200 049nD 1112120 0049 20c94920,2049nnnnnDDDD 按按 行行展展 开开解：解：即有即有11254(5),nnnnDDDD于是有于是有 练习、计算练习、计算使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！同理有同理有 212345 (4)nnnnDDDD22215(4)5(6136)5nnnDD1111545445nnnnnnnnnDDDDD 即即 221232154 (5)4(5)nnnnnDDDDDD 24(6145)4 ,nn 提供网站：