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2016高三4月文科数学调考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则集合中元素的个数为 （ ）A BC D2已知为虚数单位，复数满足，则（ ）A B C D3从数字、中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数不大于的概 率为（ ）A B C D4在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形， 则（ ） A B C D5将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，再向右平移个单位， 所得函数图像的一个对称中心为（ ）A B C D6九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人 所得与下三人等问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱， 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（ ）A钱 B钱 C钱 D钱7已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为（ ）A B C D 8设函数的图象与（为常数）的图象关于直线对称，且，则（ ）A B C D9在程序框图中，输入，按程序运行后输出的结果是（ ）A B C D否输出S结束k=k+1否S=S+T是是k是偶数？是否kN ?开始输入Nk=1,S=010设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为（ ）A BC D11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）11122正视图侧视图俯视图 A BC D12已知为常数，函数在内有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13设函数，若，则实数 14已知数列的前项和，正项等比数列中， ，则 15已知半径为的圆是半径为的球的一个截面，若球面上任一点到圆面的距离 的最大值为，则球的表面积为 yQF1F2OxP16如图，椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，且，若，则椭圆的离心率 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，函数，在处取到最大值（）求角的大小；（）若，求的面积18（本小题满分12分）2015年下半年，“豆芽花”发卡突然在全国流行起来，各地随处可见头上遍插“小草”的人群，其形象如右图所示：0406080100分数0.0060.0250.010200.003对这种头上长“草”的呆萌造型，大家褒贬不一为了了解人们是否喜欢这种造型，随机从人群中选取人进行调查，每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分按规定，如果被调查者的打分超过分，那么被调查者属于喜欢这种造型的人；否则，属于不喜欢这种造型的人将收集的分数分成 0,20，(20,40，(40,60，(60,80，(80,100 五组，并作出如下频率分布直方图： （）根据频率分布直方图，计算被调查者中不喜欢这种造型的人数，并估计打分的平均值；（）为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据位被调查者的情况制作的关联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关?喜欢头上长“草”的造型不喜欢头上长“草”的造型合计喜欢动画片不喜欢动画片合计0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，19（本小题满分12分）如图，四边形是菱形，平面,，点为的中点（）求证：平面；（）求点到平面的距离FEBAPDC20（本小题满分12分）如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线,分别与圆交于,两点（）若,，求的面积；（）若直线过点，证明：为定值，并求此定值yAMNOx21（本小题满分12分）已知函数 （）当时，求曲线在点处的切线方程； （）当时，证明：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点,，交的延长线于点,交于点（）求证：是圆的切线；（）若，求的值23(本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （）求直线与曲线的直角坐标方程； （）在曲线上求一点，使它到直线的距离最短24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数（）若不等式有解，求实数的取值范围；（）若，且，证明： 2016年高三适应性考试调考试卷数学答案（文科）一、 BBDBD DBACA CC二、 13 14 15 1617解析：（） . 3分 又，则有， .5分 所以当，即时，函数取到最大值， 所以； . 6分（）由余弦定理知：， 即 ，解得：， . 9分 所以 .12分18解析：（）由频率分布直方图可得，不喜欢这种造型的被调查者共有 人， . 3分 打分的平均值为： ； . 6分（）如表：喜欢头上长“草”的造型不喜欢头上长“草”的造型合计喜欢动画片30939不喜欢动画片5611合计351550， . 9分所以有以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关 . 12分19解析：（）连接，取的中点，连接.G 因为点为的中点，所以且， 又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，.1分 因为四边形是菱形，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以，即有， . 3分 又平面，平面，所以，即有，.5分 又，平面， 所以平面； .6分（）因为， 所以， .7分 ， .9分 又， 所以， 设点到平面的距离为，则， .11分 又，所以， .12分20解析：（）由题知，所以，为圆的直径， 的方程为，直线的方程为，所以圆心到直线的距离， .2分 所以，由中位线定理知， .4分； .5分（）设、， 当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程中有： ，整理得：， 则有， .8分 ； .10分 当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入圆的方程可得：，；.11分 综合可得：为定值，此定值为 .12分21解析：（）当，时， 所以所以， .2分 所以曲线在点处的切线方程为， 即 .4分（）证法一：当，时， 要证明，只需证明 以下给出三种思路证明. 思路1：设，则 设，则， 所以函数在上单调递增 因为， 所以函数在上有唯一零点，且 因为，所以，即 当时，；当时， 所以当时，取得最小值 故 综上可知，当时， .12分思路2：先证明设，则 因为当时，当时， 所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增 所以 所以（当且仅当时取等号） 所以要证明， 只需证明，即证明 下面证明 设，则 当时，当时， 所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增 所以 所以（当且仅当时取等号） 由于取等号的条件不同，所以 综上可知，当时，思路3：先证明 因为曲线与曲线的图像关于直线对称，设直线与曲线，分别交于点，点 ，到直线的距离分别为， 则 其中， 设，则 因为，所以 所以在上单调递增，则 所以 设，则 因为当时，；当时， 所以当时，单调递减；当时，单调递增 所以所以 所以 综上可知，当时，22解析：（）连接，可得， .3分 又，又为半径，是圆的切线； .5分（）过作于点，连接，则有， .7分 设，则， .8分 由可得，又由， 可得 .10分23解析：（）由，可得， .1分 所以曲线的普通方程为（或）， .3分因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为； .5分（）因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点， .7分所以点到直线的距离为， .8分因为，所以当时， .9分此时点的坐标为 .10分24解析：（）因为， 当且仅当时等号成立，所以，解得； .5分（）证明：要证，即证，只需证，即证，又，所以，所以， 故原不等式成立 .10分1答案：B解析：集合，为奇数集，则，故选B2答案：B解析：因为，故选B3答案：D解析：从数字、中任取两个不同的数字构成一个两位数，有共种，则这个两位数不大于的有共种，因此概率，故选D4答案：B解析：因为，所以，故选B5答案：D解析：函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，解析式变为：，再向右平移个单位，解析式变为，刚好是图像的一个对称中心，故选D6答案：D解析：设等差数列的首项为，公差为，因为，所以有，解得：，故选D7答案：B解析：因为，解得，所以，则，不妨设，又，故，所以，解得，故选B8答案：A解析：由可得点在函数的图象上，代入解析式解得，又当时，解得，则点在函数的图像上，点在函数的图象上，故选A9答案：C解析：由于程序中根据的取值，产生的值也不同，故可将程序中的值从小到大，每四个分为一组，即，当为偶数时，；当为偶数，即时，；否则，即时，故可知：每组的4个数中，偶数值乘以累加至，但两个奇数对应的值相互抵消，即，故选C10答案：A解析：不等式组对应的平面区域是由三条直线,和围成的三角形，三角形的三顶点坐标分别为、由题意可知在点或线段上取最大值，在点或线段上取最小值，于是有或或，解得：，故选A11答案：C解析：由题意可知几何体的形状是组合体右侧是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2；左侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥几何体的表面积为：，故选C12答案：C解析：由已知得在内有两个相异的实根，又，即有在内有两个相异的实根，即函数与的图象有两个交点，在上单调递减，在上单调递增，又时，且,，有，解得：，故选C13答案：解析：（1）当时，由，解得，符合题意；（2）当时，由，解得，不符合题意，故舍去； 综上可得：14答案：解析：，又，数列是以为首项，以为公比的等比数列，15答案：解析：由已知及球的性质可知，球心到截面的距离为，解得：，16答案：解析：由，得：，由椭圆的定义,，知，于是，解得，故由勾股定理得，从而，化简得，故离心率24
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