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浦东新区2015学年第二学期高三教学质量检测数学试卷（文理合卷）一、填空题1已知全集,若集合，则 . 2已知复数满足，其中为虚数单位，则 . 3双曲线的焦距为 . 4已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数 . 5方程的解为 . 6已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为 . 7在中，边所对角分别为，若，则的形状为 . 8（理）在极坐标系中，点到直线的距离为_ （文）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 9（理）离散型随机变量的概率分布列如图，若，则的值为_ （文）设满足约束条件 ，则目标函数的最大值为_ 10已知四面体中，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则=_ 11设分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量，则与的夹角为锐角的概率是_12. （理）已知数列的通项公式为，则这个数列的前项和_ （文）已知数列的通项公式为，则这个数列的前项和_ 13（理）任意实数，定义，设函数.数列是公比大于的等比数列，且，则_ （文）已知函数，数列是公比大于的等比数列，且，则_ 14（理）关于的方程在上解的个数是 （文）关于的方程在上解的个数是 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得 5分，否则一律得零分.15. “”是“不等式成立”的（ ）（A）充分非必要条件. （B）必要非充分条件.（C）充要条件. （D）既非充分亦非必要条件.16.给出下列命题，其中正确的命题为( )（A）若直线和共面，直线和共面，则和共面；（B）直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；（C）直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；（D）异面直线、不垂直，则过的任何平面与都不垂直.17抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（）（A） （B） （C） （D）18.已知平面直角坐标系中两个定点，如果对于常数，在函数的图像上有且只有个不同的点，使得成立，那么的取值范围是( ) （A） （B） （C） （D）三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤19（本题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点为的中点，.（1）证明：平面；（2）若点为母线的中点，求与平面所成的角.（结果用反三角函数表示）20. （本题满分14分，第（1）题8分，第（2）题6分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务.（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（精确到0.1）（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角是多少？（用反三角函数表示）21（理）（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）数列满足：，且成等差数列，其中。（1）求实数的值及数列的通项公式；（2）若不等式成立的自然数恰有个，求正整数的值21（文）（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）数列满足：，且成等差数列，其中。（1）求实数的值及数列的通项公式；（2）若不等式成立的自然数恰有3个，求正整数的值22（理）（满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为。我们将其结论推广：椭圆（）上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用。已知，直线与椭圆：（）有且只有一个公共点。AOBMxy（1）求的值；（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点。当变化时，求面积的最大值；（3）在（2）的条件下，经过点作直线与该椭圆交于、两点，在线段上存在点，使成立，试问：点是否在直线上，请说明理由。22（文）（满分16分，第1小题4分，第2小题中的第小题6分，第小题6分）AOBMxy教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为。我们将其结论推广：椭圆（）上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用。已知，直线与椭圆：（）有且只有一个公共点。（1）求的值；（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点。设，直线、的斜率分别为、，求证：为定值。设，求面积的最大值。23.（理）（满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”。注：。（1）证明函数在上是“绝对差有界函数”。（2）证明函数不是上的“绝对差有界函数”。（3）记集合证明集合中的任意函数为“绝对差有界函数”，并判断是否在集合中，如果在，请证明并求的最小值；如果不在，请说明理由。23.（文）（满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”。注：。（1） 证明函数在上是“绝对差有界函数”。（2） 记集合证明集合中的任意函数为“绝对差有界函数”。当时，判断是否在集合中，如果在，请证明并求的最小值；如果不在，请说明理由。 （3） 证明函数不是上的“绝对差有界函数”。浦东新区2015学年第二学期高三教学质量检测数学试卷答案及评分细则（文理合卷）1 2 3 4 5 6 7等腰或直角三角形 8（理） （文）18 9（理） （文）10 或 11 12. （理） （文）13（理） （文） 14（理） （文） 15. A 16. D 17 B 18. C 19（1）证明：在圆锥中，（2分）点为的中点，（4分）由平面（6分）（2）解：联结，平面为与平面所成的角（8分）设，则，在中，（11分）（12分）20. 解：（1）设分别是A、B、C所对的边， 均为正数。由题意可知：，（3分）由余弦定理可得： 由得， （另一解与题意不符，舍 不舍扣1分）（4分）即B、C两处垃圾的距离是1.4米。（1分）（2）由题意得：（1分）正弦定理可得：即，（3分）由题意，为锐角，得（1分）即，智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角（1分） （、均给分，应用余弦定理或建立坐标系等解法参照给分）21（理）解答：（1）由题意：成等差数列，（2分）解得：（3分），,（5分）解得：（6分）（2）解： ，显然成立（8分）当时，（9分）设（11分）当时，；当时，；，有若还需有2解，则，即，（12分）解得，所以正整数（14分）21（文）解答：（1）由题意：成等差数列，（2分）解得：（3分），,（5分）解得：（6分）（2）解： ，显然成立（8分）当时，（9分）设（11分）当时，；当时，；，有若还需有1解，则，即，（12分）解得，所以正整数的值为3（14分）22（理）解：（1）联立整理得依题意即（4分）（2）设、于是直线、的方程分别为、将代入、的方程得且所以直线的方程为（6分）联立显然，由是该方程的两个实根，有，（8分）面积的绝对值，即即当时，取得最大值（10分）（3）点在直线上（11分）因为设、，且（）于是即、又，（13分），（15分），即在直线上。（16分）22（文）解：（1）联立整理得依题意即（4分）（2）设、于是直线、的方程分别为、将代入、的方程得且所以直线的方程为（7分），所以为定值（10分）依题意联立显然，由是该方程的两个实根，有，（12分）面积的绝对值，即（14分）即当时，取得最大值（16分）23.（理）解：（1）因为在区间上为单调递增函数，（2分）所以当时，有，所以。从而对区间的任意划分：，存在，成立。综上，函数在上是“绝对差有界函数”。（4分）（2）取区间的一个划分：，（6分）则有：所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分：满足。（10分）（3）证明：任取，存在常数有成立。从而对区间的任意划分：，和式成立。取，所以集合中的任意函数为“绝对差有界函数”。（14分）因为，所以对任意的有，所以的最小值为。（18分）23.（文）解：（1）因为在区间上为单调递增函数，（2分）所以当时，有，所以。从而对区间的任意划分：，存在，成立。综上，函数在上是“绝对差有界函数”。（4分）（2）证明：任取，存在常数有成立。从而对区间的任意划分：，和式成立。取，所以集合中的任意函数为“绝对差有界函数”。（8分）对于任意的，。所以的最小值为。（12分）（3）取区间的一个划分：，（14分）则有：所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分：满足。所以函数不是的“绝对差有界函数”。（18分）20
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