报童__数学建模

报童卖报国贸系报关班：王曦法学系行政法务一班：何国泽一、问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进 价为b,零售价为a,退回价为c,假设abc。即报童售出一份报纸赚a-b ,退回一份赔 b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹 划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握 了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为r份的概率是 f(r)(r=0,1,2)有了 f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。三、模型建立：假设每天贝进量是n份，需求量是随机的，r可以小于，等于或大于n,，所以报童 每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期 立报(月，年)的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期 望值，简称平均收入。记报童每天购进n份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量rn,则r份将全部售出。需求量为r的概率是f(r),则问题归结为在f r,a,b, c已知时，求n是G(n)最大。四、模型求解：购进量n都相当大，将r视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)计算人dG八阳dGn0 倚2acnpn b c p r dr a b p r drdndn0nnp r dr得到0 Lp r drn 应满足上式p r dr 1使报童日平均收入达到最大的购进量为p r dr根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则且P2 b c0nr因为当购进n份报纸时，P1nprdr是需求量r不超过n的概率；0P2p r dr是需求量r超过n的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份n数n应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b与退回一份赔的钱b-c之比。五、结论：当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比约大时，报童购进的份数就应该越多。六、练习：利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为元，售出价为1元，退回价为元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入 最高，最高收入是多少？当a=1, b=, c=时 需求量r服从r N (500,502)分布。旦 里3 1 0.755对应的正态分布表得到对应概率为P2 b c 0.75 0.6 3所以购进量为500 5 312.58当 rn 时最高收入为 1 0.75 312.50.75 0.6500 312.50.9515 47.6