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2015年南平市普通高中毕业班质量检查理科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题），第卷第21题为选考题，其他题为必考题本试卷共5页满分150分考试时间120分钟注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效3选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚4做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑5保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回参考公式：第卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知R，i为虚数单位，且 i，则i的值为A2 B-2i C-4 D2i 2已知直线与圆 相交两点，则A B C D3等比数列的各项均为正数，且，则+=A10 B 8 C 6 D 44当为锐角时，“”是“”的 第6题图A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5已知向量，. 若，则实数的值为 A B C3 D 6如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是A4B2 C1 D37右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A B 12正视图12侧视图俯视图22第7题图CD8已知为坐标原点，点的坐标是，点在不等式组所确定的平面区域内（包括边界）运动，则的取值范围是A B C D9已知P是抛物线上的一个动点，则P到直线：和：的距离之和的最小值是A1 B2 C3 D410已知，函数有两个极值点，则方程的实根个数A4 B3 C2 D0 第卷（非选择题共100分）ABCD第11题图二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置11为估计图中阴影部分的面积，现采用随机模拟的方法，从边长为1的正方形中产生200个点，经统计，其中落入阴影部分的点共有134个，则估计阴影部分的面积是_12已知是第三象限角，则=_13展开式中的系数是_14已知，则的最小值为_15若实数成等差数列，点在动直线上的射影为点，已知点，则线段长度的最大值与最小值的和为_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本题满分13分）已知函数，() 求函数的单调递增区间；() 在中，角所对边的长分别是，若，求的面积17（本题满分13分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球() 求取出的4个球均为黑球的概率；() 求取出的4个球中恰有1个红球的概率；() 设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望第18题图18（本题满分13分）如图，在四面体P-ABC中，PA面ACB，BCAC，M是PA的中点，E是BM的中点，AC=2，PA=4，F是线段PC上的点，且EF面ACB() 求证：；() 求；() 若异面直线EF与CA所成角为45，求EF与面PAB所成角的正弦值.19（本题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，点在椭圆上.() 求椭圆的方程；() 过的右焦点作两条垂直的弦，设的中点分别为，证明：直线必过定点，并求此定点.20（本题满分14分）已知函数（是自然对数的底数，=2.71828）的图像在处的切线方程为.() 求的值；() 若，求函数的单调区间；() 若正项数列满足，证明：数列是递减数列.21本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分如果多做，则按所做的前两题记分作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中（1）（本小题满分7分）选修42：矩阵与变换已知矩阵，若向量在矩阵M的变换下得到向量.() 求矩阵M；() 设矩阵，求直线在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线C的方程.（2）（本小题满分7分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，曲线：，（为参数）.() 求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；() 求曲线上的点到曲线上的点的最小距离.（3）（本小题满分7分）选修45：不等式选讲已知函数.() 解不等式1；() 若恒成立，求实数的取值范围.2015年南平市普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考答案及评分标准说明：1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分 1B； 2B； 3A； 4C； 5D； 6D； 7A； 8C； 9C ； 10B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分11； 127； 13135； 14； 1510.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16本题满分13分解：()，) 1分. 3分由，解得. 5分 函数的单调递增区间是.6分()在中，解得.8分 又，. 9分依据正弦定理，有.10分. 11分 . 13分17本题满分13分解：（）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立， , . 2分取出的4个球均为黑球的概率为 3分（）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且,5分所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为. 6分（）设可能的取值为0,1,2,3.由（）、（）得, ,.,10分 的分布列为0123P 11分 的数学期望 13分18本题满分13分解：（），1分又，2分而3分（）解法一：如图以C为原点，CA、CB所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则、4分设，,可得，, 则5分因为是的一个法向量，6分 即7分 () 解法一：由（）知， 8分解得9分 由此，,又、,设面PAB的一个法向量为由 可得11分 即，可取12分EF与面PAB所成角的正弦值：13分（）解法二：如图以A为原点，过A且与CB平行的直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，则、4分设,可得：, 则 5分因为是的一个法向量，6分 即7分() 解法二：由（）知， 8分解得 9分 由此，又、,设面PAB的一个法向量为由 可得，11分 即， 可取12分EF与面PAB所成角的正弦值13分（）解法三：取MA中点G，连结EG，FG，E是MB中点，EG是MAB的中位线4分而EG面ABC5分又EF面ABC,面EFG面ABC, 而FG面ABC6分FGAC, 7分19本题满分13分解：()由题意可设所求椭圆方程为.则3分解得即椭圆的方程为.5分()由题意得.（1）当弦的斜率均存在时，设的斜率为，则的斜率为.6分令，线段中点.将直线方程代入椭圆方程,并化简得7分则,于是,.因为，所以，将点坐标中的换为，即得点9分 当时，直线的方程为令得，则直线过定点10分 当时，易得直线的方程,也过点11分（2）当弦的斜率不存在时，易知，直线为轴，也过点综上，直线必过定点13分20本题满分14分解：（）由题意得，则，2分解得.3分（）由题意得,.5分（1）当时, 令，并注意到函数的定义域得或，则的增区间是；同理可求的减区间是6分（2）当时, ,则是定义域内的增函数7分（3）当时, 令,并注意到函数的定义域得或，则的增区间是; 同理可求的减区间是8分（）证明: 因为正项数列满足所以,即10分要证数列是递减数列12分设,.，是上的增函数，则，即，故，则数列是递减数列14分21本题满分14分(1) 解：（）由1分得 解得2分3分（）4分 设点是直线上1一点，在矩阵NM的对应变换作用下得到的 点，则 可得5分 ，代入得6分曲线C的方程7分(2) 解：（）由曲线的极坐标方程，得1分 即： 2分曲线的直角坐标方程为,即3分 由曲线的参数方程得的普通方程为：4分（） 表示圆心为，半径的圆，因为圆心到直线的距离6分所以圆上的点到直线的距离的最小值为7分(3) 解：（）可化为：1分即或或3分解得，所以不等式的解集为4分（）恒成立（当时取等号）5分 由，解得或6分即的取值范围是7分20
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