剖析高考压轴题目挖掘压轴命题规律

剖析高考压轴题目，挖掘压轴命题规律1问题的提出对于准备考取名校的高三优秀学生来说，在准确解决高考中低档题目后，攻克高考压轴题就显得尤为重要.这就要求我们老师及时全面的研究各地高考压轴题，思考挖掘题中的命题规律，从而形成一些培养尖子生的方案.笔者研究了2021年安徽理科压轴题后，产生了一些想法，现把想法整理出来，希望对大家理解新课程理念，把握新课程内容，沉着面对新课程下的高考有所帮助.题目2021年安徽卷理科21题设实数c0，整数p1，nN*.1证明：当x-1且x0时，1+xp1+px；2数列an满足a1c1p，an+1=p-1pan+cpa1-pn，证明：anan+1c1p.2剖析典型高考题目，洞察压轴命题规律题目第一问是选修45教材上的例题，证明贝努利Bernouli不等式，第二问那么是应用贝努利不等式结论解决数列问题，表达了高考命题植根于教材又高于教材的特点.2.1第一问解法剖析此题第一问，教材中给出的是数学归纳法证明略.其实还有很多证法，不等式中的实数x和正整数p让我们联想到函数和数列，从而发现其它两种证法.法一令fx=1+xp-1-px，x-1，+，那么fx=p1+xp-1-p=p1+xp-1-1，易知f0=0，所以x-1，0时，fx0，所以x-1，+且x0时，fxf0=0，即1+xp1+px.法二只需证1+px1+xp1时，bpc1p和anan+1.先用数学归纳法证明anc1p，当n=1时显然a1c1p；假设n=k时，不等式akc1p成立.要证ak+1c1p，考虑到ak+1ak=p-1p+cpapk，只需证ak+1akp=p-1p+cpapkp=1+cpapk-1ppcapk，因为apkc，所以cpapk-1p-1p，0-1，0，由贝努利不等式知：ak+1akp1+cpapk-1pp=capk，所以ak+1c1p.再证anan+1，由an+1an=p-1p+cpapnc1p去推anc1p，只需证fx在xc1p，+上单调递增即可.法二设fx=p-1px+cpx1-p，xc1p，+，所以xpc，+，所以fx=p-1p+c1-ppx-p=p-1p1-cxp0，所以fx在xc1p，+上单调递增，即xc1p时，fxfc1p=c1p.所以由a1c1p推出a2=fa1c1p，依次推得a3c1p，anc1p.证明anan+1时同法一.无独有偶，2021年湖北省压轴题也考了与贝努利不等式有关的题目理科21题：m，nN*，1用数学归纳法证明：当x-1时，1+xn1+nx；2对于n6，1-1n+3n1+x，x0.此题与导数内容紧密相连，而且它与数列试题、特别是数列不等式放缩方面的试题颇有渊源，很值得我们挖掘，其实在高等数学泰勒展开式中很容易找到原型：ex=1+x+x22！+xnn！+，当然我们没必要在教学中搬出泰勒展开式，只需要把它的一些特殊情况和变形拓展给学生.3.1掌握不等式ex1+x，x0的证明和直接应用结论可以扩展成：ex1+x当且仅当x=0时取等号.构造函数fx=ex-1-x易证之.在gx0的前提下，对于含指数的exgx形式，可使用结论将其缩小成1+xgx.2021年山东理科压轴题就使用了类似的方法.2021年山东理科22题：函数fx=lnx+kexk为常数，曲线y=fx在点1，f1处的切线与x轴平行.1求k的值；2求fx的单调区间；3设gx=x2+xfx，其中fx为fx的导函数，证明：对任意x0，gx-1前提下对ex1+x两边取自然对数，得ln1+xx当x=0时取等号.两不等式本质上是相通的，合并可得ln1+xxex-1，x-1.2对ln1+xx用x-1代换x得：lnxx-1x0，再用1x代换x整理得到lnx1-1x，x0，有时会使用xlnxx-1，x0的形式.3合并2中公式，即得1-1xlnxx-1x0，起到对lnx的放缩作用.用以上结论，我们易证2021年全国课标卷理21题：函数fx=ex-lnx+m.1设x=0是fx的极值点，求m，并讨论fx的单调性；2当m2时，证明fx0.解法剖析1易求m=1，fx=ex-lnx+1，定义域为-1，+，fx=ex-1x+1，当x0，+时fx=ex-1x+1x+1-1x+1=xx+2x+10，当x-1，0时，ex1，那么fx0.4带有高等数学背景的问题同样也是自主招生命题的热点随着国家对自主招生政策的调整，各地自主招生考试命题比较侧重对于数学的根本思想和解题方法的考查，而不是偏题怪题，重视思维的灵活性与发散性.特别值得注意的是带有高等数学背景的函数、不等式或数列问题也是自主招生考试的热点，2021年华约卷压轴题，也是考查了贝努利不等式和ex1+x的应用，只不过是放在一个题目同时考查，难度略高于高考压轴题.2021年自主招生华约卷7题：nN+，xn，求证：n-n1-xnnexx2.证法剖析首先把n-n1-xnnexx2变成n1-xnnexn-x2，由ex联想到ex1+x，直接证明不易证，调整ex=exnn1+xnn，两侧同乘以正数1-xnn，得1-xnnex1-xnn1+xnn=1-x2n2n，当-x2n2-1即x2nn-x2.综上知，n-n1-xnnexx2.证法的成败关键在于ex放缩成exnn1+xnn和贝努利不等式的使用.所用知识都是带有高等数学背景的函数、不等式知识.2021年自主招生政策已经出台，教育部强调考核中笔试为1至2门，由于数学的重要地位，估计数学仍然会在笔试范围之内，老师在高考备考中及时对学生给以内容引领和方法指导，将会有效提高自主招生考试成绩.参考文献【1】洪恩锋，杨家岐.透过背景，衍生结论，巧破难关J.中学数学，20212021高中数学班学员，山东省泰安市优秀教师，泰山教坛英才.在各类省级报刊杂志上发表教育教学论文十余篇.