资源描述
热点专题突破系列(二)三角函数与平面向量的综合应用考点一考点一 三角函数的求值与平面向量的综合三角函数的求值与平面向量的综合【考情分析【考情分析】以平面向量为载体利用诱导公式、同角三角函数关系式、以平面向量为载体利用诱导公式、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数的条件求值问题两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数的条件求值问题, ,是高考的重要考向是高考的重要考向, ,考查学生分析问题、解决问题的能力考查学生分析问题、解决问题的能力. .【典例【典例1 1】(2015(2015海滨模拟海滨模拟) )已知已知m=(sinx, cosx),=(sinx, cosx),n=(sinx,sinx=(sinx,sinx),), f(x f(x)=)=mn. .(1)(1)求求 的值的值. .(2)(2)当当x0, x0, 时时, ,求函数求函数f(xf(x) )的最大值与最小值的最大值与最小值. .3f()122【解题提示【解题提示】(1)(1)利用向量的坐标计算两向量的数量积利用向量的坐标计算两向量的数量积, ,从而得从而得f(xf(x),),把把x= x= 代入可得代入可得. .(2)(2)利用利用x x的范围确定角的范围的范围确定角的范围, ,从而得三角函数的最大值与最小值从而得三角函数的最大值与最小值. .12【规范解答【规范解答】(1)(1)由已知得由已知得. .f(xf(x)=)=mn=(sinx, cosx)=(sinx, cosx)(sinx,sinx(sinx,sinx) )=sin=sin2 2x+ cosxsinx=x+ cosxsinx= sin2x- = sin2x- cos2x+ cos2x+ =sin(2x- )+ .=sin(2x- )+ .故故331 cos 2x3sin 2x2212321261211f()sin(2).1212622(2)(2)当当x0, x0, 时时, ,故当故当2x- = 2x- = , ,即即x= x= 时时,f(x),f(x)maxmax=1+ = =1+ = , ,当当2x- =- 2x- =- , ,即即x=0 x=0时时, ,f(x)f(x)minmin=sin(- )+ =- + =sin(- )+ =- + =0.=0.252x,666 1226326661212123【规律方法【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤平面向量在三角函数求值中的应用步骤(1)(1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出, ,把把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式. .(2)(2)利用三角恒等变换进行条件求值利用三角恒等变换进行条件求值. .【变式训练【变式训练】(2015(2015南京模拟南京模拟) )已知向量已知向量a=(sin,-2)=(sin,-2)与与b=(1,cos)=(1,cos)互相垂直互相垂直, ,其中其中(0, ).(0, ).(1)(1)求求cos,sincos,sin的值的值. .(2)(2)若若5cos(-5cos(-)=3 cos)=3 cos,0,0 ,0),cosx)(0),若若f(x)=f(x)=ab, ,且且f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为.(1)(1)求求的值的值. .(2)(2)试述由试述由y=sinxy=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到f(xf(x) )的图象的图象. .(3)(3)求求y=f(xy=f(x) )的值域的值域. .2【解析【解析】(1)f(x)=(1)f(x)=ab=sin(-x)cosx+sin( -x)cosx=sin(-x)cosx+sin( -x)cosx=sinxcosx+cos=sinxcosx+cos2 2x= sin2x+x= sin2x+所以所以 =,=,即即=1.=1.2121cos 2 x21sin(2 x),2242 22(2)(2)由由(1),(1),得得f(xf(x)= )= 首先把首先把y=sinxy=sinx的图象向左平移的图象向左平移 个单位个单位, ,得得y=sin(xy=sin(x+ )+ )的图象的图象; ;其次把其次把y=sin(xy=sin(x+ )+ )的图象纵坐标的图象纵坐标不变不变, ,横坐标变为原来的横坐标变为原来的 倍倍, ,得得y=sin(2x+ )y=sin(2x+ )的图象的图象; ;然后把然后把y=y=sin(2x+ )sin(2x+ )的横坐标不变的横坐标不变, ,纵坐标变为原来的纵坐标变为原来的 倍倍, ,得得y= y= 的图象的图象; ;最后最后, ,把把y= y= 的图象向上平移的图象向上平移 个单位个单位, ,得得f(xf(x)=)= 的图象的图象. .21sin(2x).2424441244222sin(2x)242sin(2x)2421sin(2x)24212(3)(3)因为因为f(x)f(x)minmin= f(x)= f(x)maxmax= =所以所以f(xf(x) )的值域是的值域是21,2221,222121,.2222考点三考点三 平面向量在三角形计算中的应用平面向量在三角形计算中的应用【考情分析【考情分析】以平面向量的线性运算、数量积为载体考查三角形中正、以平面向量的线性运算、数量积为载体考查三角形中正、余弦定理的应用及简单的三角恒等变换余弦定理的应用及简单的三角恒等变换, ,主要解决三角形中求边、求主要解决三角形中求边、求角及求三角形面积等角及求三角形面积等. .考查分析问题考查分析问题, ,解决问题的能力解决问题的能力. .【典例【典例3 3】(2015(2015台州模拟台州模拟) )在在ABCABC中中, ,三内角三内角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c, ,已知已知sinCsinC=2sin(B+C)cosB.=2sin(B+C)cosB.(1)(1)判断判断ABCABC的形状的形状. .(2)(2)设向量设向量m=(a+c,b),=(a+c,b),n=(b+a,c=(b+a,c-a),-a),若若mn, ,求求A.A.【解题提示【解题提示】(1)(1)利用利用A+B+C=A+B+C=转化角后去掉角转化角后去掉角C,C,得角得角A,BA,B的关系的关系, ,可可判断判断. .(2)(2)利用已知转化边的关系利用已知转化边的关系, ,利用余弦定理可解利用余弦定理可解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)在在ABCABC中中, ,因为因为sinC=sin(A+BsinC=sin(A+B),),sinA=sin(B+CsinA=sin(B+C),),故故sinC=sin(A+BsinC=sin(A+B)=2sin(B+C)cosB=2sinAcosB,)=2sin(B+C)cosB=2sinAcosB,所以所以sinAcosB+cosAsinBsinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB.=2sinAcosB.即即sinAcosB-cosAsinBsinAcosB-cosAsinB=0,=0,即即sin(Asin(A-B)=0.-B)=0.又因为又因为-A-B,-A-B,所以所以A-B=0A-B=0即即A=B.A=B.故故ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. .(2)(2)由由mnmn得得(a+c)(c-a)=b(b+a(a+c)(c-a)=b(b+a),),即即b b2 2+a+a2 2-c-c2 2+ab=0,+ab=0,即即b b2 2+a+a2 2-c-c2 2=-ab=-ab, ,从而从而cosCcosC= = 又又0C,0C0,0,所以所以C C是锐角是锐角. .所以所以cosCcosC= .= .(2)(2)因为因为 所以所以abcosCabcosC= ,= ,解得解得abab=20.=20.又因为又因为a+ba+b=9,=9,所以所以a a2 2+b+b2 2=41.=41.所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC=36,-2abcosC=36,所以所以c=6.c=6.7sin C3 7.cos C18185CB CA2 ，52
展开阅读全文