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2.4.2抛物线的几何性质课时目标1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用1抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y22px(p0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是_，抛物线在y轴的_侧，当x的值增大时，|y|也_，抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性：抛物线关于_对称，抛物线的对称轴叫做_(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_抛物线的顶点为_(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的_，用e表示，其值为_(5)抛物线的焦点到其准线的距离为_，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为，焦点到顶点的距离为_2抛物线的焦点弦设抛物线y22px(p0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论(1)以AB为直径的圆与准线_(2)AB_(焦点弦长与中点坐标的关系)(3)ABx1x2_.(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2_，y1y2_.一、填空题1边长为1的等边三角形AOB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线标准方程是_2抛物线y22px (p0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点和准线之间的距离是_3若过抛物线x22py (p0)的焦点且垂直于对称轴的弦长为6，则其焦点坐标是_4若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_5已知F是抛物线C：y24x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则ABF的面积为_6抛物线y22px与直线axy40的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为_7.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为_8已知点Q(4,0)，P为y2x1上任意一点，则PQ的最小值为_二、解答题9设抛物线ymx2 (m0)的准线与直线y1的距离为3，求抛物线的标准方程10.已知抛物线y22px (p0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长度为m，n的两部分求证：为定值能力提升11设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么PF_.12已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若AF4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值1研究抛物线的性质要结合定义，理解参数p的几何意义，注意抛物线的开口方向2解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦，焦半径公式的应用解题时注意整体代入的思想，可以使运算、化简简便3与抛物线有关的最值问题具备定义背景的最值问题，可以转化为几何问题；一般方法是建立目标函数，求函数的最值24.2抛物线的几何性质知识梳理1(1)x0右增大(2)x轴抛物线的轴(3)顶点坐标原点(4)离心率1(5)p2(1)相切(2)2(x0)(3)p(4)p2作业设计1y2x解析易求得A，B的坐标为或，又由题意可设抛物线标准方程为y22px (p0)，将A，B的坐标代入即可求得22解析由抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，故45，p2，此抛物线焦点和准线之间的距离为p2.3.解析易知弦的两端点的坐标分别为，则有2p6，p3.故焦点坐标为.44解析椭圆1的右焦点为(2,0)，即2，得p4.52解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1，y4x2.(y1y2)(y1y2)4(x1x2)x1x2，1.直线AB的方程为y2x2，即yx.将其代入y24x，得A(0,0)，B(4,4)AB4.又F(1,0)到yx的距离为，SABF42.6.解析由已知得抛物线方程为y24x，直线方程为2xy40，抛物线y24x的焦点坐标是F(1,0)，到直线2xy40的距离d.7(1,2)或(1，2)解析 设A（x0,y0）,F(1,0), (x0，y0)，(1x0，y0)，x0(1x0)y4.y4x0，x0x4x040，即x3x040，x01或x04(舍)x01，y02.8.解析设点P(x，y)y2x1，x1.PQ .当x时，PQmin.9解由ymx2 (m0)可化为x2y，其准线方程为y.由题意知2或4，解得m或m.所以所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.10证明若ABx轴，直线AB的方程为x，则A，B，mnp，若AB不与x轴垂直，设直线AB的方程为yk，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则mAFx1，nBFx2.将AB方程代入抛物线方程，得k2x2(k2p2p)x0.x1x2，x1x2，.故为定值11. 8解析如图所示，直线AF的方程为y(x2)，与准线方程x2联立得A(2,4)设P(x0,4)，代入抛物线y28x，得8x048，x06，PFx028.12解由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)分别过A、B作准线的垂线，垂足为A、B.(1)由抛物线的定义可知，AFx1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，消去y，整理得k2x2(2k24)xk20，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k0，并设其两根为x1，x2，则x1x22.由抛物线的定义可知，ABx1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时AB4，所以，AB4，即线段AB的长的最小值为4. 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
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