（全国通用）高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文 新人教A

第第4节节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 1.直线与圆的位置关系 知知 识识 梳梳 理理 设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆心 C(a，b)到直线 l 的距离为 d，由（xa）2（yb）2r2，AxByC0消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为 . 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d0 相切 dr 0 相离 dr 0 2.圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 dRr dRr RrdRr dRr dRr 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 常用结论与微点提醒 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0 xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. (3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0 xy0yr2. 2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解. 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件.( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( ) (4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0 xy0yr2.( ) 诊诊 断断 自自 测测 解析 (1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 答案 B 解析 两圆圆心分别为(2，0)，(2，1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d 421217.32d0)，设条件 p：0r3，条件q：圆 C 上至多有 2 个点到直线 x 3y30 的距离为 1，则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)B (2)C (2)由题意知，圆心 C(1，0)到直线 x 3y30 的距离 d|13|22，至多有 2 点到直线的距离为 1 时，0r3；反之也成立，故选 C. 解析 (1)由题意知 圆心(1，2)到直线 2xy50 的距离 d|2125|2212 5 6且 21(2)50，所以直线与圆相交但不过圆心. 考点二考点二 圆的切线圆的切线、弦长问题弦长问题 【例 2】 (1)(2016 全国卷)设直线 yx2a 与圆 C： x2y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，则圆 C 的面积为_. (2)过点 P(2，4)引圆(x1)2(y1)21 的切线，则切线方程为_. 解析 (1)圆 C：x2y22ay20,即 C:x2(ya)2a22,圆心为 C(0，a)，C 到直线 yx2a 的距离为 d|0a2a|2|a|2.又由|AB|2 3，得2 322|a|22a22，解得 a22，所以圆的面积为 (a22)4. (2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x2， 此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0， 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径， 综上，切线方程为x2或4x3y40. 答案 (1)4 (2)x2或4x3y40 所求切线方程为43xy42430，即 4x3y40. 即 d|k142k|k2（1）2|3k|k211，解得 k43， 规律方法 1.弦长的两种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2 r2d2. 2.圆的切线方程的两种求法 (1)代数法：设切线方程为 yy0k(xx0)，与圆的方程 组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 0 进而求得 k. (2)几何法：设切线方程为 yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d，然后令 dr，进而求出 k. 【训练2】 (1)(2018 合肥测试)过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_. (2)过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为_. 解析 (1)设 P(3，1)，圆心 C(2，2)，则|PC| 2，半径 r2，由题意知最短的弦过P(3，1)且与 PC 垂直，所以最短弦长为 2 22（ 2）22 2. 答案 (1)2 2 (2)4 (2)将圆的方程化为标准方程为(x3)2(y4)25，则圆心为(3，4)，半径长为 5. 由题意可设切线的方程为 ykx，则圆心(3，4)到直线 ykx 的距离等于半径长 5，即|3k4|k21 5，解得 k12或 k112，则切线的方程为 y12x 或 y112x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，45，225，此即为 P，Q 的坐标，由两点间的距离公式得|PQ|4. 考点三考点三 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 【例3】 (2017 郑州调研)已知两圆x2y22x6y10，x2y210 x12ym0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)当m45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211， (x5)2(y6)261m， 所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为 11， 61m， (3)由(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0， 得两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230. (2)当两圆内切时，因为定圆半径 11小于两圆圆心之间的距离 5， 所以 61m 115，解得 m2510 11. 故两圆的公共弦的长为 2（ 11）2|43323|423222 7. (1)当两圆外切时，由 （51）2（63）2 11 61m，得 m2510 11. 规律方法 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. 2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. 【训练 3】 (1)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 (2)(2018 九江模拟)已知圆C1： (xa)2(y2)24与圆C2： (xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值为( ) A.62 B.32 C.94 D.2 3 M(0，2)，r12.又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r21， r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选B. |MN| （10）2（12）2 2，r1r23，r1r21. (2)由圆 C1与圆 C2相外切， 可得 （ab）2（22）2213， 即(ab)29，根据基本不等式可知 abab2294，当且仅当 ab 时等号成立. 解析 (1)圆 M：x2(ya)2a2，圆心坐标为 M(0，a)，半径 r1为 a，圆心 M到直线 xy0 的距离 d|a|2，由几何知识得|a|22( 2)2a2，解得 a2. 答案 (1)B (2)C