2020年九年级数学中考复习专题：胡不归和阿氏圆问题 学案（无答案）

2020年中考复习专题：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2+BCV1的值最小【问题分析】ACV2+BCV1=1V1BC+V1V2AC，记k=V1V2 ，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sinDANk，CHAC=k，CHkAC.将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BHAD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.【模型总结】在求形如“PA+kPB的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.【2019长沙中考】如图，ABC中，ABAC10，tanA=2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是 【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，DAB=60，AB6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+32PD的最小值等于 【2014成都中考】如图，已知抛物线yk8(x+2)(x-4)(k为常数，且k0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y-33x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【2018重庆中考】抛物线y=-66x2-233x+6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PFx轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。(为突出问题，刚去了两个小问)【2019绵阳中考】在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2 (a0)的图象向右平移1个单位，再向下半移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA1经过点A的一次函数ykx+b(k0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，ABD的面积为5.(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+35PA的最小值阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PBk(k1)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆下面给出证明法一:首先了解两个定理(1)角平分线定理:如图，在ABC中，AD是BAC的角半分线，则ABAC=DBDC证明：SABDSACD=BDCD，SABDSACD=ABDEACDF=ABAC，即ABAC=DBDC(2)外角半分线定理:如图，在ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则ABAC=DBDC证明:在BA延长线上取点E使得AEAC，连接BD，则ACDAED(SAS)，CD=DE且AD平分BDE，则DBDE=ABAE，即ABAC=DBDC.接下来开始阿氏圆证明步骤:如图，PA：PB=k，作APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MAMB=PAPB=k，故M点为定点，即APB的角平分线交AB于定点；作APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NANB=PAPB=k，故N点为定点，即APB外角半分线交直线AB于定点；又MPN90，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆。法二:建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A(-m，0)，则B(m，0)，设P(x，y)，PAkPB，即:解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质:（1）PAPB=MAMB=NANB=k应用:根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O(2)OBPOPA，即OBOP=OPOA，变形为OP2OAOB.应用:根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置(3) OPOA=OBOP=PAPB=k应用:已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值练习1:已知A、B求圆轨迹已知在坐标系中，点A(-1，0)，点B(3，0)，P是平面中一点且PA:PB=3:1，求P点轨迹圆圆心位置【分析】既然已经了解的“阿氏圆”的相关内容，不妨直接用上结论.取M(2，0)满足MA:MB3:1，取N(5，0)满足NA:NB3:1，P点轨迹即是以MN为直径，MN中点O为圆心的圆.练习2:已知圆轨迹反求点A或B已知在坐标系中，点A(-1，0)，P是以点A（72，0）为圆心，32长为半径的圆。平面中求一点B使得PA:PB=3:1，求B点坐标.【分析】像这样的问题一般就是“阿氏圆”构图，已知圆与A点，求另外一点B.思路1:构造相似三角形。考虑OP2OAOB，将OP32、OA92代入可得:OB12，故B点坐标为(3，0)思路2:根据“阿氏圆”中的特殊位置当P点运动到M点位置时，有MA:MB3:1，考虑到A(-1，0)、M(2，0)，可得MB1，考虑到A、M、B共线且B点在M点右侧，可得B点坐标为(3，0).补充:这里的圆O与点A及PA:PB的比值都是配套存在的，思路2虽有投机取巧之嫌，却是根据“阿氏圆”定义求出的B点，还好用。那么这个玩意和最值有什么关系呢?比如可以将练习2稍加修改，即可变成最值问题:练习2(改):已知在坐标系中，点A(1，0)，P是以点（72，0）为圆心，32长为半径的圆，Q(2，2)，求PQ+13PA的最小值. 【分析】问题中的PQ暂时不用管，先处理好13PA，考感到P点轨是个圆，且要构造13PA，大胆猜测:平面中存在一点B使得P在圆上任意位置，均满足：PAPB=13，即有PB=13PA.其实就是逆用“阿氏圆”，这样的题目一般就是给出圆与A点位置，求另一点B的位置可转化13PA.点B求法如上练习2，剩下的求量小值就很简单了练习3:关于系数如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆，分別交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA+PB的最小值为 【分析】确定了问题关键是构造“12PA，已知了P点所在的，已知了A点，即在平面中找一点M使得“PM12PA”思路1:构造相似三角形点M与A、C共线，且M点必满足:CP2CMCA，代入CP、CA，即可得:224CM，得:CM=1，即可确定M点位置，12PA+PBPM+PB问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可【问题剖析】（1）这里为什么是12PA?答:因为圆C半径为2，CA4，比值是1:2，CMP与CPA的相似比为1:2所以构造的是12PA，也只能构造12PA（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少?答:根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为23.【练习1】如图，在ABC中，ACB90，BC12，AC9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案【练习2】、如图，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为 【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M，使得此时PM1，则在点P运动的任意时刻，均有PM12PC，从而将同题转化为求PD-PM连接PD，对于PDM， PD-PMDM，故当D、M、P共线时，PD-PMDM为最大值【2019山东日照第22题】如图1，在平面直角坐标系中，直线y-5x+5与x轴、y轴分別交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、MC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2，若P点是半径为2的圆B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.