（全国通用）高考数学大一轮复习 坐标系和参数方程 第2节 参数方程课件 文 新人教A

第第2节节 参数方程参数方程 最新考纲 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 1.曲线的参数方程 知知 识识 梳梳 理理 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的 函数 并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数. xf（t），yg（t）， 2.参数方程与普通方程的互化 通过消去 从参数方程得到普通方程，如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t的关系，例如 xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 yg(t)，那么xf（t），yg（t）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使用 x，y 的取值范围保持一致. 参数 3.常见曲线的参数方程和普通方程 温馨提醒 直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离. 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 yy0tan (xx0) xx0tcos ，yy0tsin (t 为参数) 圆 x2y2r2 xrcos ，yrsin ( 为参数) 椭圆 x2a2y2b21(ab0) xacos ，ybsin ( 为参数) 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)参数方程yf（t），yg（t）中的 x，y 都是参数 t 的函数.( ) (2)过 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos ，yy0tsin (t 为参数).参数t 的几何意义表示： 直线 l 上以定点 M0为起点， 任一点 M(x， y)为终点的有向线段M0M的数量.( ) (3)方程x2cos ，y12sin ( 为参数)表示以点(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆.( ) 诊诊 断断 自自 测测 答案 (1) (2) (3) (4) (4)已知椭圆的参数方程x2cos t，y4sin t(t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t3，点O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3.( ) 解析 消去t，得xy1，即xy10. 答案 xy10 2.(选修 44P26 习题 T4 改编)在平面直角坐标系中，曲线 C：x222t，y122t(t 为参数)的普通方程为_. 解析 由(cos sin )2，得xy2. 答案 (2，4) 又xt2，y2 2t(t 为参数)消去 t，得 y28x. 联立，得x2，y4，即交点坐标为(2，4). 3.在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1的极坐标方程为 (cos sin )2，曲线 C2的参数方程为xt2，y2 2t (t 为参数)，则 C1与 C2交点的直角坐标为_. 解析 圆的普通方程为(x2)2y23，圆心 A(2，0)，半径 r 3. 直线 yb(x4)与圆相切，|2b4b0|b21 3，则 b23，b 3. 因此 tan 3，切线的倾斜角为3或23. 答案 3或23 4.直线 yb(x4)与圆x2 3cos ，y 3sin ( 为参数)相切，则切线的倾斜角为_. 5.(2017 江苏卷)在平面坐标系 xOy 中， 已知直线 l 的参数方程为x8t，yt2(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为x2s2，y2 2s(s 为参数).设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P到直线 l 的距离的最小值. 得l的普通方程为x2y80， 因为点 P 在曲线 C 上，设点 P(2s2，2 2s). 则点 P 到直线 l 的距离 d|2s24 2s8|52（s 2）245， 当 s 2时，d 有最小值454 55. 解 由x8t，yt2(t 为参数)消去 t. 考点一考点一 参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化 【例 1】 已知直线 l 的参数方程为xa2t，y4t(t 为参数)，圆 C 的参数方程为x4cos ，y4sin ( 为参数). (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程； (2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围. 解 (1)直线l的普通方程为2xy2a0， 圆C的普通方程为x2y216. (2)因为直线l与圆C有公共点， 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d|2a|54，解得2 5a2 5. 即实数 a 的取值范围是2 5，2 5. 规律方法 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数. 2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形. 【训练 1】 (2016 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为x112t，y32t(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为xcos ，y2sin ( 为参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长. 将直线 l 的参数方程x112t，y32t(t 为参数)代入 x2y241，得112t232t241， 即 7t216t0，解之得 t10，t2167. 所以|AB|t1t2|167.所以线段 AB 的长为167. 解 椭圆 C 的普通方程为 x2y241. 考点二考点二 参数方程及应用参数方程及应用 【例 21】 (2017 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x3cos ，ysin ( 为参数)，直线 l 的参数方程为xa4t，y1t(t 为参数). (1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. 则 C 与 l 交点坐标是(3，0)和2125，2425. 解 (1)a1时，直线l的普通方程为x4y30. 曲线 C 的标准方程是x29y21， 联立方程x4y30，x29y21，解得x3，y0或x2125，y2425. (2)直线l的普通方程是x4y4a0. 设曲线C上点P(3cos ，sin ). |5sin()4a|的最大值为17. 若a0，则54a17，a8. 若a0，则54a17，a16. 综上，实数a的值为a16或a8. 则 P 到 l 距离 d|3cos 4sin 4a|17|5sin（）4a|17，其中 tan 34. 又点 C 到直线 l 距离的最大值为 17. 【例 22】 (2018 郴州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x2cos ，y22sin ( 为参数)， 直线 l 的参数方程为x122t，y22t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出直线 l 的普通方程以及曲线 C 的极坐标方程； (2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M， N， 直线l与x轴的交点为P， 求|PM| |PN|的值. 消去参数t，得xy10. 利用平方关系，得x2(y2)24，则x2y24y0. 令2x2y2，ysin ，代入得C的极坐标方程为4sin . (2)在直线xy10中，令y0，得点P(1，0). 曲线 C 的参数方程为x2cos ，y22sin ( 为参数)， 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程得 t23 2t10，t1t23 2，t1t21. 由直线参数方程的几何意义，|PM| |PN|t1 t2|1. 解 (1)直线 l 的参数方程为x122t，y22t(t 为参数)， 规律方法 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解. 2.过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为xx0tcos ，yy0tsin (t 为参数)，t 的几何意义是P0P的数量，即|t|表示 P0到 P 的距离，t 有正负之分.对于形如xx0at，yy0bt(t 为参数)，当 a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题. 【训练 2】 (2018 衡水中学质检)已知曲线 C 的参数方程为x2cos ，y2sin ( 为参数)，直线 l 的参数方程为xt2，y2 3t (t 为参数). (1)写出直线 l 与曲线 C 的普通方程； (2)设曲线 C 经过伸缩变换xx，y12y得到曲线 C，过点 F( 3，0)作倾斜角为 60 的直线交曲线 C于 A，B 两点，求|FA| |FB|. 曲线C的普通方程为x2y24. (2)由xx，yy2，得xx，y2y，代入曲线 C，得 x24y24，即x24y21. 则曲线 C的方程为x24y21 表示椭圆. 由题设，直线 AB 的参数为x 3t2，y32t(t 为参数). 将直线 AB 的参数方程代入曲线 C：x24y21.得134t2 3t10， 解 (1)直线 l 的普通方程 2 3xy20. 则 t1 t2413，|FA| |FB|t1|t2|t1 t2|413. 考点三考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用参数方程与极坐标方程的综合应用 【例 31】 (2017 全国卷)在直角坐标系 xOy 中， 直线 l1的参数方程为x2t，ykt(t 为参数)，直线 l2的参数方程为x2m，ymk(m 为参数).设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 l3： (cos sin ) 20，M 为与 C 的交点，求 M 的极径. 化为l1的普通方程yk(x2)， 同理得直线l2的普通方程为x2ky， 联立，消去k，得x2y24(y0). 所以C的普通方程为x2y24(y0). (2)将直线 l3化为普通方程为 xy 2， 联立xy 2，x2y24得x3 22，y22， 2x2y2184245，与 C 的交点 M 的极径为 5. 解 (1)由 l1：x2t，ykt(t 为参数)消去 t， 【例 32】 (2018 河北“五个一”名校联盟二模)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为x 5cos ，ysin ( 为参数).以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos4 2.l 与 C 交于 A，B 两点. (1)求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设点 P(0，2)，求|PA|PB|的值. 所以直线l的直角坐标方程为xy20. 因为直线 l 的极坐标方程为 cos4 2，即 cos sin 2， (2)点 P(0，2)在 l 上，则 l 的参数方程为x22t，y222t(t 为参数)， 代入x25y21 整理得 3t210 2t150， 由题意可得|PA|PB|t1|t2|t1t2|10 23. 解 (1)由曲线 C：x 5cos ，ysin ( 为参数)消去 ，得普通方程x25y21. 规律方法 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的. 【训练 3】 (2016 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为x 3cos ，ysin ( 为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin42 2. (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 因此曲线C2的直角坐标方程为xy40. 又曲线 C2：sin42 2.所以 sin cos 4. (2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cos ，sin ).因为 C2是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2的距离 d()的最小值. d()| 3cos sin 4|2 2sin32 ， 当且仅当 2k6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直角坐标为32，12. 解 (1)曲线 C1的普通方程为x23y21.