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课时提升作业(六十五) 选修4-4 第二节 参数方程一、选择题1.已知直线l:x=t,y=t+1(t为参数),圆C:=2cos,则圆心C到直线l的距离是()(A)2(B)3(C)2(D)12.参数方程x=2cos,y=sin(为参数)和极坐标方程=-6cos所表示的图形分别是()(A)圆和直线(B)直线和直线(C)椭圆和直线(D)椭圆和圆3.(2013惠州模拟)直线x=1+2t,y=2+t(t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长为()(A)125(B)1255(C)955(D)9510二、填空题4.(2012北京高考)直线x=2+t,y=-1-t(t为参数)与曲线x=3cos,y=3sin(为参数)的交点个数为.5.(2012天津高考)已知抛物线的参数方程为x=2pt2,y=2pt(t为参数),其中p0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=.6.(2013咸阳模拟)若直线l的极坐标方程为cos(-4)=32,圆C:x=cos,y=sin(为参数)上的点到直线l的距离为d,则d的最大值为.三、解答题7.已知直线l过点P(1,-33),倾斜角为3,求直线l与直线l:y=x-23的交点Q与点P的距离|PQ|.8.(2013三明模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合.圆C的参数方程为x=1+2cos,y=-1+2sin(为参数),点Q的极坐标为(22,74).(1)化圆C的参数方程为极坐标方程.(2)若点P是圆C上的任意一点,求P,Q两点距离的最小值.9.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=t,y=1+kt(t为参数),以O为原点,Ox轴为极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2=4cos.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.(2)若直线l和曲线C相切,求实数k的值.10.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角=6,(1)写出直线l的参数方程.(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.11.已知某圆的极坐标方程是2-42cos(-4)+6=0,求:(1)圆的普通方程和一个参数方程.(2)圆上所有点(x,y)中xy的最大值和最小值.12.(2012新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是C1:x=2cos,y=3sin(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,3).(1)求点A,B,C,D的直角坐标.(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.答案解析1.【解析】选C.直线l:x=t,y=t+1(t为参数)的普通方程为x-y+1=0,圆C:=2cos的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,则圆心C(1,0)到直线l的距离d=|1-0+1|2=2.2.【解析】选D.参数方程x=2cos,y=sin(为参数)的普通方程为x24+y2=1,表示椭圆.极坐标方程=-6cos的直角坐标方程为(x+3)2+y2=9,表示圆.3.【解析】选B.x=1+2t,y=2+tx=1+5t25,y=2+5t15,把直线代入x2+y2=9,得(1+2t)2+(2+t)2=9,即5t2+8t-4=0,|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=(-85)2+165=125.弦长为5|t1-t2|=1255.4.【解析】方法一:由直线x=2+t,y=-1-t(t为参数)与曲线x=3cos,y=3sin(为参数)的参数方程得(2+t)2+(-1-t)2=9,整理,得t2+3t-2=0,方程有两个不相等的实数根,所以直线与曲线的交点个数有2个.方法二:将直线x=2+t,y=-1-t(t为参数)与曲线x=3cos,y=3sin(为参数)的参数方程分别化为直角坐标方程,得x+y-1=0,x2+y2=9.原点(圆心)到直线的距离为d=12r=1,所以直线与圆相离,所以圆上的点到直线l的距离d的最大值为32+1.答案：32+17.【解析】l过点P(1,-33),倾斜角为3,l的参数方程为x=1+tcos3,y=-33+tsin3(t为参数),即x=1+12t,y=-33+32t(t为参数),代入y=x-23得-33+32t=1+12t-23,解得t=4+23.即t=23+4为直线l与l的交点Q所对应的参数值,根据参数t的几何意义,可知|t|=|PQ|,|PQ|=4+23.8.【解析】(1)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,展开得x2+y2-2x+2y-2=0,化为极坐标方程为2-2cos+2sin-2=0.(2)点Q的直角坐标为(2,-2),且点Q在圆C内,因为|QC|=2,所以P,Q两点距离的最小值为|PQ|=2-2.9.【解析】(1)由x=t,y=1+kt得直线l的普通方程为y=kx+1.由sin2=4cos得2sin2=4cos,y2=4x,曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)把y=kx+1代入y2=4x得k2x2+(2k-4)x+1=0,由=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1.10.【解析】(1)直线的参数方程为x=1+tcos6,y=1+tsin6,(t为参数)即x=1+32t,y=1+12t(t为参数)(2)把直线的参数方程x=1+32t,y=1+12t(t为参数)代入x2+y2=4得(1+32t)2+(1+12t)2=4,t2+(3+1)t-2=0,t1t2=-2,则点P到A,B两点的距离之积为2.11.【解析】(1)由2-42cos(-4)+6=0,得2-42(cos22+sin22)+6=0,普通方程为x2+y2-4x-4y+6=0,即(x-2)2+(y-2)2=2.一个参数方程为x=2+2cos,y=2+2sin.(为参数)(2)xy=(2+2cos)(2+2sin)=4+22(sin+cos)+2sincos令sin+cos=t-2,2得2sincos=t2-1,xy=t2+22t+3=(t+2)2+1,当t=-2时,(xy)min=1,当t=2时,(xy)max=9.12.【解析】(1)因为曲线C2的极坐标方程=2,所以曲线C2是圆心在极点,半径为2的圆,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,3),故B(2,56),由对称性得,直角坐标分别为A(1,3),B(-3,1),C(-1,-3),D(3,-1).(2)由于点P为曲线C1:x=2cos,y=3sin(为参数)上任意一点,得P(2cos,3sin),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=(2cos-1)2+(3sin-3)2+(2cos+3)2+(3sin-1)2+(2cos+1)2+(3sin+3)2+(2cos-3)2+(3sin+1)2=16cos2+36sin2+16=32+20sin2因为3232+20sin252,所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围是32,52.- 5 -
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