经典题集 七年级数学 寒假讲义 相交线与平行线 实数

七年级数学 寒假教材 第五章 相交线与平行线 第1课 相交线 邻补角：一条边公共，另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。 注意：邻补角是补角的一种特殊情况，数量上互补，位置上有一条公共边，而互补的角与位置无关。 对顶角：有公共的顶点，两边互为反向延长线。具有这种位置关系的角，互为对顶角。 注意：对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。 两直线相交，有4对邻补角；2对对顶角 对顶角的性质：对顶角相等 垂线：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 注意：①两条直线相交所成的四个角相等; ②两条直线相交,有一组邻补角相等; ③两条直线相交,对顶角互补.都可以判断这两条直线互相垂直 垂线的性质：性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“过一点”中的“点”在直线上或在直线外。 垂线的性质：性质2 垂线段最短. 画出PA在摆动过程中的几个位置，如图，点A1、A2、A3……在l上,连接PA1、PA2、PA3……，PO⊥ l，垂足为O，用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……的长短，可知垂线段PO最短。 点到直线的距离：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，PO就是点P到直线l的距离。 注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离。 垂线的画法： 画已知线段或射线的垂线： （1）垂足在线段或射线上；（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上 例1.下图中直线AB、CD相交于O，∠BOC的对顶角是 ，邻补角是 例2.一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，而补角则可以有 个。 例3.判断正确与错误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正. (1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离. (2)如图,线段AE是点A到直线BC的距离. (3)如图,线段CD的长是点C到直线AB的距离. （4）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离； （5）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； （6）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直； （7）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。 例4.如图，过钝角顶点B作AB、BC、CA的垂线，分别交于AC于D、E、F，并指出所画三条垂线的垂足。 例5.如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，MN分别是位于公路AB两侧的村庄。 （1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置； （2）当汽车从A出发向B行驶时，在哪一个位置到村庄M、N的路程之和最短？请在图中标出这个位置。 例6.已知：如图，直线a、b、c两两相交，∠1=2∠3，∠2=860，求∠4的度数． 例7.如图，直线AB、CD相交于点0,OD平分∠BOF,EO⊥CD于O,∠EOF=1180,求∠COA的度数。 例8.如图,O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，求证：OD⊥OE. 例9.已知,如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD:∠DOE=4:1,求∠AOF的度数． 课堂练习： 1.判断正误 (1)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． ( )． (2)如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角． ( )． (3)有一条公共边的两个角是邻补角． ( )． (4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角． ( )． (5)对顶角的角平分线在同一直线上． ( )． (6)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角． ( )． 2.如图所示，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是( )． A.∠1=900，∠2=300，∠3=∠4=600； B.∠1=∠3=900，∠2=∠4=30 C.∠1=∠3=900，∠2=∠4=60 D.∠1=∠3=900，∠2=600，∠4=30 3.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( ) 4.在两条直线相交所成的四个角中，( )不能判定这两条直线垂直 A.对顶角互补 B.四对邻补角 C.三个角等 D.邻补角相等 5.互为邻补角的角平分线关系是 . ( ) A.互相垂直 B.相交而不垂直 C.成一条直线 D.以上都有可能 6.直线a、b、c相交于点O，则图中对顶角共有( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 7.下列说法正确的是( ) A.相等的角是对顶角 B.一个角的邻补角只有一个 C.补角即为邻补角 D.对顶角的平分线在一条直线上 8.如图,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236,则∠AOC的度数为( ) A.62 B.118 C.72 D.59 9.点到直线的距离是指 .( ) A.直线外一点与这条直线上一点所连结的线段 B.直线外一点与这条直线上任一点所连结的线段的长度 C.直线外一点到这条直线的垂线段 D.直线外一点到这条直线的垂线段长度 10.如图所示,下列说法不正确的是( )毛 A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段 11.如图，在三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，则下列关系不成立的是( ) 　　A．AB>AC>AD 　 　B．AB>BC>CD 　 　C．AC+BC>AB 　 　D．AC>CD>BC 12.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( ) A.4cm B.2cm C.小于2cm D.不大于2cm 13.如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE=90， ①∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互为______角；∠2和∠3互为______角；∠1和∠3互为______角；∠2和∠4互为______角． ②若∠1＝20，那么∠2＝______；∠3＝∠BOE－∠______=______-______=______； ∠4＝∠______-∠1＝______-______=______. 14.如图，直线AB与CD相交于O点，且∠COE=90，则 ①与∠BOD互补的角有________________________________________； ②与∠BOD互余的角有________________________________________； ③与∠EOA互余的角有________________________________________； ④若∠BOD=42017′，则∠AOD＝______；∠EOD＝_____；∠AOE＝_____. 15.如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠AOD的对顶角是 ,∠AOC的邻补角是 若∠AOC=50,则∠BOD= ,∠COB= . 16.如图，AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O，且∠3＝260，则∠1＝ . 17.如图，线段 的长度表示点D到直线BC的距离，线段 的长度表示点B到直线CD的距离，线段 的长度表示点A、B之间的距离。 18.如图, ∠1和∠2互为余角,EF⊥AB，则∠1= ；∠2= . 19.如图，直线AB、CD、EF相交于O点，则∠AOC= ，∠COE= ，∠AOC的邻补角是 . 20.直线AB、CD相交于点O， ⑴如果∠AOC+∠BOD=1000，那么∠AOD= ；⑵如果∠B0C比∠AOC的2倍大300，那么∠AOC= . 21.直线AB、CD、EF相交于点O，⑴∠BOE的邻补角是___________；⑵∠DOA的对顶角是___________；⑶如果∠AOC=500，那么∠BOD= ，∠COB= . 22.如图，∠AOB是直角，C、O、D三点共线，∠AOC=25，则∠AOC的余角的补角为 . 23.下列说法：①一条直线有且只有一条垂线；②画出点P到直线l的距离；③两条直线相交就是垂直；④线段和射线也有垂线，其中正确的有 . 24.三角形ABC中，∠C=900，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，那么点B到直线 AC的距离是___________， A、B两点的距离是________. 25.如图，已知，，试说明. 证明：∵，， ∴( ) ∴ ==________. 26.按要求画图： (1）如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B． (图a) (图b) (图c) (2)如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离． (图a) (图b) (图c) (3)如图，已知∠AOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN． (图a) (图b) (图c) (4)如图，小明从A村到B村去取鱼虫，将鱼虫放到河里，请作出小明经过的最短路线． 27.如图所示，如果OA⊥OC,O是垂足，OB是一条射线，且∠AOB:∠AOC=2:3,求∠BOC的度数。 28.如图，MN⊥AB,垂足为M,MC平分∠AMD, ∠BMD=440,求∠CMN的度数。 29.如图，已知直线AB、CD、EF相交于O，OG⊥AB，且∠FOG=32，∠COE=38，求∠BOD． 30.如图，AB、CD相交于点O，，，OC平分． ⑴求的度数；⑵求的度数． 课后练习： 1.判断下列语句是否正确?(正确的画“√”，错误的画“”) (1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直． ( )． (2)若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直． ( )． (3)一条直线的垂线只能画一条． ( )． (4)平面内，过线段AB外一点有且只有一条直线与AB垂直． ( )． (5)度量直线l外一点到直线l的距离． ( )． (6)点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离． ( )． (7)画出点A到直线l的距离． ( )． (8)在三角形ABC中，若∠B=90，则AC＞AB． ( )． 2.若AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC=α，则∠AOD等于( )． A.1800-2a B.1800-a C. D.2-90 3.下列说法，错误的是 .( ) A.垂线段最短 B.对顶角相等 C.同位角相等 D.一个锐角的补角大于这个锐角 4.直线a上一点A与a外一点B的距离为2，与a外一点C的距离为3，则点B到a的距离d1与点C到直线a的距离d2的关系是 . A.d1< d2 B.d1= d2 C.d1> d2 D.以上都有可能 5.如果∠AOB和∠BOC互补，则∠AOB和∠BOC的角平分线关系是 .( ) A.垂直 B.相交但不垂直 C.重合 D.以上三种情况都有可能 6.点P是直线l,点 A、B、C 为直线l上三点,PA=5cm,PB=4cm,PC=3cm,则点P到直线l的距离( ) A.等于4cm B.等于3cm C.小于3cm D.不大于3cm 7.如图，直线a、b相交，∠1=120，则∠2＋∠3=（　 　） A.60 B.90 C.120 D.180 8.如图，直线a、b、c两两相交，共构成 对对顶角. 9.如图，直线a，b，c交于O，∠1=30，∠2=50，则∠3=________． 10.如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5:1，则∠DBA＝_____度，∠CBD的补角是______度 11.如图，已知AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=280,则∠AOD= 度。 12.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段_____的长，点B到CD边的距离是线段_____的长，图中的直角有_____________，∠A的余角有_______________，和∠A相等的角有__________。 13.已知点O直线AB上一点，OD平分， OE平分，试说明. 证明 ：点O在直线AB上， ( ) OD平分， OE平分， ____，( ) 即. ∴( ). 14.如图，EOF为一条直线，∠AOB=∠COD=900，OE平分∠COB，∠EOB=15030′，求∠AOF. 15.已知：如图，三条直线AB、CD、EF相交于O，且CD⊥EF,∠AOE=700，若OG平分∠BOF，求∠DOG． 能力提高： 1.如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=a, BC=b,则BD的范围是( ) A.大于a B.小于b C.大于a或小于b D.大于b且小于a 2.如图，BC⊥AC，AD⊥CD，AB=m，CD=n，则AC的长的取值范围是( )． A.AC＜m B.AC＞n C.n≤AC≤m D.n＜AC＜m 3.如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )条．A.3 B.4 C.7 D.8 4.若直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线a距离等于2cm的点的个数是( )． A.0 B.1 C.2 D.3 5.OC把∠AOB分成两部分：①∠AOC=直角＋∠BOC;②∠BOC=平角-∠AOC. 问：（1）OA与OB的位置关系怎样？（2）OC是否为∠AOB的平分线？并写出判断的理由。 6.回答下列问题： (1)三条直线AB、CD、EF两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角? (2)四条直线AB、CD、EF、GH两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角? (3)m条直线a1、a2、a3，……，am－1，am相交于点O，则图中一共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角? 7.从点O引出四条射线OA、OB、OC、OD，且AO⊥BO，CO⊥DO，试探索∠AOC与∠BOD的数量关系． 8.一个锐角与一个钝角互为邻角，过顶点作公共边的垂线，若此垂线与锐角的另一边构成直角，与钝角的另一边构成直角，则此锐角与钝角的和等于直角的多少倍? 第2课 同位角、内错角、同旁内角 “三线八角” 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧， 直线a,b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角 还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁， 直线a,b的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角 还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧， 直线a,b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 注意： （1）在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提； （2）必须是两条直线； （3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。 两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数进行分类的。 平行线的表示方法： 平行用“∥”表示，直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，读作AB 平行于CD。 平行线的画法：（平移法） 平行线的基本性质： （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 (3)行线间的距离，即平行线间的距离处处相等. 例1.如下图所示，直线DE、BC被直线AB所截，问∠1与∠4，∠2与∠4，∠3与∠4各是什么角？ 例2.如图，判断下列角之间的关系： （1）∠1与∠2是两条直线______与_____被第三条直线_____所截构成的________角。 （2）∠1与∠3是两条直线_____与_____被第三条直线_____所截构成的________角。 （3）∠3与∠4是两条直线_____与_____被第三条直线_____所截构成的________角。 （4）∠5与∠6是两条直线_____与_____被第三条直线_____所截构成的________角。 课堂练习： 1.图中，∠1和∠2是同位角的是( ) 2.如图，判断错误的是 （ ） A.∠1和∠7是同旁内角 B.∠3和∠4是同位角 C.∠5和∠6是对顶角 D.∠8和∠1是内错角 3.如图，下列说法中错误的是( ) A.是同位角 B.是同旁内角 C.是同位角 D.是内错角 4.如图，下面结论正确的是（ ） A.是同位角 B.是内错角 C.是同旁内角 D.是内错角 5.如图，图中同旁内角的对数是（ ） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 6.如图，能与构成同位角的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，若直线a、b被直线c所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪种特殊位置关系的角? (1)∠1与∠2是______；(2)∠5与∠7是______； (3)∠1与∠5是______；(4)∠5与∠3是______； (5)∠5与∠4是______；(6)∠8与∠4是______； (7)∠4与∠6是______；(8)∠6与∠3是______； (9)∠3与∠7是______；(10)∠6与∠2是______． 8.如图：(1)∠D的同位角是 ;(2)∠D的内错角是 ;(3)∠D的同旁内角是______． 9.已知如图， 　①∠1与∠2是_______被_______所截成的_______角； 　②∠2与∠3是_______被_______截成的_______角； 　③∠3与∠A是_______被_______截成的_______角； 　④AB、AC被BE截成的同位角_______，内错角_______，同旁内角_______； 　⑤DE、BC被AB截成的同位角是_______，内错角_______，同旁内角_______． 10.如图, ∠1和∠2是 角, ∠3和 是内错角, ∠4和∠5是 角. 11.如图,∠1的同位角是_______________,∠1的内错角是_______________,∠1的同旁内角是_______________. 12.如图,直线截直线所得的同位角有_______________对,它是_______________;内错角有_______________对,它们是_______________;同旁内角有_______________对,它们是_______________;对顶角有_______________对,它们是_______________. 课后练习： 1.如图，∠1和∠2是同位角的是 .（ ） 2.如图，下列结论正确的是( ) (A)∠5与∠2是对顶角 (B)∠1与∠3是同位角 (C)∠2与∠3是同旁内角 (D)∠1与∠2是同旁内角 3.如图，∠1和∠2是内错角，可看成是由直线( ) (A)AD、BC被AC所截构成 (B)AB、CD被AC所截构成 (C)AB、CD被AD所截构成 (D)AB、CD被BC所截构成 4.如图，图中的内错角的对数是（ ） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 5.如图所示， (1)∠B和∠ECD可看成是直线AB、CE被直线______所截得的______角； (2)∠A和∠ACE可看成是直线______、______被直线______所截得的______角． 6.如图所示， (1)∠AED和∠ABC可看成是直线______、______被直线______所截得的______角； (2)∠EDB和∠DBC可看成是直线______、______被直线______所截得的______角； (3)∠EDC和∠C可看成是直线______、______被直线______所截得的______角． 7.如图，已知四条直线AB、AC、DE、FG （1）∠1与∠2是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角. (2) ∠3与∠2是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角. (3) ∠5与∠6是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角. (4) ∠4与∠7是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角. (5) ∠8与∠2是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角. 8.指出图中， ① ∠ 2和∠ 5的关系是___________； ② ∠ 3和∠ 5的关系是___________； ③ ∠ 2和____是直线____、______被_____所截，形成的同位角； ④ ∠ 1和∠ 4呢?∠ 3和∠ 4呢?∠ 6和∠ 7是对顶角吗? 9.如图，∠BEF的同位角是 ，内错角是 ，同旁内角是 . 10.如图，∠1和∠C是直线 和直线 被直线 截成的 . 11.如图，∠1和∠2是直线 和 被直线 所截成的 . 能力提高： 1.如图，直线AB、CD与直线EF、GH分别相交，图中的同旁内角共有( )对． (A)4对 (B)8对 (C)12对 (D)16对 2.如图,与∠C是同旁内角的有( )个. A.2 B.3 C.4 D.5 3.如果∠1与∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是( ). A.(∠1+∠2) B.∠1 C.(∠1-∠2) D.∠2 第3课 平行线的判定 平行线的判定方法： （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 （4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。 （5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 例1.已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据． (1)如果∠2=∠3，那么____________.(____________，____________) (2)如果∠2=∠5，那么____________.(____________，____________) (3)如果∠2+∠1=1800，那么____________.(____________，____________) (4)如果∠5=∠3，那么____________.(____________，____________) (5)如果∠4+∠6=1800，那么____________.(____________，____________) (6)如果∠6=∠3，那么____________.(____________，____________) 例2.如图，已知：∠1+∠2=1800，∠3=78，求∠4的大小 例3.如图，已知∠AMF=∠BNG=750，∠CMA=550，求∠MPN的大小。 例4.如图，∠1与∠3为余角，∠2与∠3的余角互补，∠4=1150，CP平分∠ACM，求∠PCM 例5.如图，DE，BE 分别为∠BDC，∠DBA的平分线，∠DEB=∠1+∠2。 （1）求证：AB∥CD；（2）求证：∠DEB=900。 课堂练习： 1.已知直线a与直线c的夹角等于直线b与直线c的夹角，则直线a和直线b的位置关系是( ). A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能确定 2.下列与垂直相交的洗法:①平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直,那么它与另一条也垂直;③平行内, 一条直线不可能与两条相交直线都垂直,其中说法错误个数有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3.如图，要得到a∥b，则需要条件（　　） A.∠2=∠4 B. ∠1+∠3=180 C.∠1+∠2=180 D. ∠2=∠3 4.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行　　 D. 两直线平行，同位角相等 5.已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． (1)∵∠B=∠3(已知)，∴______∥______.(______，______) (2)∵∠1=∠D(已知)，∴______∥______.(______，______) (3)∵∠2=∠A(已知)，∴______∥______.(______，______) (4)∵∠B＋∠BCE=180(已知)，∴______∥______.(______，______) 6.已知：如图，∠1=∠2，求证：AB∥CD． (方法一)分析：如图，欲证AB∥CD，只要证∠1=______． 证法1： ∵∠1=∠2，(已知) 又∠3=∠2，( ) ∴∠1=______．( ) ∴AB∥CD．( ， ) (方法二)分析：如图，欲证AB∥CD，只要证∠3=∠4． 证法2： ∴∠4=∠1，∠3=∠2，( ) 又∠1=∠2，(已知) 从而∠3=______．( ) ∴AB∥CD．( ， ) 7.已知：如图，∠1=∠2，∠3=110，求∠4的度数． 解题思路分析：欲求∠4，需先证明______//______. 解：∵∠1＝∠2，( ) ∴______//______.( ， ) ∴∠4＝______＝______.( ， ) 8.如图，当∠1=∠_____时，AB∥CD；当∠D＋∠_____=180时，AB∥CD；当∠B=∠_____时，AB∥CD。 9.已知：如图，。求证：。 证明：（ ） （ ） （ ） （ ） 10.如图,AB⊥BD,CD⊥MN,垂足分别是B、D点,∠FDC=∠EBA. (1)判断CD与AB的位置关系;(2)BE与DE平行吗?为什么? 11.如图,∠1+∠2=180,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF. (1)AE与FC会平行吗?说明理由. (2)AD与BC的位置关系如何?为什么? (3)BC平分∠DBE吗?为什么. 课后练习： 1. 已知：如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，试确定射线DF与AE的位置关系，并说明你的理由． (1)问题的结论：DF______AE． (2)证明思路分析：欲证DF______AE，只要证∠3＝______． (3)证明过程： 证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，( ) ∴∠CDA＝∠DAB＝______．(垂直定义) 又∠1＝∠2，( ) 从而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性质) 即∠3＝______. ∴DF______AE．(___________，___________) 2.已知：如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB∥DC． 证明∵∠ABC=∠ADC， ∴( ) 又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC， ∴( ) ∵∠______＝∠______.( ) ∵∠1＝∠3，( ) ∴∠2＝______．(等量代换) ∴______∥______.( ) 3.已知：如图，∠1=∠2，∠3+∠4=180，试确定直线a与直线c的位置关系，并说明你的理由． (1)问题的结论：a______c． (2)证明思路分析：欲证a______c，只要证______∥______． (3)证明过程： 证明：∵∠1=∠2，( ) ∴a∥______，(_________，_________)① ∵∠3＋∠4=180 ∴c∥______，(_________，_________)② 由①、②，因为a∥______，c∥______， ∴a______c.(_________，_________) 4.如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G, ∠1=∠2,试问ED∥BC吗？说说你的理由。 5.如图，CD∥AB,∠DCB=700，∠CBF=200，∠EFB=1300，问直线EF与CD有怎样的位置关系，为什么？ 6.如图，已知∠1+∠2=1800，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理． 能力提高： 1.将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为（ 　　） A.45 B.50 C.60 D.75 2.学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（　 　） ①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行。 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 3.如图，∠ADC=∠ABC， ∠1＋∠2=180，AD为∠FDB的平分线，说明：BC为∠DBE的平分线。 4.已知：如图，∠1=∠2,∠3=∠B,AC∥DE,，且B、C、D在一条直线上。求证：AE∥BD. 5.已知：如图，∠E=∠F,∠1=∠2.求证：∠BAP+∠APD=1800. 6.已知：如图，。求证： 7.如图，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A=400，∠D=300，求∠NMP的度数。 第4课 平行线的性质 平行线的性质： （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。 （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。 （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互补。 例1.已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． (1)如果AB∥EF，那么∠2=______，理由是_____________________________________. (2)如果AB∥DC，那么∠3=______，理由是____________________________________. (3)如果AF∥BE，那么∠1+∠2=______，理由是_______________________________. (4)如果AF∥BE，∠4=120，那么∠5=______，理由是________________________. 例2.已知：如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由． (1)∵DE∥AB，( ) ∴∠2=______.( ， ) (2)∵DE∥AB，( ) ∴∠3=______.( ， ) (3)∵DE∥AB( )， ∴∠1＋______=180．( ， ) 例3.如图所示，AB//CD，A=1350，E=800。求CDE的度数。 例4.如图，已知：∠BAP与∠APD 互补，∠1=∠2，说明：∠E=∠F. 例5.如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系？用式子表示并证明。 例6.如图，已知AB∥CD，说明：∠B＋∠BED＋∠D=360. 例7.已知：如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H,A=D,1=2, 求证：B=C。 课堂练习： 1.下列语句:①三条直线只有两个交点,则其中两条直线互相平行; ②如果两条平行线被第三条截,同旁内角相等,那么这两条平行线都与第三条直线垂直; ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行, 其中( ) A.①、②是正确的命题 B.②、③是正确命题 C.①、③是正确命题 D.以上结论皆错 2.如图,如果AB∥CD,那么图中相等的内错角是( ) A.∠1与∠5,∠2与∠6 B.∠3与∠7,∠4与∠8 C.∠5与∠1,∠4与∠8 D.∠2与∠6,∠7与∠3 3.如图，AB∥ED，则∠A+∠C+∠D=（　　） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 4.如图，AB∥CD，则结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠1+∠3=∠2+∠4中正确的是（ ） A.只有（1） B.只有（2） C.（1）和（2） C.（1）（2）（3） 5.如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 6.如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=1100，则∠ECD的度数为（ ） A.110 B.70 C.55 D.35 7.如图，如果DE∥BC，那么图中互补的角的对数是（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 8.如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少300，那么这两个角是（ ） A.420,1380 B. 都是100 C.420,1380 或420,100 D.以上都不对 9.已知：如图，∠1+∠2=180，求证：∠3=∠4． 证明思路分析：欲证∠3=∠4，只要证______//______. 证明：∵∠1＋∠2=180，( ) ∴______//______.( ， ) ∴∠3=∠4．( ， ) 10.已知：如图，∠A=∠C，求证：∠B=∠D． 证明思路分析：欲证∠B=∠D，只要证______//______. 证明：∵∠A=∠C，( ) ∴______//______.( ， ) ∴∠B＝∠D．( ， ) 11.已知：如图，AB∥CD，∠1=∠B，求证：CD是∠BCE的平分线． 证明思路分析：欲证CD是∠BCE的平分线，只要证______//______. 证明：∵AB∥CD，( ) ∴∠2=______.( ， ) 但∠1=∠B，( ) ∴______=______.(等量代换) 即CD是_______________________. 12.已知：如图，AB∥CD，∠B＝35，∠1＝75，求∠A的度数． 解题思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD的大小． 解：∵CD∥AB，∠B=35，( ) ∴∠2＝∠______=______( ， ) 而∠1＝75， ∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______。 ∵CD∥AB，( ) ∴∠A＋______＝180．( ， ) ∴∠A＝______=______. 13.已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠B=50．求∠D的度数． 分析：可利用∠DCE作为中间量过渡． 解：∵AB∥CD，∠B=50，( ) ∴∠DCE=∠______=______(_________，_________) 又∵AD∥BC，( ) ∴∠D＝∠______=______(_________，_________) 想一想：如果以∠A作为中间量，如何求解? 解法2：∵AD∥BC，∠B=50，( ) ∴∠A＋∠B=______.(_________，_________) 即∠A＝______-______=______-______=______. ∵DC∥AB，( ) ∴∠D＋∠A=______.(_________，_________) 即∠D＝______-______=______-______=______. 14.已知：如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数． 解：过P点作PM∥AB交AC于点M． ∵AB∥CD，( ) ∴∠BAC＋∠______=180( ) ∵PM∥AB， ∴∠1=∠______，( ) 且PM∥______。(平行于同一直线的两直线也互相平行) ∴∠3=∠______。(两直线平行，内错角相等) ∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，( ) ( ) ( ) ∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90( ) 总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线______。 15.如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，你能发现BE和CF有怎样的位置关系么？并证明你的结论。 16.如图：（1）若AE平分∠CAD，AE∥BC，则∠B=∠C。（2）若∠B=∠C，AE∥BC，则AE平分∠CAD。 17.求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行． 课后练习： 1.如图，AD∥BC，∠1=600，∠2=500，则∠A=（ ），∠CBD=（ ），∠ADB=（ ）， ∠A＋∠ADB＋∠2=（ ） 2.如图，AB∥CD，直线l平分∠AOE，∠1=40，则∠2=________ 3.如图，a∥b，AB⊥a垂足为O，BC与b相交于点E，若∠1=43，则∠2= 4.如图,直线a、b被C所截,a⊥L于M,b⊥L于N,∠1=66,则∠2=_______ 5.在同一平面内有三条直线a、b、c，已知a∥b，且c⊥a，则b与c的位置关系是 。 6.如图，由A测B的方向是 ，由B测A的方向是 7.某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A.第一次左拐30，第二次右拐30 B.第一次右拐50，第二次左拐130 C.第一次右拐50，第二次右拐130 D.第一次向左拐50，第二次向左拐130 8.如图，∵∠1=∠2∴ ∥ （ ） ∴∠D= （ ） 又∵∠D=∠3（已知） ∴∠ =∠ （ ） ∴ ∥ （ ） 9.如图所示，已知∠AOB=50，PC∥OB，PD平分∠OPC，则∠APC=___，∠PDO=______ 10.如图,MN⊥AB,垂足为M点,MN交CD于N,过M点作MG⊥CD,垂足为G,EF 过点N点,且EF∥AB,交MG于H点,其中线段GM的长度是________到________的距离, 线段MN的长度是________到________的距离,又是_______的距离,点N到直线MG 的距离是___. 11.如图,AD∥BC,EF∥BC,BD平分∠ABC,图中与∠ADO相等的角有_______ 个,分别是___________. 12.已知：如图，已知DE∥BC，∠D:∠DBC=2:1，∠1:∠2，求∠E的度数． 13.小张从家（图中A处）出发，向南偏东40方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西75的方向走到小明家（图中C处），试问∠ABC为多少度？说明你的理由。 14.如图，AB∥CD，∠ABE=∠FCD，∠F=40，求∠E的度数。 15.已知，∠DBF：∠ABF：∠BFC=1：2：3，AB∥CD，说明：BA平分∠EBF. 能力提高： 1.如图，AB∥CD，∠E=40，∠C=65，则∠EAB的度数为（ ） A．65 B．75