34基本不等式

(2 )2a bab 课 时 3. 4基本不等式： （2课时）一 、 导 学 提 示 ， 自 主 学 习二 、 新 课 引 入 ， 任 务 驱 动三 、 新 知 建 构 ， 典 例 分 析四 、 当 堂 训 练 ， 针 对 点 评五 、 课 堂 总 结 ， 布 置 作 业2a bab 一、导学提示，自主学习1.本 节 学 习 目 标（ 1） 理 解 并 掌 握 基 本 不 等 式 及 其 推 导 过 程 ， 明 确基 本 不 等 式 成 立 的 条 件 （ 2） 能 利 用 基 本 不 等 式 求 代 数 式 或 函 数 的 最 值 ，并 会 解 决 有 关 的 实 际 问 题 .学 习 重 点 ： 基 本 不 等 式 的 应 用学 习 难 点 ： 基 本 不 等 式 推 导 过 程 及 成 立 的 条 件 一、导学提示，自主学习2.本 节 主 要 题 型题 型 一 比 较 大 小题 型 二 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值题 型 三 基 本 不 等 式 的 实 际 应 用3.自 主 学 习 教 材 P97-P1003. 4基 本 不 等 式 ： 2a bab 线 性 规 划 的 两 类 重 要 实 际 问 题 的 解 题 思 路 ： （ 1） 应 准 确 建 立 数 学 模 型 ， 即 根 据 题 意 找 出 约 束 条 件 ，确 定 线 性 目 标 函 数 。 （ 2） 用 图 解 法 求 得 数 学 模 型 的 解 ， 即 画 出 可 行 域 ，在 可 行 域 内 求 得 使 目 标 函 数 取 得 最 值 的 解 .(一 般 最 优 解在 直 线 或 直 线 的 交 点 上 ， 要 注 意 斜 率 的 比 较 .） （ 3） 要 根 据 实 际 意 义 将 数 学 模 型 的 解 转 化 为 实 际问 题 的 解 ， 即 结 合 实 际 情 况 求 得 最 优 解 。 二、新课引入，任务驱动 通 过 本 节 的 学 习 你 能 掌 握 基 本 不 等 式 及应 用 吗 ？二、新课引入，任务驱动 三、新知建构，典例分析 一 .基 本 不 等 式 的 推 导二 .基 本 不 等 式 这 是 2002年 在 北 京 召 开 的 第 24届 国 际 数学 家 大 会 会 标 会 标 根 据 中 国 古 代 数 学 家 赵 爽的 弦 图 设 计 的 ， 颜 色 的 明 暗 使 它 看 上 去 象 一 个风 车 ， 代 表 中 国 人 民 热 情 好 客 。三、新知建构，典例分析 2002年 国 际 数 学 家 大 会 会 标 三 国 时 期 吴 国 的 数 学 家 赵 爽三、新知建构，典例分析 思 考 ： 这 会 标 中 含 有怎 样 的 几 何 图 形 ？思 考 ： 你 能 否 在 这 个图 案 中 找 出 一 些 相 等关 系 或 不 等 关 系 ？三、新知建构，典例分析 问 2： Rt ABF,Rt BCG,Rt CDH,Rt ADE是 全 等 三角 形 ， 它 们 的 面 积 总 和 是 S =问 1： 在 正 方 形 ABCD中 ,设 AF=a,BF=b,则 AB= 则 正 方 形 的 面 积 为 S= 。问 3： 观 察 图 形 S与 S 有 什 么 样 的 大小 关 系 ？ 2 2a b2ab2 2 2a b ab 易 得 ， s s ,即 A D CBc 2 2a b H GFEa b问 4： 那 么 它 们 有 相 等 的 情 况 吗 ？何 时 相 等 ？ 变 化 的 弦 图 22 ba 问 题 4： s, S有 相 等 的 情 况 吗 ？ 何 时 相 等 ？ 图 片 说 明 ： 当 直 角 三 角 形变 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 即a=b时 ， 正 方 形 EFGH缩 为 一个 点 ， 这 时 有 2 2=2a b abu形 的 角 度u数 的 角 度 当 a=b时a2+b2 2ab=(a b)2=0 结 论 ： 一 般 地 ， 对 于 任 意 实 数 a、 b， 我 们 有 当 且 仅 当 a=b时 ， 等 号 成 立2 2 2a b a b 问 5： 当 a,b为 任 意 实 数 时 ， 还 成 立 吗 ？此 不 等 式 称 为 重 要 不 等 式2 2 2a b a b 0, 0, , , ,a b a b a b 如 果 我 们 用 分 别 代 替可 得 到 什 么 结 论 ？2 2( ) ( ) 2a b a b 2a b ab 替 换 后 得 到 ： 即 ： )0,0( ba2a b ab 即 ：你 能 用 不 等 式 的 性 质 直 接 推 导 这 个 不 等 式 吗 ？三、新知建构，典例分析 2a b ab 证 明 ： 要 证 只 要 证 _a b 要 证 ， 只 要 证 _ 0a b 要 证 ， 只 要 证 2(_ _) 0 显 然 , 是 成 立 的 .当 且 仅 当 a=b时 , 中 的 等 号 成 立 . 分析法2 2( 0, 0, ( ) , ( ) )a b a a b b 2a b ab )0,0( ba证 明 不 等 式 ： 2 ab2 abba 特 别 地 ， 若 a0， b0， 则 _2a b ab通 常 我 们 把 上 式 写 作 ： ( 0, 0)2a bab a b 当 且 仅 当 a=b时 取 等 号 ， 这 个 不 等 式 就 叫 做 基 本 不 等 式 .在 数 学 中 ， 我 们 把 叫 做 正 数 a， b的 算 术 平 均 数 ， 叫 做 正 数 a， b的 几 何 平 均 数 ；2a bab文 字 叙 述 为 ：两 个 正 数 的 算 术 平 均 数 不 小 于 它 们 的 几 何 平 均 数 .适 用 范 围 ： a0,b0 你 能 用 这 个 图 得 出 基 本 不 等 式 的 几 何 解 释 吗 ?Rt ACD Rt DCB， BC DC 所 以 DCAC2DC BC AC ab 所 以 A BCDEa bO如 图 , AB是 圆 的 直 径 , O为 圆 心 ，点 C是 AB上 一 点 , AC=a, BC=b. 过 点 C作 垂 直 于 AB的 弦 DE,连 接AD、 BD、 OD. 如 何 用 a, b表 示 CD? CD=_ 如 何 用 a, b表 示 OD? OD=_2a bab 你 能 用 这 个 图 得 出 基 本 不 等 式 的 几 何 解 释 吗 ? 如 何 用 a, b表 示 CD? CD=_ 如 何 用 a, b表 示 OD? OD=_2a bab OD与 CD的 大 小 关 系 怎 样 ? OD_CD如 图 , AB是 圆 的 直 径 , O为 圆 心 ，点 C是 AB上 一 点 , AC=a, BC=b. 过 点 C作 垂 直 于 AB的 弦 DE,连 接AD、 BD、 OD. 2a b ab 几 何 意 义 ： 半 径 不 小 于 弦 长 的 一 半A D BEOCa b 适 用 范 围文 字 叙 述“=”成 立 条 件 2 2 2a b ab 2a b ab a=b a=b两 个 正 数 的 算 术 平 均 数 不小 于 它 们 的 几 何 平 均 数两 数 的 平 方 和 不小 于 它 们 积 的 2倍 a,b R a0,b0填 表 比 较 ：注 意 从 不 同 角 度 认 识 基 本 不 等 式三、新知建构，典例分析 重 要 变 形 ： 2 220, 0, 2 2ab a b a ba b aba ba b 若 则 ，当 且 仅 当 时 取 等 号 。 （ 由 小 到 大 ）三、新知建构，典例分析 2 .典 例 分 析 ：题 型 一 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值题 型 二 基 本 不 等 式 的 实 际 应 用三、新知建构，典例分析 11(1) 0, ;x x x 例 . 已 知 求 的 最 值 .21xx1x 2121:时原式有最小值即当且仅当解 xxxx ;1,0)2(的最值求已知xxx 有最值，并求其最值。为何值时，函数当函数若xxxyx ,31,3)3( 结 论 1： 两 个 正 数 积 为 定 值 ， 则 和 有 最 小 值 5331)3(2 33-x1)3-x(31y 3x:3 xxxx、解。最大值为时，函数有最大值，即当且仅当5 4,313 xxx .21xx1x 2)1()(2)x1()x(1:2 时有最大值即当且仅当、解xxxx 配 凑 系 数分 析 : x+(1-2x) 不 是 常 数 .2 =1为 解 : 0 x0.12 y=x(1-2x)= 2x(1-2x) 12 22x+(1-2x) 212 18= . 当 且 仅 当 时 , 取 “ =”号 .2x=(1-2x), 即 x= 14 当 x = 时 , 函 数 y=x(1-2x) 的 最 大 值 是 .14 18 例 2. 若 0 x0， 0， 若 是 与 的 等 比 中 项 ， 则a b 3 a3 b3 ba 11得 最 小 值 为 （ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 41（ 2009年 天 津 理 6）B因 此 ， 这 个 矩 形 的 长 为 12m、 宽 为 6m时 ，花 园 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 72m2因 此 ， 这 个 矩 形 的 长 为 12m、 宽 为 6m时 ，花 园 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 72m 2 四、当堂训练，针对点评 a2.（ 2009山 东 理 12T)设 满 足 约 束 条 件 若 目 标 函 数yx, ,0y,0 x ,02yx ,06yx3byaxz （ 0， 0） 的 最 大 值 为 12， 则 的 最 小 值 为 （ ）b b3a2 A. B. C. D. 4 625 38 311略 解 ： xy0 2-2 2 02yx 063 yx byaxz (4,6) 点 选把 （ 4， 6） 代 入 z=ax+by得 4a+6b=12,2 3 2 3 2a+3b即 2a+3b=6,而 + = +a b a b 613 b a 13 25= +( + ) +2= ,故 A6 a b 6 6 A 2.如 图 ， 用 一 段 长 为 24m 的 篱 笆 围 一 个 一 边 靠 墙的 矩 形 花 园 ， 问 这 个 矩 形 的 长 、 宽 各 为 多 少 时 ， 花园 的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 多 少 ？四、当堂训练，针对点评 2.如 图 ， 用 一 段 长 为 24m 的 篱 笆 围 一 个 一 边 靠 墙的 矩 形 花 园 ， 问 这 个 矩 形 的 长 、 宽 各 为 多 少 时 ， 花园 的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 多 少 ？解 ： 设 AB=x ， BC=24 2x ， 矩 形 花 园 的 面 积 为 x(24 2x) m2(24 2 )y x x 令因 此 ， 这 个 矩 形 的 长 为 12m、 宽 为 6m时 ，花 园 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 72m 2当 x=6时 ， 函 数 y取 得 最 小 值 为 722 224 2 2( 6) 72y x x x 则 (0 12)x 五、课堂总结，布置作业1 课 堂 总 结 ：（ 1） 涉 及 知 识 点 ：基 本 不 等 式 及 其 应 用 。（ 2） 涉 及 数 学 思 想 方 法 ：转 化 与 回 归 思 想 ； 数 形 结 合 思 想 ； 分 类 与 整 合思 想 。 2 21 R, 2 ( ) , ,a b a b ab a b那 么 当 且 仅 当 时 ,等 号 成 立(2) ( 0, 0)2a bab a b a b ， 当 且 仅 当 时 ， 等 号 成 立 。求 最 值 时 注 意 把 握 “ 一 正 ， 二 定 ， 三 相 等 ”已 知 x, y 都 是 正 数 , P, S 是 常 数 .(1) xy=P x+y 2 P(当 且 仅 当 x=y 时 , 取 “ =”号 ).(2) x+y=S xy S2(当 且 仅 当 x=y 时 , 取 “ =”号 ).142. 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值1. 两 个 重 要 的 不 等 式三、新知建构，典例分析 五、课堂总结，布置作业2.作 业 设 计 ： P93习 题 3.3A组 1-23.预 习 任 务 ： 必 修 5教 材 87- 913.3.2简 单 的 线 性 规 划 问 题