高中物理竞赛辅导机械振动和机械波几何光学

机械振动和机械波51简谐振动511、简谐振动的动力学特点如果一个物体受到的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。即满足：的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的高中物理竞赛力学教程第五讲机械振动和机械波加速度，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。x图5-1-1现有一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在P点，下端固定一个质量为m的物体，物体平衡时的位置记作O点。现把物体拉离O点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。当物体运动到离O点距离为x处时，有 式中为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有，因此 说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x成正比。因回复力指向平衡位置O，而位移x总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。512、简谐振动的方程图5-1-2由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O为圆心，以振幅A为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度作匀速圆周运动，它在开始时与O的连线跟轴夹角为,那么在时刻t，参考圆上的质点与O的连线跟的夹角就成为，它在轴上的投影点的坐标 （2）这就是简谐振动方程，式中是t=0时的相位，称为初相：是t时刻的相位。参考圆上的质点的线速度为，其方向与参考圆相切，这个线速度在轴上的投影是 ） （3）这也就是简谐振动的速度参考圆上的质点的加速度为，其方向指向圆心，它在轴上的投影是 ） （4）这也就是简谐振动的加速度 由公式（2）、（4）可得 由牛顿第二定律简谐振动的加速度为因此有 （5） 简谐振动的周期T也就是参考圆上质点的运动周期，所以 513、简谐振动的判据 物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动： 物体运动中所受回复力应满足 ；物体的运动加速度满足 ；物体的运动方程可以表示为 。事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件是基本的，由它可以导出另外两个条件和。5.2 弹簧振子和单摆简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。图5-2-1521、弹簧振子弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期 。（1）恒力对弹簧振子的作用比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m和k都相同（如图5-2-1），则它们的振动周期T是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长，振子的质量为m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长=0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降,然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长随时间t变化的图线。由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，振动周期因为，所以因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在 的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在 图5-2-2的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么图线将是怎样的？ （2）弹簧的组合 设有几个劲度系数分别为、的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在F力作用下伸长时，各弹簧的伸长为，那么总伸长 各弹簧受的拉力也是F，所以有 图5-2-3故 根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数 即得 如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长，需要的外力根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数 导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用，如图5-2-3所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图5-2-3中两根弹簧是串联。当m向下偏离平衡位置时，弹簧组伸长了2 ，增加的弹力为 m受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略） 所以m的振动周期 = 再看如图5-2-4所示的装置，当弹簧1由平衡状态伸长时，弹簧2由平衡位置伸长了，那么，由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）ba图5-2-4 由于弹簧2的伸长，使弹簧1悬点下降 因此物体m总的由平衡位置下降了此时m所受的合外力所以系统的振动周期 （3）没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为和的两木块A和B，用一根劲度系数为k的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上（图5-2-5）。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。想象两端各用一个大小为F、方向相反的力将弹簧压缩，假设某时刻A、B各偏离了原来的平衡位置和，因为系统受的合力始终是零，所以应该有 A、B两物体受的力的大小 由、两式可解得图5-2-5 由此可见A、B两物体都做简谐运动，周期都是此问题也可用另一种观点来解释：因为两物体质心处的弹簧是不动的，所以可以将弹簧看成两段。如果弹簧总长为，左边一段原长为，劲度系数为；右边一段原长为，劲度系数为，这样处理所得结果与上述结果是相同的，有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后，不是同时释放两个物体，而是先释放一个，再释放另一个，这样两个物体将做什么运动？系统的质心做什么运动？图5-2-6522、单摆一个质量为m的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的O点，小球摆动至与竖直方向夹角，其受力情况如图5-2-6所示。其中回复力，即合力的切向分力为 当时，振体由于惯性，来不及改变运动，处于静止状态。5.4 振动的合成若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用，在一般情况下其中一个力的存在不会对另外一个力产生影响，这时物体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相互叠加后的振动，由各策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动，叫振动的合成。5. 41、 同方向、同频率两简谐运动的合成当一个物体同时参与同方向的两个振动时，它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动的位移的代数和。当两振动的频率相同时，设此两振动的位移分别为则合振动的位移应为 上式中 根据以上结论，进一步可以看到若（k为整数），则即合振动的振幅达到最大值，此时合振动的初位相与分振动的初位相同（或相差）若或 则即合振动的振幅达到最小值。此时合振动的初位相取决于和的大小。即当时，合振动的初位相等于；当时，合振动的初位相等于；当时，则A=0，物体不会发生振动。一般情况下，可以任意值，合振动的振幅A的取值范围为5. 42、 同方向、频率相近的两振动的合成设物体同时参与两个不同频率的简谐运动，例如为简单起见，我们已设，这只要适当地选取时间零点，是可以做到的。如果再设，则合振动 T图5-4-1由于和相差不多，则有（）比（）大很多，由此，上一合振动可以看成是振幅为（随时间变化）。角频率为的振动。这种振动称为“拍”。拍的位移时间图像大致如图5-4-1所示。由图可见，振幅的变化周期为变化周期的一半，即或拍频为 543、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成当一物体同时参与相互垂直的振动时合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为 （6-17）当时，得 合成结果仍为简谐振动（沿斜率为的直线作简谐振动）。当=时，可见，当时，合振动均为椭圆振动，但两者旋转方向不同。5.5机械波551、机械波机械振动在介质中的传播形成机械波，波传递的是振动和能量，而介质本身并不迁移。自然界存在两种简单的波：质点振动方向与波的传播方向垂直时，称为横波；与传播方向一致时，叫纵波，具有切变弹性的介质能传播横波；具有体变弹性的介质可传播纵波，固体液体中可以同时有横波和纵波，而在气体中一般就只有纵波存在了。在波动中，波上相邻两个同相位质点间的距离，叫做一个波长，也就是质点作一个全振动时，振动传播的距离。由于波上任一个质点都在做受迫振动，因此它们的振动频率都与振源的振动频率相等，也就是波的频率，在波动中，波长、频率与传播速度之间满足 （1）注意：波速不同于振动质点的运动速度，波速与传播介质的密度及弹性性质有关。552、波动方程图5-5-1如图5-5-1所示，一列横波以速度沿轴正方向传播，设波源O点的振动方程为： 在轴上任意点P的振动比O点滞后时间，即当O点相位为时，P点的相位为，由，P点振动方程为 这就是波动方程，它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。当波向轴负方向传播时，（2）式只需改变的正负号。由波动方程，可以（1）求某定点处的运动规律将代入式（6-14），得 其中为质点作简谐振动的初相位。 （2）求两点与的相位差 将代入（2）式，得两点、的相位差 若为整数），则，则该两点同相，它们的位移和速度都相同。若为整数），则，则该两点相位相反，它们的位移和速度大小相同，速度方向刚好相反。球面波的波动方程与平面波相比，略有不同，对于球面波，其振幅随传播距离的增加而衰减，设离波源距离为处的振幅为，离波源距离为处的振幅为。则有即振幅与传播的距离成反比球面简谐波的方程为 图5-5-2式中A是与波源的距离为一个单位长度处的振幅。3、波的叠加和干涉当空间存在两个（或两个以上）振源发出的波时，空间任一点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和，这叫做波的叠加原理。当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时，会出现某些地方振动增强，某些地方振动减弱的现象，叫做波的干涉，这样的两列波叫相干波。设有两列相干波自振源、发出，两振源的位相相同，空间任一点P至的距离为，至的距离为（图5-5-2），则两列波在P点产生的振动的相位差为 当为整数），即当波程差 时，P点的合振动加强；当，即当波程差图5-5-3时，P点的合振动减弱，可见P点振动的强弱由波程差决定，是P点位置的函数。总之，当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的整数倍时，该点振动的合振幅最大，即其振动总是加强的；当某一点距离两同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍时，该点振动的合振幅最小，即其振动总是削弱的。4、波的反射、折射和衍射 图5-5-4当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时，一部分返回原介质中，称为反射波；另一部分将透入第二种介质继续传播，称为折射波，入射波的传播方向与交界面的法线成角，（叫入射角），反射波的传播方向与交界面的法线成角（叫反射角）。折射波的传播方向与法线成角（叫折射角），如图5-5-3，则有 图5-5-5式中为波在入射介质中的传播速度，为波在折射介质中的传播速度，（1）式称为波的反射定律，（2）式称为波的折射定律。弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射，反射的波形有所不同。设弦上有一向上脉冲波，如图5-5-4，传到自由端以后反射，自由端可看成新的振源，振动得以继续延续下去，故反身波仍为向上的脉冲波，只是波形左右颠倒。当弦上有向上脉冲波经固定端反射时，固定端也可看成新的“振源”，由牛顿第三定律，固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端的作用力方向相反，故反射脉冲向下，即波形不仅左、右颠倒，上、下也颠倒，这时反射波可看成入射波反向延伸的负值（如图5-5-5），将周期波看成一系列连续脉冲，周期波经自由端或固定端的反射也可由此得出。波在传播过程中遇到障碍物时，偏离原来的传播方向，传到障碍物“阴影”区域的现象叫波的衍射。当障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多时，衍射现象比较明显；当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候，衍射现象仍然存在，只是发生衍射的部分跟直进部分相比，范围较小，强度很弱，不够明显而已。此外，在障碍物或小孔尺寸一定的情况下，波长越长，衍射现象越明显。565、驻波驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波叠加的结果，如图6-5-6，设弦上传递的是连续的周期波，波源的振动方程为向左传播的入射波表达式为设波源到固定端的距离为，则入射波传到反射点时的相位为考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反，即入射波在反射时产生了的相位突变，故反射波在反射点的相位为反射波在原点P的相位为 因而，反射波的波动方程为合成波为： 合成波的振幅为与x有 关，振幅最大处为波腹，振幅最小处为波节。波腹的位置为图5-5-62A图5-5-7即 如图5-6-6中的D、E、F等处。波节的位置为即 如图5-5-7中的O、A、B等处。相邻两波节（或波腹）之间的间距为。不同时刻驻波的波形如图5-6-7所示，其中实线表示、T、2T时的波形；点线表示、时的波形；点划线表示、时的波形。556、多普勒效应站在铁路旁边听到车的汽笛声，发现当列车迎面而来时音调较静止时为高，而列车迅速离去时音调较静止时为低，此外，若声源静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发生收听频率和声源频率不一致的现象，这种现象称为多普勒效应。下面分别探讨各种情况下多普勒频移的公式：图5-5-8（1）波源静止观察者运动情形如图5-5-8所示，静止点波源发出的球面波波面是同心的，若观察者以速度趋向或离开波源，则波动相对于观察者的传播速度变为或，于是观察者感受到的频率为从而它与波源频率之比为图5-5-9 （2）波源运动观察者静止情形若波源以速度运动，它发出的球面波不再同心。图5-5-9所示两圆分别是时间相隔一个周期T的两个波面。它们中心之间的距离为T，从而对于迎面而来或背离而去的观察者来说，有效的波长为观察者感受到的频率为因而它与波源频率之比为（3）波源和观察者都运动的情形此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况，这时有效波速和波长都发生了变化，观察者感受到的频率为从而它与波源频率之比为下举一个例 单行道上，有一支乐队，沿同一个方向前进，乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近。此时，乐队正在奏出频率为440HZ的音调。在乐队前的街上有一固定话筒作现场转播。旅行者从车上的收音机收听演奏，发现从前面乐队直接听到的声音和从广播听到的声音混合后产生拍，并测出三秒钟有四拍，车速为18km/h，求乐队前进速度。（声速=330m/s）。解：先考虑车上听到的频率，连续两次应用多普勒效应，有 （为旅行者听到乐队的频率）得 收音机得到频率为 旅行者听到广播频率为 又拍频为 综上得：=2.98m/s557声波机械振动在空气中的传播称为声波。声波作用于人耳，产生声音感觉。人耳可闻声波频率是1620000。频率超过20000的声波叫超声波。超声波具有良好的定向性和贯穿能力。频率小于16的声波称为次声波。在标准情况下，声波在空气中的速度为331m/s。（1）声波的反射声波遇障碍物而改变原来传播方向的现象。回声和原来的声波在人耳中相隔至少0.1秒以上，人耳才能分辨，否则两种声音将混在一起，加强原声。室内的声波，经多次反射和吸收，最后消失，这样声源停止发声后，声音还可在耳中继续一段时间，这段时间叫交混回响时间。交混回响时间太长，前后音互相重叠，分辨不清；交混时间太短，给人以单调不丰满的感觉，这种房间不适于演奏。（2）声波的干涉两列同频率同振幅的声波在媒质中相遇而发生的波干涉现象。（3）声波的衍射声波遇障碍物而发生的波衍射现象。由于声波波长在17cm17m之间，与一般障碍物尺寸可相比拟，可绕过障碍物进行传播。而可见光的波长在0.40.8，一般障碍物不能被光绕过去。这就是“闻其声而不见其人”的缘由。（4）共鸣声音的共振现象音叉和空气柱可以发生共鸣。在一个盛水的容器中插入一根玻璃管，在管口上方放一个正在发声的音叉，当把玻璃管提起和放下，以改变玻璃管中空气柱的长度时，便可以观察到空气柱与音叉发生共鸣的现象。在这个实验中发生共鸣的条件是：，式中L为玻璃管的长度，为音叉发出声波的波长，n为自然数。5、乐音噪声好听、悦耳的声音叫乐音，嘈杂刺耳的声音叫噪声。乐音是由作周期性振动的声源发出的，嘈声是由做无规则非周期性振动的声源产生的。6、音调、响度与音品为乐音三要素。音调基音频率的高低，基频高则称音调高。人们对音调的感觉客观上也取决于声源振动的频率，频率高，感觉音调高。响度声音的强弱。声源振幅大、声音的声强（单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量）也大，人感觉到的声音也大。音品音色，它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色。音品由声音所包含的泛音的强弱和频率决定。几 何 光 学1.1 几何光学基础1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。3、光的反射定律：反射光线在入射光线和法线所决定平面内；ABSS1S2S3O图1-2-1反射光线和入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角。4、光的折射定律：折射光线在入射光线和法线所决定平面内；折射光线和入射光线分居法线两侧；入射角与折射角满足；当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象（折射率为 的光密介质对折射率为的光疏介质的临界角）。1.2 光的反射1.2.1、组合平面镜成像：SS1S2S3S4S5O图1-2-21.组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于O点）镜间放一点光源S（图1-2-1），S发出的光线经过两个平面镜反射后形成了、三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O为圆心、OS为半径的圆上，而且S和、S和、和、和之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。高中物理竞赛电学光学教程第一讲几何光学两面平面镜AO和BO成60角放置（图1-2-2），用上述规律，很容易确定像的位置：以O为圆心、OS为半径作圆；过S做AO和BO的垂线与圆交于和；过和作BO和AO的垂线与圆交于和；过和作AO和BO的垂线与圆交于，便是S高中物理竞赛光学教程第一讲几何光学在两平面镜中的5个像。图1-2-3 L1L2AO双镜面反射。如图1-2-3，两镜面间夹角=15,OA=10cm，A点发出的垂直于的光线射向后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？如图1-2-4所示，光线经第一次反射的反射线为BC，根据平面反射的对称性,，且。上述均在同一直线上，因此光线在、之间的反复反射就跟光线沿直线传播等效。设是光线第n次反射的入射点，且该次反射线不再射到另一个镜面上，则n值应满足的关系L1L2AOCBCOD图1-2-4 是90，。取n=5，总路程。2、全反射全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2，当入射角大于临界角时，光线发生全反射。全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组成部分光导纤维，就是利用光的全反射现象。图1-2-5是光导纤维的示 iABn1n2图1-2-5意图。AB为其端面，纤维内芯材料的折射率，外层材料的折射率，试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？图1-2-5中的r表示光第一次折射的折射角，表示光第二次的入射角，只要大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。 只要即可。例1、如图1-2-6所示，AB表示一平直的平面镜，是水平放置的米尺（有刻度的一P1P2MNabABS图1-2-6 面朝着平面镜），MN是屏，三者相互平行，屏MN上的ab表示一条竖直的缝（即ab之间是透光的）。某人眼睛紧贴米尺上的小孔S（其位置如图所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在上把这部分涂以标志。分析: 本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。图1-2-7图1-2-8解法一：相对于平面镜AB作出人眼S的像。连接Sa并延长交平面镜于点C，连接与点C并延长交米尺于点E，点E就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接并延长交米尺于点F，且 与平面镜交于D，连接S与点D，则点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E与F之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如图1-2-7所示。ABOPP1P2120 （d）P5ABOP1P2P3P460（b）P4ABO45P1P2P3P5P6P7（c）图1-2-9ABOP1P2P3P4（a）P解法二：根据平面镜成像的对称性，作米尺及屏MN的像，分别是及，a、b的像分别为，如图1-2-8所示。连接Sa交AB于点C，延长并交于点，过点作的垂线，交于点E，此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接交AB于点D，延长并交于点，过点作（AB）的垂线交于点F，点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。EF部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。点评：平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中，利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决。例2、两个平面镜之间的夹角为45、60、120。而物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。分析：由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数。解：设两平面镜A和B的夹角为2，物P处在他们的角等分线上，如图1-2-9（a）所示。以两镜交线经过的O点为圆心，OP为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上。由平面镜A成的像用表示，由平面镜B成的像用表示。由图不难得出：ABCPO图1-2-10AOCP图1-2-11在圆弧上的角位置为在圆弧上的角位置为。其中k的取值为k=1，2， 若经过k次反射，A成的像与B成的像重合，则 即 当时，k=4，有7个像，如图1-2-9（a）所示；当时，k=3，有5个像，如图1-2-9（b）所示；当时，k=1.5，不是整数，从图1-2-10（d）可直接看出，物P经镜A成的像在镜B面上，经镜B成的像则在镜A面上，所以有两个像。ABPO图1-2-12例3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO和BO，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图1-2-11所示。图中带箭头的圆圈P代表一个人的头部（其尺寸远小于OC的长度），白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图1-2-11为俯视图，若两平面镜的夹角AOB=72，设人头的中心恰好位于角平分线OC上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。1、 1、试在图1-2-11中标出P的所有像的方位示意图。 图1-2-132、在方框中画出照片上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子）。本题只要求画出示意图，但须力求准确。解: 本题的答案如图1-2-13所示。例4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图1-2-14所示。棱镜用玻璃制成，BC、CD两平面高度抛光，AB、DE两平面高度抛光后镀银。试证明： CAEBD112.5112.5112.590图1-2-14 经BC面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射（在AB与DE面上），与之相应的由CD面出射的光线，必与入射光线垂直。解: 如图1-2-15所示，以i表示入射角,表示反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。光线自透明表面的a 点入射，在棱镜内反射两次，由CD面的e点出射。可以看得出，在DE面的b点；入射角为 反射角为 在四边形bEAC中，而 i1ABCDE112.5112.5112.5901i2i2i3i345i44F图1-2-15 =于是， 在cdb中cdb=180 =180这就证明了：进入棱镜内的第一条光线ab总是与第三条光线ce互相垂直。由于棱镜的C角是直角，=360-270-dec=90-dec=。设棱镜的折射率为n，根据折射定律有 总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角的大小无关。只要光路符合上面的要求，由BC面的法线与CD面的法线垂直，又有出射光线总是与入射光线垂直，或者说，图1-2-16光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角90。例6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图1-2-16所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面A上。试确定通过表面A进入的光全部从表面B射出的R/d的最小值。已知玻璃的折射为1.5。分析: 如图1-2-17所示，从A外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。解: 当最内侧光的入射角大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从B表面射出而没有光线从其他地方透出。图1-2-17即要求 而 所以 即 故 图1-2-18点评 对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即“边界光线”的表现是解决此类问题的关键。例7 普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射。现在利用普通光纤测量流体F的折射率。实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中。令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心O。经端面折射进入光纤，在光纤中传播。由于O点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为，如图1-2-18所示。最后光从另一端面出射进入流体F。在距出射端面处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为，然后移动光屏D至距光纤出射端面 处，再测出圆形光斑的直径，如图1-2-19所示。（1）若已知A和B的折射率分别为与。求被测流体F的折射率的表达式。图1-2-19（2）若、和均为未知量，如何通过进一步的实验以测出的值？分析 光线在光纤中传播时，只有在纤芯A与包层B的分界面上发生全反射的光线才能射出光纤的端面，据此我们可以作出相应的光路图，根据光的折射定律及几何关系，最后可求出。解: （1）由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图1-2-20为纵面内的光路图。设由O点发出的与轴的夹角为的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为。若该光线折射后的折射角为，则由几何关系和折射定可得 90 当i大于全反射临界角时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面。而的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入图1-2-20B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于，的值由下式决定： 与对应的值为 当，即时，或时，由O发出的光束中，只有的光线才满足的条件下，才能射向端面，此时出射端面处的最大值为 若，即时，则由O发出的光线都能满足的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处的最大值为 端面处入射角最大时，折射角也达最大值，设为，由式可知 由、式可得，当时， 图1-2-21由至式可得，当时， 的数值可由图1-2-21上的几何关系求得为 于是的表达式应为 （11） （12）（2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得、，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于1，故有当时， （13）当时 （14）将（11）（12）两式分别与（13）（14）相除，均得 （15）此结果适用于为任何值的情况。1.3 光的折射图1-3-11.3.1、多层介质折射如图：多层介质折射率分别为则由折射定律得： 1.3.2、平面折射的视深在水中深度为h处有一发光点Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射线的延长线与OQ交点的深度与入射角i的关系。 设水相对于空气的折射率为，由折射定律得 ddQQOxMi图1-3-2令OM=x，则于是 上式表明，由Q发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线，则，于是 这时与入射角i无关，即折射线的延长线近似地交于同一点，其深度是原光点深度的。 S2 S3 S1 O2 O1 S S1Q NP M图1-3-3如图1-3-3所示，MN反射率较低的一个表面，PQ是背面镀层反射率很高的另一个表面，通常照镜子靠镀银层反射成像，在一定条件下能够看到四个反射像，其中一个亮度很底。若人离镜距离，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求两个像间的距离。图中S为物点，是经MN反射的像，若依次表示MN面折射，PQ面反射和MN面再折射成像，由视深公式得，ABCEFi1i2 i2 i1 D G 折射率图1-3-4故两像间距离为。1.3.3、棱镜的折射与色散入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图1-3-4的几何关系知 hLSS图1-3-5其中 当，很小时，即 =（n-1）厚度不计顶角很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言，与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图1-3-5。设物点S离光楔L则像点在S的正上方。h=l=（n-1）l。 当棱镜中折射光线相对于顶角对称成等腰三角形时，。 阳光红紫图1-3-6或者 这为棱镜的最小偏向角，此式可用来测棱镜的折射率。图1-3-7紫红阳光由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图1-3-6。形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图1-3-7，形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。1.3.4、费马原理费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折xyBAM（x，y）nRfF图1-3-8射作用，也是很典型的。一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。在透镜外主光轴上取一点，（图1-3-8）。当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于点。试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（2）透镜顶点A与点O相距多少？（3）对透镜的孔径R有何限制？解: 根据费马原理，以平行光入射并会聚于的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线与任一条光线的光程应相等。由此可以确定凸面的方程。其余问题亦可迎刃而解。（1）取坐标系如图，由光线和的等光程性，得整理后，得到任一点M（x，y）的坐标x，y应满足的方程为令，则上式成为 这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。（2）透镜顶点A的位置 应满足 或者 可见，对于一定的n和，由R决定。（3）因点在透镜外，即，这是对R的限制条件，有 即要求 讨论 在极限情形，即 时，有如下结果：xyRfAMNntF图1-3-9即点A与点重合。又因 a=0故透镜凸面的双曲线方程变为即 双曲线退化成过点的两条直线，即这时透镜的凸面变成以为顶点的圆锥面，如图1-3-9所示。考虑任意一条入射光线MN，由折射定律有，由几何关系图1-3-10故 ， 即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点，此时的角就是全反射的临界角。例1、半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图1-3-10所示。O为圆心。已知玻璃的折射率为。当光由玻璃射向空气132图1-3-11时，发生全反射的临界角为45，一束与MN平面成450的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出。求能从MN平面射出的光束的宽度为多少？分析: 如图1-3-11所示。进入玻璃中的光线垂直半球面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全反射，光线左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上发生全反射