322立体几何中的向量方法(二)课件新人教版(选修2-1)

3 .2 .2 立 体 几 何 中 的 向 量方 法 (二 )课 件 新 人 教 版(选 修 2 -1 ) ZPZ空间“距离”问题 一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（ 1） 建 立 立 体 图 形 与 空 间 向 量 的 联 系 ， 用 空 间 向量 表 示 问 题 中 涉 及 的 点 、 直 线 、 平 面 ， 把 立 体 几何 问 题 转 化 为 向 量 问 题 ；（ 2） 通 过 向 量 运 算 ， 研 究 点 、 直 线 、 平 面 之 间 的位 置 关 系 以 及 它 们 之 间 距 离 和 夹 角 等 问 题 ；（ 3） 把 向 量 的 运 算 结 果 “ 翻 译 ” 成 相 应 的 几 何 意义 。 （ 化 为 向 量 问 题 ）（ 进 行 向 量 运 算 ）（ 回 到 图 形 ） 空间“距离”问题1. 空 间 两 点 之 间 的 距 离 根 据 两 向 量 数 量 积 的 性 质 和 坐 标 运 算 ，利 用 公 式 或 (其 中 ) ， 可 将 两 点 距 离 问 题转 化 为 求 向 量 模 长 问 题2aa 222 zyxa ),( zyxa 例 1： 如 图 1： 一 个 结 晶 体 的 形 状 为 四 棱 柱 ， 其 中 ， 以 顶 点 A为 端 点的 三 条 棱 长 都 相 等 ， 且 它 们 彼 此 的 夹 角 都 是 60 ， 那 么 以 这 个 顶 点为 端 点 的 晶 体 的 对 角 线 的 长 与 棱 长 有 什 么 关 系 ？ A 1 B1 C1D1A B CD图 1解 ： 如 图 1， 设 BADADAAAB ， 11 6011 DAABAA化 为 向 量 问 题依 据 向 量 的 加 法 法 则 ， 11 AAADABAC 进 行 向 量 运 算 2121 )( AAADABAC )(2 112122 AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6所 以 6| 1 AC回 到 图 形 问 题这 个 晶 体 的 对 角 线 的 长 是 棱 长 的 倍 。1AC 6 思考：（ 1） 本 题 中 四 棱 柱 的 对 角 线 BD1的 长 与 棱 长 有 什 么 关 系 ？ （ 2） 如 果 一 个 四 棱 柱 的 各 条 棱 长 都 相 等 ，并 且 以 某 一 顶 点 为 端 点 的 各 棱 间 的 夹 角 都 等于 , 那 么 有 这 个 四 棱 柱 的 对 角 线 的 长 可 以确 定 棱 长 吗 ? A1 B1 C1D1A B CD11 BBBCBABD 60 120 11 BCBABBABC ，其 中分 析 :分 析 : 1111 DAABAABADxAAADABaAC ，设 11 AAADABAC 则 由 )(2 11212221 AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即 ax cos63 1 这 个 四 棱 柱 的 对 角 线 的 长 可 以 确 定 棱 长 。 （ 3） 本 题 的 晶 体 中 相 对 的 两 个 平 面 之 间 的 距 离 是 多 少 ？ 设 AB=1 （ 提 示 ： 求 两 个 平 行 平 面 的 距 离 ， 通 常 归 结 为 求 两 点 间 的 距 离 ）A1 B1 C1D1A B CDH 分 析 ： 面 面 距 离 点 面 距 离 . 11 HACHAA 于 点平 面点 作过 解 ： . 1 的 距 离为 所 求 相 对 两 个 面 之 间则 HA 111 AAADABBADADAABA 且由 . 上在 ACH 3 360cos211)( 22 ACBCABAC .160cos60cos)( 1111 BCAAABAABCABAAACAA 31|cos 111 ACAA ACAAACA 36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所 求 的 距 离 是 。 36问 题 ： 如 何 求 直 线 A1B1到 平 面 ABCD的 距 离 ？ nA PO2、向量法求点到平面的距离： 例 2: 如 图 ， 已 知 正 方 形 ABCD的 边 长 为 4， E、 F 分别 是 AB、 AD 的 中 点 ， GC 平 面 ABCD， 且 GC 2，求 点 B 到 平 面 EFG 的 距 离 . DA B CGF Ex y z DA B CGF Ex y z(2, 2,0), ( 2, 4,2),EF EG n EFn EG ， | BE| 2 11.11nd n 2 2 02 4 2 0 x yx y Z 1 1( , ,1),3 3n B (2,0,0)E 例 2: 如 图 ， 已 知 正 方 形 ABCD的 边 长 为 4， E、 F 分别 是 AB、 AD 的 中 点 ， GC 平 面 ABCD， 且 GC 2，求 点 B 到 平 面 EFG 的 距 离 . A PD CBM N 解 ： 如 图 ,以 D为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D xyz 则 D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )2aa2 a aaA PD CBM Nzx y 2.(课 本 第 107页 练 习 2)如 图 ， 60 的 二 面 角 的 棱 上 有 A、 B两 点 ，直 线 AC、 BD分 别 在 这 个 二 面 角 的 两 个 半 平 面 内 ， 且 都 垂 直 AB， 已知 AB 4， AC 6， BD 8， 求 CD的 长 . BAC D 3 如 图 3-5， 已 知 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角 为 ， 在 直 线 a、 b 上 分 别 取 E、 F， 已 知 AE=m， AF=n， EF=l， 求 公 垂 线 A A 的 长 d. EF EA A A AF 解 ： 2 2( )EF EA A A AF 2 2 2 2( )EA A A AF EA A A EA AF A A AF 当 E,F在 公 垂 线 同 一 侧 时 取 负 号当 d等 于 0是 即 为 “ 余 弦 定 理 ”,AA EA AA AF = （ 或 ） ，AFEA, 22 2 2 2l EA A A AF EA AF 2 2 2 2 cosm d n mn 2 2 2 2 cosd l m n mn n a b CD ABCD为 a,b的 公 垂 线则 | nABnCD A， B分 别 在 直 线 a,b上已 知 a,b是 异 面 直 线 ， n为 的法 向 量3. 异面直线间的距离 即 间 的 距 离 可 转 化 为 向 量 在 n上 的 射 影 长 ，21,ll CD 1 1 1 10 13. 4, ,2, 90 ,ABC ABC AA ABCAC BC BCA E AB CE AB 例 已 知 ： 直 三 棱 柱 的 侧 棱 底 面 中为 的 中 点 。 求 与 的 距 离 。zx y A BCC1 ).4,2,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(, 1BAECxyzC 则解 ： 如 图 建 立 坐 标 系 ),4,2,2(),0,1,1( 1 BAEC 则的 公 垂 线 的 方 向 向 量 为设 ).,(, 1 zyxnBAEC 001 BAn ECn 即 0422 0 zyxyx取 x=1,则 y=-1,z=1,所 以 )1,1,1( n ).0,0,1(, ACAC 在 两 直 线 上 各 取 点 .332| |1 n ACndBAEC 的 距 离与 EA1 B1 小结 1、 E为 平 面 外 一 点 ,F为 内 任 意 一 点 , 为 平 面 的 法 向 量 ,则 点 E到 平 面 的 距 离 为 :n | | nEFnd 2、 a,b是 异 面 直 线 ,E,F分 别 是 直 线 a,b上 的 点 , 是 a,b公 垂 线 的 方 向 向 量 ,则 a,b间 距 离 为 | | nEFnd n