常微分方程常见形式及解法

2021/6/16常微分方程 毕文彬1 常微分方程常见形式及解法知行130113275001毕文彬 2021/6/16常微分方程 毕文彬2 微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。微分方程的表达通式是：常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的最高阶数，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分方程。例如以下的贝塞尔方程： （其中y为应变数）为二阶微分方程，其解为贝塞尔函数。 2021/6/16常微分方程 毕文彬3 常见例子以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变数为x，c及均为常数。l非齐次一阶常系数线性微分方程：l齐次二阶线性微分方程：l描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：l非齐次一阶非线性微分方程： l描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程： 2021/6/16常微分方程 毕文彬4 微分方程的解l微分方程的解通常是一个函数表达式（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：ldy/dx=sinx， l的解是ly=-cosx+C，l其中C是待定常数；l例如，如果知道l y=f()=2， l则可推出l C=1， l而可知 ly=-cosx+1， 2021/6/16常微分方程 毕文彬5 0102简易微分方程的求解方法一 阶 线 性 常 微 分 方 程二 阶 常 系 数 齐 次 常 微 分 方 程 2021/6/16常微分方程 毕文彬6 一阶线性常微分方程l对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：l对于方程：l可知其通解：l然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值01 2021/6/16常微分方程 毕文彬7 二阶常系数齐次常微分方程l对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解l对于方程：l可知其通解：l其特征方程：l根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解l一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):l(在的r1r2情况下):l(在共轭复数根的情况下)：02 2021/6/16常微分方程 毕文彬8 01020304一般通解可 分 离 方 程一 般 一 阶 微 分 方 程一 般 二 阶 微 分 方 程线 性 方 程 (最 高 到 n阶 ) 2021/6/16常微分方程 毕文彬9 可分离方程01微分方程解法通解一阶，变量 x 和 y 均可分离分离变量（除以P2 Q1）。一阶，变量 x 可分离直接积分。一阶，变量 y 可分离分离变量（除以 F）。 一阶，变量 x 和 y 均可分离整个积分。 2021/6/16常微分方程 毕文彬10 一般一阶微分方程02微分方程解法通解一阶，齐次令 y = ux，然后通过分离变量 u 和 x 求解.一阶，可分离变量 分离变量（除以 xy）。如果N = M, 解为xy = C.恰当微分, 一阶 其中整个积分。 其中 Y(y) 和 X(x) 是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数 F(x, y) 满足初始条件。反常微分, 一阶 其中积分变量 (x, y) 满足 如果可以得到 (x, y)： 2021/6/16常微分方程 毕文彬11 一般二阶微分方程03微分方程解法通解二阶原方程乘以 2 dy/dx, 代换, 然后两次积分.一阶线性，非齐次的函数系数积分因子: 二阶线性，非齐次的常系数余函数 yc: 设 yc = ex，代换并解出 中的多项式，求出线性无关函数 。特解 yp：一般运用常数变易法，虽然对于非常容易的 r(x) 可以直观判断。 如果 b2 4 c, 则:如果 b2 = 4 c, 则:如果 b2 4 c, 则: 线性方程 (最高到n阶) 04 2021/6/16常微分方程 毕文彬12 谢谢观看 若有不当之处，请指正，谢谢！