中职数学基础知识汇总

-职教单招数学总复习中职数学基础知识汇总预备知识：1. 完全平方和（差）公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b) 2=a2-2ab+b 22.平方差公式：a2-b 2=(a+b)(a-b)3.立方和（差）公式：3322)3322a +b=(a+b)(a-ab+ba -b =(a-b)(a+ab+b)第一章 集合1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。2. 集合的三种表示方法：列举法、 描述法、 图像法（文氏图） 。3.常用数集：N （自然数集）、 Z（整数集）、Q（有理数集）、 R （实数集）、N +（正整数集）4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：（ 1）元素与集合是“”与“”的关系。（ 2）集合与集合是“” “”“ = ”“ / ”的关系。注：（1 ）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真（做题时多考虑 是否满足题子集。意）（ 2 ）一个集合含有 n个元素，则它的2n 个，真子集有 2 n-1个，非空真2n-2子集有子集有个。5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（1）AB = x | x挝 A 且 x B ： A与 B的公共元素组成的集合（ 2 ）B = x | x挝 A 或B ：A与 B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一Ax次）。（ 3 ） CU A ： U 中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。注：C(AB)CA C BUUA CUBUUUC(A B)=C6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。7.充分必要条件 : p 是 q的 ,条件 p是条件， q是结论如果 pq，那么 p是 q的充分条件 ;q是 p的必要条件 .如果 pq，那么 p是 q的充要条件第二章不等式1.不等式的基本性质：（略）注：（ 1 ）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。（ 2）不等式两边同时乘以负数要变号！（ 3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。2. 重要 的不等式：（ 1 ） a2 b22ab ，当且仅当 ab 时，等号成立。（ 2abab a bRb 时，等号成立。）2( ,) ，当且仅当 a（ 3 ）注：ab （算术平均数）ab （几何平均数）23. 一元一次不等式的解法（略）4. 一元二次不等式的解法（ 1）保证二次项系数为正（ 2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：-第 1 页 共 17页岐山县职教中心-职教单招数学总复习（ 3 ） 定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。5. 绝对值不等式的解法| x|aaxa若 a 0 ，则|或xax axa分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.第三章函数1. 函数（ 1 ）定义：设 A 、 B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则f ,对 A 内任一个元素x,在 B 中总有一个且只有一个值 y与它对应,则称f是集合A到 B 的函数 ,可记为 : f :A B,或 f :x y.其中 A 叫做函数f的定义域.函数 f在 xa 的函数值 ,记作f (a) ,函数值的全体构成的集合C(C? B),叫做函数的值域.（ 2 ）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。2. 函数的 三要素：定义域、值域、对应法则（ 1定义域的求法：使函数（的解析式）有意的取值范）义的0，x 围偶次根式的被开方0，主要依据：分母不能为 式特殊函数定义域： y x0 , xa x,0y (a0 且 a 1), xRlog ax,且（ 2y(a0 a1), x0值域的求y 的取值范围）法：正比例函ykx 和一次函ykxb 的值域为 R数：数：ax 2x 的取值范围不R 则还需画图二次函数： ybx c的值域求法：配方法。如果是像反比例函y1的值域为 y0数：| yx另求值域的方换元法 、不等式法、数形结合法、函数的单调性等法：等。（ 3解析式求法：在求函数解析式时）可用换元法 、构造法、待定系数法等。3. 函数图像的变换（ 1）平移y f ( x)向左平移yf (x)向右平移fy ( xa)y f ( x a)a 个单位a 个单位向上平移向下平移-yf (x)fayf ( x)y f ( x)a个单位y( x)个单位aa（2）翻折沿 x轴保留 x 轴上方图像y | fyf (x)yf ( x)y f (x)(x) |上、下对折下方翻折到上方第 2 页 共 17页岐山县职教中心-职教单招数学总复习4.函数的奇偶性（ 1 ） 定义域关于原点对称（ 2 ） 若 f (x)f ( x)奇若 f (x) f ( x)偶注：若奇函数在x0 处有意义，则f (0)0常值函数f ( x) a（ a0 ）为偶函数 f ( x)0 既是奇函数又是偶函数5. 函数的单调性f (x1 )f ( x2 ),称 f (x)在 a,b 上为增函数、 , 且，若对于a b x1f (x1 )f ( x2 ),称 f (x)在 a,b 上为x1 x2x2减函数增函数： x值越大，函数值越x 值越小，函数值越大；小。减函数： x值越大，函数值反而越x值越小，函数值反而越小；大。6. 二次函数（ 1 ）二次函数的三种解析式一般式：fax2(x)bx c（ a0 ）顶点f (x)a(xk) 2h （ a0），其中 (k ,h)为顶点式：两根10 ），其中x 1、x2 是 f0的两x )(式：f (x)a( xxx2 )（ a(x)根（ 2）图像与性质二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：开口 a 0开口向上a0开口向下b顶点坐标：b, 4acb 2)对称轴： x(2a2a4a0有两交点bx1x201根与系数的关系：（韦达定a与 x 轴的交点：有 交点理）c0无交点x1 x 2ac 为偶函数的充要条 f ( x ) ax2件为b0bx 二次函数（二次函数恒大0）（小）于a0fa0f ( x) 00图像位于 x 轴上方( x)0图像位于 x 轴下方-0 若二次函数对任x 都有 fx) f (tx)，则其对称轴是意(txt 。第四章指数函数与对数函数1. 指数幂的性质与运算第 3 页 共 17页岐山县职教中心-职教单招数学总复习（ 1 ）根式的性质： n为任意正整当 n为奇数时，n数，( n a) naa na ；当 n为偶数时，零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。（ 2）零次幂：01(a0)aN（ 3 ） 负数指数幂：an1( a0, n* )a nm分数指数幂：a（4 ）nn a m (a0, m, nN 且 n 1)实数指数幂的运算法( a 0, m, nR)（5）则： mnmnnnnaaamn (a)a mn ( a b)ab幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个2. 数的3.幂函数 yxa 当 a0 时， yxa 在（ 0，）上单调递增当 a0 时， yxa 在（ 0，）上单调递减4.指数与对数的互化：abNloga Nb(a0 且 a1)、 (N0) a log a对数基本性N5. 质： log a a 1 log a 1 0N log loga b与 logb a互为倒1数log a blogb a1loga blog b a log a mnnbloga b6. 对数的基本运算：na n| a |n 次方。a aNNlog a (MN )loga Mlog a Nlog a Mlog a M log a NN换底公式：logalogb N7. N(b0 且 b 1)logb a8. 指数函数、对数函数的图像和性质指数函数对数函数定y logax(a0, a 1的常y ax( a 0, a 1的常数 )数 )义-图像第 4 页 共 17页岐山县职教中心-职教单招数学总复习(1(1)x R, y0)x 0, yR性(2(0,1(2(1,0)图像经过 )点)图像经过 )点质1,x 在 R 上为增函数；1,loga x在ayaay(0,) 上为增函数；（ 3 ）（ 3 ）loga x 在0a1, yax 在 R 上为减函数。0a1, y(0,) 上为减函数9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值0，1来过渡。10.指数方程和对数方指数式和对数式互换元法取对数程：化同底法法注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章数列等差数列等比数列每一项与前一项之差为同一个常每一项与前一项之比为同一个数常数定a2a1a3a2anan 1da2a3anq (q0)a1a2an 1义注：当公差注：等比数列各项及公比均不d0 时，数列为常数列0；能为当公比为1 时，数列为常数列通 项n 1ana1( n 1)dana1 q公式（ 1 ）anamn man推d（ 1） qnmam论n（2aanm dm（ 2）nm()anam qq ，则 a m a nap（ 3 ）若 m np q ，则 a m ana p aq（ 3）若 m n paq三个数 a、 b 、 c成等差数列，则中 项有三个数 a 、 b 、 c成等比数列，则有公式2bacbacb2ac2前 nn(a 1naq项 和Snan )na1n(n 1)dSna1 (1 q) a 11）n（q公式221 q1 q-1.已知前n项和 S n 的解析式，求通项anS1(n1)anSnSn 1 (n2)2. 弄懂等差、等比数通项公式和前n 项和公式的证明方法。（见教材）第六章三角函数1. 弧度和角度的互换第 5 页 共 17页岐山县职教中心-职教单招数学总复习oo弧度0.01745 弧度弧度180 oo57 18)180弧度11801(2. 扇形弧长公式和面积公式1 | | r2（记忆法：与L 扇 | | rS 扇1 LrS ABC1 ah 类似）2223. 任意三角函数的定义：对边y邻边x对边ysin=cos=tan=斜边r斜边r邻边x4. 特殊三角函数值00030 0450600900643201234sin2222243210cos222223tan013不存在35. 三角函数的符号判定（ 1）口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）（ 2）图像记忆法6.三角函数基本公式tansin（可用于化简、证明等）cossin 2cos 21（可用于已知 sin求 cos ；或者反过来运用）7. 诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。解释：指 k(kZ )，若 k为奇数，则函数名要改k 为偶数函数名不变，若变。27.已知三角函数值求角:(1所在的象限;求出函数值的绝对值对应的锐写出满足条件的 0的角 ;加上周期)确定角(2)角;(3)2(4)（同终边的角的集合）8. 和角、倍角公式 和角公式： sin()sincoscos sintantansitan()cos()coscossin n1 tantan-注意正负号相同注意正负号相反第 6 页 共 17页岐山县职教中心-职教单招数学总复习1 1 2 sin2222二倍角公式： s i n22 si nc o scos 2cossin2 costantan 21 tan21 c o s1cos 半角公式： s i ncos22229. 三角函数的图像与性质性质函数图像单调定义域值域同期奇偶性性2k,2kT 222ysin xxR 1,1奇 2k,2k3 22y cos xT 2,2kx R 1,1 2k偶 2k ,2k9.正弦型函数yAsin(x)( A0,0)(1)定义域R，值域 A, A2（ 2 ）周期：T（ 3 ）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x 的系数提出来，再看是怎样平移的。（ 4 ） ya sin xbcos xa 2b 2 sin( x )10. 正弦定理abcsin Asin B2R（R 为 ABC的外接圆半径）sin Cb 2R s i nBc 2R s i nC其他形式：2R sin A（注意理解记忆，可只记一（ 1 ） a个）（ 2） a : b : c sin A : sin B : sin C11. 余弦定理-a2b2c22bc cos Acos Ab 2c2a 2（注意理解记忆，可只记一个）2bc12. 三角形面积公式第 7 页 共 17页岐山县职教中心-职教单招数学总复习S ABC1 ab sin C1 bc sin A1 ac sin B（注意理解记忆，可只记一个）22213. 海伦公式： Sc) （其中 P 为 ABC的半周a b cABCP(Pa)( P b)( P长，P）2第七章平面向量1. 向量的概念（ 1 ） 定义：既有大小又有方向的量。（ 2 ） 向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为 A ，终点为 B 的向量表示为AB 。（ 3）向量的模（长度）： | AB |或 | a |（ 4） 零向量：长度为 0 ，方向任意。单位向量：长度为 1 的向量。向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。2. 向量的运算（ 1）图形法则三角形法则平形四边形法则（ 2 ）计算法则加法： AB BCAC减法： AB AC CA（ 3 ）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律（ 1 ）模为：| a（ 2）方3.数乘向量：a|向：为正与 a相同；为负与 a相反。AB 的坐标：终A 的坐标。4.点B 的坐标减去起点AB( x B xA , y By A )5.向量共线（平行）：唯一，使得 ab 。 （可证平行、三点共线问题等）实数平面向量分解定理：如是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向a ，都存在唯一6.e1 ,e 2的果量一对实数 x 1 , x2 ，使得 ax1 e 1x2 e 2。7.注意 ABC中，重心 ( 三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分、内心（内切圆圆心：三角平线交点）分线交点）、垂心（三高线的交点）8. 向量的内积（数量积）（ 1 ）向量之间的夹角：图像上起点在同一位0, 置；范围。-（ 2 ） 内积公式：a b| a | b | cosa, b第 8 页 共 17页岐山县职教中心-职教单招数学总复习9. 向量内积的性质：（ 1 ）a b（ 2 ） acosa,b| a | b（夹角公式）ba b0|（ 3 ） a| a（长度公a| 2或 | a |a a式）10. 向量的直角坐标运( x B xA ,算：（ 1 ） AB yByA )（ 2）设( x1, y1),( x 2 , y 2 ) ，则 a ba ( x1,1 2y1a b x xab(x 1x2 , y1y2 )y1 )y211. 中点坐标公式：若 A(x 1, y 1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,点 M(x,y)是线段 AB 的中点 ,则 xx1x2 , yy1 y 22212. 向量平行、垂直的充要条( x 1 ,y ),b( x 2 , y 2 ) ，则件：设a1x1y1a b（相对应坐标比值相等）x2y2a ba b0（两个向量垂直则它们的内x1 x 2y1 y 20 积为0）11.长度公式向量长度公式：设( x, y)，则 | a |（ 1 ） ax 2y2两点间距离公式：设A( x 1 , y 1 ), B( x2 , y 2 )，则 | AB | ( x2 ( y 2x1 ) 2y1 ) 2（2）点12.向量平移P(x, y)平移向量(a 1, a 2 ) 到 P (x, y)xxa1平移公式：，a记忆法：“新 = 旧 +（1）点则向量”yya2（ 2）图像平移：f (x)的图像平移向( a 1 , a 2 )后得到的函数解析式y a 2 fy量a为：( xa1 )第八章平面解析几何1.曲线 C 上的点与方程F( x, y)0 之间的关系：曲线 C 上点的坐标都是方（ 1） 程F (x, y)0 的解；以方程 F ( x,0 的解 (x, y)为坐标的点都（ 2 ） y)在曲线则曲线 C叫做方程 F0 的曲线，方F ( x,( x, y)程y)C 上。0 叫做曲线C的方程。2.求曲线方程的方法及步设动点的坐标为x， y）； (2)写出动点在曲线上的充要条(3) 用 x, y的骤：(1) （件；关系式表示这个条件列出的方程；（ 4 ） 化简方程（不需要的全部约掉）；（ 5 ）证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。-4. 直线：第 9 页 共 17页岐山县职教中心-职教单招数学总复习(1)倾斜角：一条直线 l向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是0,)(2)斜率：倾斜角为900 的直线没有斜率；ktan（倾斜角的正切）经过两点(x 1, y 1 ), y 2 )y2y1的直线的斜率P1P2( x 1 x2 )( x 2Kx2x1(3) 直线的方程yy1xx1 斜截ykxb两点式：式：y2y1x2x1点斜式：y0k (xx 0 ) 一般AxByC 0y式：注： 1. 若直线 l方程为 3x+4y+5=0，则与 l平行 的直线可设为3x+4y+C=0；与 l垂直 的直线可设为4X-3Y+C=02. 求直线的方程最后要化成一般式。(4) 两条直线的位置关系: A x B xl 1 : y k 1 x b 1 l 2 : y k2 x b2l C0 22221 111l : A x B x C0A1B1C 2lll111与 l2平行k1k2且 bb12A2B2C 2A1B1C2与 l2重合k1k2 且 b1b2A2B2C2A1B1与 l2相交k1k2A2B2l 1 l 2k1 k21A1 A2B1 B20注：系数为0 的情况可画图像来判定。(5) 点到直线的距离) 到直的距| Ax 0 By0C点 (,线|离：P x 0y0Ax By C0dA2B 25. 圆的方程（ 1标准方程：a)）( x（ 2一般方程：x2y）r（）其中圆心 (a,b)，半径2( y b) 2 2r0 r 。2DxEyF0 （ D 2E 24F0 ）半径：D 2E 24F圆心（ D,E ）r222-（ 4 ）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线d 和半径 r比较。的距离d r相交 ； dr相切 ； d r相离6. 椭圆第 10页 共 17页岐山县职教中心-职教单招数学总复习动点与两定点（焦点）的距离之和等2a于常数几何定义| PF 1 | PF 2 | 2ax 2y 21 （焦点x2y 2标准方程x 轴上）在a 2b2b2a 2图像y 轴1（焦点在上）a, b, c的关系对称轴与对称中心顶点坐标焦点坐标离心率7. 双曲线几何定义标准方程图像a, b, c的关系a 2b 2c2注意：通常题目会隐藏这个条件x 轴：长轴长2a ； y轴：短轴长2b； O(0,0)(a,0)(0,b)( c,0) 焦距 2c注：要特别注意焦点在哪个轴上ec1b21aa2动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数2a|PF 1|PF 2 |2ax2y 2 1（焦点y