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第 二 章 导 数 与 微 分2.1 导 数 概 念 导 数 的 定 义 左 、 右 导 数 用 定 义 计 算 导 数 可 导 与 连 续 之 间 的 关 系 一 、 引 例1.变 速 直 线 运 动 的 瞬 时 速 度 问 题 0t s0 ,t求 时 刻 的 瞬 时 速 度 t,0 tt 的 时 刻取 一 邻 近 于 ,t运 动 时 间tsv 平 均 速 度 00( ) ( )s t s tt t ).(2 0 ttg ,0时当 tt 取 极 限 得 0 0 0(t t)sv lim limt 2t t t t g 瞬 时 速 度 .0gt t物 体 下 降 的 距 离 与 所 经 时 间 的21( ) .2s t gt关 系 为自 由 落 体 运 动 中 ， 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 播 放 T0 x xo xy )(xfy C NM如 图 , MT为 曲 线 C在 M点 处 的 切 线 ， 下 面 考虑 求 该 切 线 的 斜 率 。).,(),( 00 yxNyxM设 的 斜 率 为割 线 MN 00tan xx yy ,)()( 0 0 xx xfxf , 0 xxMN C 沿 曲 线的 斜 率 为切 线 MT 0 0 00( ) ( )tan lim tan limx x x x f x f xk x x 0lim .x x fx 3 产 品 总 成 本 的 变 化 率设 某 产 品 的 总 成 本 C 是 产 量 q 的 函 数 ,即 ).(qfC 当 产 量 由 0q 变 到 qq 0 时 ,总 成 本 相 应 的 改 变 量 为),()( 00 qfqqfC 故 当 产 量 由 0q 变 到 qq 0 时 ,总 成 本 的 平 均 变 化 率为 q qfqqfqC )()( 00 当 0q 时 ,如 果 极 限 qCq 0limq qfqqfq )()(lim 000 存 在 , 则 称 此 极 限 是 产 量0q为 时 的 总 成 本 的 变 化 率 . 二 、 导 数 的 定 义定 义 设 函 数 在 点 的 某 个 领 域 内 有 定)(xfy 0 x义 , 当 自 变 量 在 处 取 得 增 量 (点 仍 在0 x xx 0 xx该 领 域 内 )时 , 相 应 地 函 数 取 得 增 量y);()( 00 xfxxfy 若 与 之 比 当xy0 x 时 的 极 限 存 在 ,处 可 导 , 并 称 这 个 极 限 为 函 数 在 点 处)(xfy 0 x的 导 数 , 记 为 则 称 函 数 在 点)(xfy 0 x 00 ),(, 0 xxxx dxdyxfy 或 ,)( 0 xxdxxdf 即 .)()(limlim)( 000000 x xfxxfxyxfy xxxx 导 数 定 义 的 其 它 形 式 :令 ,xh .)()(lim)( 0000 h xfhxfxf h 令 ,0 xxx .)()(lim)( 0 00 0 xx xfxfxf xx 例 2 试 按 导 数 定 义 试 求 下 列 各 极 限 (假 设 各 极 限均 存 在 ).)1( ;)2()2(lim ax afxfax )2( ,)(lim0 xxfx 其 中 .0)0( f解 )1( ax afxfax )2()2(lim )22(21 )2()2(lim22 ax afxfax ax afxfax 22 )2()2(lim2 22 ).2(2 af因 为 ,0)0( f 于 是)2( xxfx )(lim0 0 )0()(lim0 x fxfx ).0(f 三 、 左 右 导 数左 导 数 x xfxxfxf x )()(lim)( 0000 ;)()(lim 0 00 xx xfxfxx 右 导 数 x xfxxfxf x )()(lim)( 0000 .)()(lim 0 00 xx xfxfxx 定 理 1 函 数 在 点 处 可 导)(xf 0 x 左 导 数)( 0 xf 和 右 导 数 都 存 在 且 相 等 .)( 0 xf 例 3解 求 函 数 , , 00sin)( xx xxxf 处 的 导 数 .在 0 x当 0 x 时 , )0()0( fxfy 0sin x ,xsin故 xyf x 0lim)0( .1sinlim0 xxx当 0 x 时 , )0()0( fxfy 0 x ,x故 xyf x 0lim)0( .1lim0 xxx由 ,1)0()0( ff 得 .1lim)0( 0 xyf x 关 于 导 数 的 几 点 说 明(3) ,Ix 都 对 应 着 的 一 个 确 定 的 导 数 值 ,)(xf个 函 数 叫 做 原 来 函 数 的 导 函 数 ,)(xf 记 作 这dxdyxfy ),(, 或 .)(dxxdf注 意 : ;)()( 00 xxxfxf (1) 就 称 函 数 在 开 区 间 内 可 导 ;I)(xf(2) 且 及)(af)(bf 都 存 在 , 就 称 在 闭 区 间 上 可 导 ;)(xf , ba导 , )(xfy I如 果 函 数 在 开 区 间 内 的 每 点 处 都 可)(xf ),( ba如 果 在 开 区 间 内 可 导 , 例 4 求 函 数 )()( 为 常 数CCxf 的 导 数 .解 h xfhxfxf h )()(lim)( 0 ,0lim0 hCCh即 .0)( C 例 5 设 函 数 ,xxf sin)( 求 )(sin x 及 .4)(sin xx解 h xhxx h sin)sin(lim)(sin 0 22sin)2cos(lim0 hhhxh ,xcos即 .xx cos)(sin 4)(sin xx 4cos xx .22 例 6解 求 函 数 )( 为 正 整 数nxy n 的 导 数 .h xhxx nnhn )(lim)( 0 !2 )1(lim 1210 nnnh hhxnnnx ,1 nnx即 .1)( nn nxx 更 一 般 地 .)()( 1 Rxx 例 如 , .xxx 2121)( 121 111 )1()(1 xxx .21x 例 7解 求 函 数 )10()( aaaxf x , 的 导 数 .h aaa xhxhx 0lim)( haa hhx 1lim0 ,aax ln即 ,aaa xx ln)( .xx ee )( 例解 求 函 数 )10(log aaxy a , 的 导 数 .h xhxy aah log)(loglim0 xxh xhah 1)1(loglim0 hxah xhx )1(loglim1 0 ex alog1即 .exx aa log1)(log .xx 1)(ln 例 8解 求 曲 线 xy 在 点 )24( , 处 的 切 线 方 程 .因 为故 所 求 切 线 方 程 为即 ,xxy 21)( ,414214 xy ,)4(412 xy .044 yx五 、 导 数 的 几 何 意 义 六 、 可 导 与 连 续 的 关 系定 理 则 它 在 点0 x 处 连 续 .证 因 为 函 数 在 点 可 导 ,)(xf 0 x 所 以).(lim 00 xfxyx 于 是 0,)( 0 xfxy (当 ),0 x,)( 0 xxxfy ,0)(limlim 000 xxxfy xx 证 毕 .故 函 数 在 点 连 续 .)(xf 0 x如 果 函 数 )(xfy 0 x 可 导 ,在 点 注 :但 在 该 点 不 一 定 可 导 .该 定 理 的 逆 命 题 不 成 立 . 即 函 数 在 某 点 连 续 ,例 9 讨 论 函 数 xxf )( 在 0 x 处 的 连 续 性 与 可导 性 .注 : 一 般 地 , 若 曲 线 )(xfy 的 图 形 在 点 0 x 处 出 现尖 点 , 则 它 在 该 点 不 可 导 . 例 10 讨 论 0,0 0,1sin)( xxxxxf 在 0 x 处 的 连续 性 与 可 导 性 . 1. 函 数 )(xf 在 某 点 0 x 处 的 导 数 )( 0 xf 与 导 函 数)(xf 有 什 么 区 别 与 联 系 ？2. 设 )(x 在 ax 处 连 续 ， ),()()( 22 xaxxf 求 ).(af3. 求 曲 线 32 xxy 上 与 x 轴 平 行 的 切 线 方 程 .课 堂 练 习 1. 函 数 )(xf 在 某 点 0 x 处 的 导 数 )( 0 xf 与 导 函 数)(xf 有 什 么 区 别 与 联 系 ？解 )( 0 xf 是 )(xf 在 点 0 x 的 导 数 值 ， 是 一 个 具 体 的数 值 . )(xf 是 由 于 )(xf 在 某 区 间 I上 每 一 点 都 可 导而 定 义 在 I上 的 一 个 新 函 数 ： 即，Ix 有 唯 一 值 )(xf 与 之 对 应 .两 者 的 区 别两 者 的 联 系 一 个 是 数 值 ， 另 一 个 是 函 数 .在 某 点 0 x 处 的 导 数 )( 0 xf 即 是 导 函 数)(xf 在 0 x 处 的 函 数 值 . 完 2. 设 )(x 在 ax 处 连 续 ， ),()()( 22 xaxxf 求 ).(af解 ax afxfaf ax )()(lim)( ax xaxax 0)()(lim 22 )()(lim xaxax ).(2 aa 3. 求 曲 线 32 xxy 上 与 x 轴 平 行 的 切 线 方 程 .解 ,32 2xy 令 0y .032 2 x,32,32 21 xx切 点 为 ， 9643296432所 求 切 线 方 程 为 964y 和 .964y 完 作 业Page 90 EX. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 9 Ex. 10 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.切 线 问 题 割 线 的 极 限 位 置 切 线 位 置 2.2 函 数 的 求 导 法 则 导 数 的 四 则 运 算 反 函 数 的 导 数 复 合 函 数 的 求 导 法 则 初 等 函 数 的 求 导 法 则 一 、 和 、 差 、 积 、 商 的 求 导 法 则定 理 1 若 函 数 在 点 处 可 导 ,x)(),( xvxu 则 它 们的 和 、 差 、 积 、 商 (分 母 不 为 零 )并 且(1) );()()()( xvxuxvxu (2) );()()()()()( xvxuxvxuxvxu (3) ).0)()( )()()()()( )( 2 xvxv xvxuxvxuxv xu x在 点 处 也 可 导 , 证 (3) ),0)()( )()( xvxv xuxf 设 h xv xuhxv hxuh xfhxfxf hh )( )()( )(lim)()(lim)( 00 hxvhxv hxvxuxvhxuh )()( )()()()(lim0 hxvhxv xvhxvxuxvxuhxuh )()( )()()()()()(lim0 u x v x u x v xv x 2( )( ) ( ) ( ). ( ) 推 论 (1) ;)()( 11 ni ini i xfxf(2) );()( xfCxCf (3) )(1 xfini )()()()()()( 2121 xfxfxfxfxfxf nn ).()(1 1 xfxf kini nikk 例 1 求 xxxy sin2 23 的 导 数 .解 )(sin)2()( 23 xxxy .cos43 2 xxx 例 2解 求 xxy sin2 的 导 数 . )sin(2)sin2( xxxxy )(sin)sin)(2 xxxx xxxx cossin212 .cos2sin1 xxxx 例 3 求 的 导 数 .xy tan xxxy cossin)(tan解 ,cos )(cossincos)(sin 2 x xxxx ,seccos1cos sincos 222 22 xxx xx 即 .sec)(tan 2 xx 同 理 可 得 .csc)(cot 2 xx 解 xxxxy 2cos )(coscos1)(sec .tanseccossin2 xxxx 同 理 可 得 .cotcsc)(csc xxx 完例 求 的 导 数 .xy sec 二 、 反 函 数 的 导 数定 理 2 若 函 数 在 某 区 间 内 单 调 、 可( )x y yI导 则 它 的 反 函 数 在 对 应( )y f x区 间 内 也 可 导 ,xI 且 有1 ( ) ( )f x y 或 dydxdxdy 1即 : 反 函 数 的 导 数 等 于 直 接 函 数 导 数 的 倒 数 .( ) 0,y 且 证 任 取 ,xIx 给 以 增 量x ),0( xIxxxx 由 的 单 调 性 可 知)(1 xfy ,0y 于 是 ,1yxxy )(1 xf 连 续 , ),0(0 xy 又 ,0)( yf ,)(11limlim)( 001 yfyxxyxf yx 证 毕 . 完 例 6解 求 函 数 的 导 数 .xy alog 且yax 在 内 单 调 、 可 导 ,),( yI ,0ln)( aaa yy 在 对 应 区 间 内 有),0( xI .ln1ln1)( 1)(log axaaax yya 特 别 地 .1)(ln xx 完 例 5 求 函 数 的 导 数 .xy arcsin解 yx sin 在 内 单 调 、 可 导 , 2,2 yI且 ,0cos)(sin yy 在 对 应 区 间 内 有)1,1(xI yyx cos1)(sin1)(arcsin .11sin1 1 22 xy 21(arccos ) .1x x 同 理 可 得 三 、 复 合 函 数 的 求 导 法 则定 理 3 若 函 数 在 点 可 导 ,)(xgu x 而 )(ufy 在 点 可 导 ,)(xgu 则 复 合 函 数 在 点)( xgfy 可 导 ,x 且 其 导 数 为)()( xgufdxdy 或 dxdududydxdy 链 式 法 则证 由 在 点 可 导 ,u)(ufy ),(lim0 ufuyu 故 )0lim()( 0 uufuy ,)( uuufy xuxuufxy xx )(limlim 00 ).()(limlimlim)( 000 xgufxuxuuf xxx 注 :例 如 , 则 复 合 函 数)( xfy 的 导 数 为 .dxdvdxdududydxdy 复 合 求 导 法 则 可 推 广 到 多 个 中 间 变 量 的 情 形 .),(),(),( xvvuufy 设 完 例 7 求 函 数 的 导 数 .xy sinln解 设 ,lnuy .sin xu则 dxdududydxdy xu cos1 xxsincos .cot x 完 例 8 求 函 数 的 导 数 .102 )1( xy解 设 .1, 210 xuuy 则 xudxdududydxdy 210 9 .)1(202)1(10 9292 xxxx 例 10 求 函 数 的 导 数 .32 )sin( xxy 解 )sin( 32 xxy )sin()sin(3 222 xxxx )(sinsin21)sin(3 22 xxxx ).2sin1()sin(3 22 xxx 完 例 求 函 数 的 导 数 .)1(sin2 xey 解 一 设 中 间 变 量 , 令 .1,sin, 2 xwwvvuey u 于 是 xwvux wvuyy )1()(sin)()( 2 xwveu )1(cos2 wveu )1cos()1sin(2)1(sin2 xxe x .)1(2sin )1(sin2 xex 例 求 函 数 的 导 数 .xxxy 解 )(2 1 xxxxxxy )(2 112 1 xxxxxxx )211(2 112 1 xxxxxx .8 124 22 xxxxxx xxxx 完 例 11 求 导 数 ).0( aaaxy xaa axa解 )(ln)(ln1 xaaxaa aaaxaaxay xaa .lnln 211 aaaaaaxxa xaa axxaaa 完 例 9 求 函 数 的 导 数 .)2(21ln 3 2 xxxy解 ),2ln(31)1ln(21 2 xxy )2(2131)1(1121 22 xxxxy )2(3 121121 2 xxx .)2(3 112 xx x 完 例 求 导 数 .log /1 xx xey 解 .ln1lnlnlog xxeex )()(log /1 xx xey xxex ln1ln1 xxexx xx ln1ln1 ln12 .ln1ln1 212 x xxxx x 完 例 12 求 函 数 的 导 数 . 21,1 10,2)( 2 xx xxxf解 求 分 段 函 数 的 导 数 时 , 在 每 一 段 内 的 导 数 可 按一 般 求 导 法 则 求 之 , 但 在 分 段 点 处 的 导 数 要 用 左右 导 数 的 定 义 求 之 .当 时 ,10 x ,2)2()( xxf当 时 ,21 x ,2)1()( 2 xxxf 当 时 ,1x 2122lim1 )1()(lim)1( 11 xxx fxff xx 1 21lim1 )1()(lim)1( 211 xxx fxff xx 2)1(lim11lim 121 xxx xx由 知 , 2)1()1( ff .2)1( f 所 以.21,2 10,2)( xx xxf 完 例 13 已 知 可 导 ,)(uf 求 函 数 的 导 数 .)(sec xfy 解 )(sec)(sec)(sec xxfxfy xxxf tansec)(sec 注 : 求 此 类 含 抽 象 函 数 的 导 数 时 , 应 特 别 注 意 记 号表 示 的 真 实 含 义 , 此 例 中 , )(sec xf 表 示 对 xsec求 导 , 而 表 示 对 求 导 .)(sec xf x例 求 导 数 ),(tan)(tan xfxfy 且 )(xf可 导 .解 ).()(sec)(tansec 22 xfxfxfxy 完 例 求 函 数 (n为 常 数 )的 导 数 .)(sin nnn xfy 解 )(sin)(sin1 nnnnn xfxnfy 11 cos)(sin)(sin nnnnn nxxxxn )(sincos 113 nnnnn xfxxn ).(sin)(sin)(sin1 nnnnn xxfx 完 1. 求 下 列 函 数 的 导 数 ： ;ln41tan2)1( 2 xxxy ,.)2( bx axbay 且ba,( 为 常 数 ， ).0,0 ba.11ln)3( 22 xx xxy 课 堂 练 习 2. 若 )(uf 在 0u 不 可 导 ， )(xgu 在 0 x 可 导 ，且 ),( 00 xgu 则 )( xgf 在 0 x 处 ( ) .(1) 必 可 导 ； (2) 必 不 可 导 ； (3) 不 一 定 可 导 .3. 幂 函 数 在 其 定 义 域 内 ( ).(1) 必 可 导 ； (2) 必 不 可 导 ； (3) 不 一 定 可 导 .课 堂 练 习 完 ;ln41tan2)1( 2 xxxy 解 xx xxxxy 4)1( )1(tan2)1()tan2()1( 22 22 .4)1( tan4)1(sec2 2222 xx xxx ,.)2( bx axbay 解 bxbx axbaaxbay .)2( .ln. 1bbxbx abxbabaaxba 且ba,( 为 常 数 ， ).0,0 ba .11ln)3( 22 xx xxy 解 (3) 先 化 简 ， 再 求 导xx xxy 11ln21 22 22 22 1 )1(ln21 xx xx ),1ln( 2 xx )1(11 22 xxxxy 分 母 有 理 化 112 211 22 xxxx .112 x 2. 若 )(uf 在 0u 不 可 导 ， )(xgu 在 0 x 可 导 ，且 ),( 00 xgu 则 )( xgf 在 0 x 处 ( ) .(1) 必 可 导 ； (2) 必 不 可 导 ； (3) 不 一 定 可 导 .解 (3) .(1) 例 |)( uuf 在 0u 处 不 可 导 ，xxgu sin)( 在 0 x 处 不 可 导 ，|sin|)( xxgf 在 0 x 处 不 可 导 ; 解 (2) 例 |)( uuf 在 0u 处 不 可 导 ，4)( xxgu 在 0 x 处 可 导 ，44 |)( xxxgf 在 0 x 处 可 导 .完 3. 幂 函 数 在 其 定 义 域 内 ( ).(1) 必 可 导 ； (2) 必 不 可 导 ； (3) 不 一 定 可 导 .解 (3) (1) 例 ),(,)( 32 xxxf在 0 x 处 不 可 导 ；(2) 例 ),(,)( 2 xxxf在 定 义 域 内 处 处 可 导 . 完 作 业Page 97 Ex. 1 (单 号 题 ) Ex. 4 (单 号 题 ) Ex. 5 (单 号 题 ) Ex. 6, Ex. 11, Ex. 12 2.3 导 数 的 应 用 瞬 时 变 化 率 质 点 的 垂 直 运 动 模 型 经 济 学 中 的 导 数 三 、 经 济 学 中 的 导 数 1、 边 际 分 析在 经 济 学 中 , 函 数 的 导 函 数 称 为 边 际 函 数 .设 函 数 )(xfy 可 导 ,函 数 的 增 量 与 自 变 量 增 量 的比 值 x xfxxfxy )()( 00 表 示 )(xf 在 ),( 00 xxx 内 的 平 均 变 化 率 (速 度 ).根 据 导 数 的 定 义 ,导 数 )( 0 xf 表 示 )(xf 在 点 0 xx 处 的 变 化 率 ,在 经 济 学 中 ,称 其 为 )(xf 在 点 0 xx 处 的 边 际 函 数 值 .当 函 数 的 自 变 量 x从 0 x 改 变 一 个 单 位 (即 )1x时 , 函 数 的 增 量 为 )()1( 00 xfxf 但 当 x改 变 的 “ 单 位 ” 很 小 时 ,或 x 的 “ 一 个 单 位 ” 与0 x 值 相 对 来 比 很 小 时 , 则 有 近 似 式 ),()()1( 000 xfxfxf 它 表 明 :当 自 变 量 在 0 x 处 产 生 一 个 单 位 的 改 变 时 ,函 数 )(xf 的 改 变 量 可 近 似 地 用 )( 0 xf 来 表 示 .经 济 学 中 , 解 释 边 际 函 数 值 的 具 体 意 义 时 ,去 “ 近 似 ” 二 字 . 在通 常 略例 如 ,设 函 数 ,2xy 则 ,2xy 边 际 函 数 值 ,20)10( y 它 表 示 当 10 x 时 ,变 一 个 单 位 , y(近 似 )改 变 20个 单 位 .在 点 10 x 处 的x改 边 际 收 入 与 边 际 利 润在 估 计 产 品 销 售 量 x时 ,给 产 品 所 定 的 价 格 )(xP称 为 价 格 函 数 ,可 以 期 望 )(xP 应 是 x的 递 减 函 数 .于 是 收 入 函 数 )()( xxPxR 利 润 函 数 )()()( xCxRxL )( xC 是 成 本 函 数 )收 入 函 数 的 导 数 )(xR 称 为 边 际 收 入 函 数 ;利 润 函 数 的 导 数 )(xL 称 为 边 际 利 润 函 数 .为 求 最 大 利 润 ,令 )(xL 0)()( xCxR )()( xCxR 例 4 设 某 产 品 的 需 求 函 数 为 ,1001000 Px 求 量 300 x 时 的 总 收 入 , 平 均 收 入 和 边 际 收 入 .解 销 售 x件 价 格 为 P的 产 品 收 入 为 ,)( xPxR 由 需 求 函 数 Px 1001000 xP 01.010代 入 得 总 收 入 函 数 .01.010)01.010()( 2xxxxxR 平 均 收 入 函 数 为 .01.010)()( xxxRxR 边 际 收 入 函 数 为 .02.010)01.010()( 2 xxxxR 求 当 需 平 均 收 入 为 ,730001.010)300( R边 际 收 入 为 .430002.010)300( R当 300 x 时 的 总 收 入 为 ,210030001.030010)300( 2 R 2、 弹 性 分 析前 面 所 引 入 的 边 际 函 数 的 概 念 实 际 上 是 研 究 函 数的 绝 对 改 变 量 与 绝 对 变 化 率 ,经 济 学 中 常 需 研 究 一个 变 量 对 另 一 个 变 量 的 相 对 变 化 情 况 ,为 此 引 入 下面 定 义 .定 义 设 函 数 )(xfy 可 导 ,函 数 的 相 对 改 变 量)( )()( xf xfxxfyy 与 自 变 量 的 相 对 改 变 量 ,/ xx yyxx 之 比 称 为 函 数)(xf 从 x 到 xx 两 点 间 的 弹 性 (或 相 对 变 化 率 ). 而 极 限 xx yyx /lim0 称 为 函 数 )(xf 在 点 x 的 弹 性 (或相 对 变 化 率 ),记 为 xx yyEE xxy /lim0 yxxyx 0lim .yxy 或 灵 敏 度 .数 值 上 , )(xfExE 表 示 )(xf 在 点 x处 ,的 改 变 时 ,函 数 )(xf 近 似 地 改 变 )%,(xfExE 当 x产 生 1%用 问 题 中 解 释 弹 性 的 具 体 意 义 时 , 通 常 略 去 “ 近 似 ”二 字 . 在 应注 :函 数 )(xf 在 点 x 的 弹 性 ExEy反 映 随 x的 变 化 )(xf变 化 幅 度 的 大 小 ,即 )(xf 对 x变 化 反 应 的 强 烈 程 度 例 如 , 求 函 数 xy 23 在 3x 处 的 弹 性 .解 ,2y yxyExEy ,23 2 xx 3xExEy 323 32 .3296 完 需 求 弹 性设 需 求 函 数 ),(PfQ 这 里 P 表 示 产 品 的 价 格 .是 ,可 具 体 定 义 该 产 品 在 价 格 为 P时 的 需 求 弹 性 如)(P PP QQP /lim0 QPPQP 0lim )( )(Pf PfP 当 P 很 小 时 , )( )(Pf PfP ,)( PQPf P 故 需 求 弹 性 近 似 地 表 示 在 价 格 为 P 时 , 价 格 变 动1%,需 求 量 将 变 化 %, 通 常 也 略 去 “ 近 似 ” 二 字 .于下 :注 : 一 般 地 ,需 求 函 数 是 单 调 减 少 函 数 ,需 求 量 随 价格 的 上 涨 而 减 少 (当 ),0P 时 , 0Q 故 需 求 弹 性 注 : 一 般 地 ,需 求 函 数 是 单 调 减 少 函 数 ,需 求 量 随 价格 的 上 涨 而 减 少 (当 ),0P 时 , 0Q 故 需 求 弹 性一 般 是 负 值 ,它 反 映 产 品 需 求 量 对 价 格 变 动 反 应 的强 烈 程 度 (灵 敏 度 ). 完 例 6 设 某 种 商 品 的 需 求 量 x与 价 格 P的 关 系 为.411600)( PPQ (1) 求 需 求 弹 性 );(P(2) 当 商 品 的 价 格 10P (元 )时 , 再 上 涨 1%,品 需 求 量 变 化 情 况 .解 (1) 需 求 弹 性 为)( )()( PQ PQPP PPP 411600 41ln411600PPP 411600 41160041ln P 求 该 商P)2ln2( .39.1 P 需 求 弹 性 为 负 ,说 明 商 品 价 格 P上 涨 1%时 ,商 品 需 求Q 将 减 少 1.39%.量这 表 示 价 格 10P (元 )时 , 价 格 上 涨 1%, 商 品 的 需 求若 价 格 降 低 1%,加 13.9%.(2)当 商 品 价 格 10P (元 )时 , ,9.131039.1)10( 13.9%.量 将 减 少 商 品 的 需 求 量 将 增 内 容 小 结1. 边 际 函 数 函 数 的 变 化 率函 数 )(xfy 在 0 xx 处 的 边 际 函 数 值 为.lim)( 00 xyxf x 函 数 )(xfy 在 ),( 00 xxx 内 的 平 均 变 化率 为 ;xy2. 函 数 的 弹 性 函 数 的 相 对 变 化 率函 数 )(xfy 在 点 x 的 弹 性 .limlim 00 yxyyxxyxx yyExEy xx 它 反 映 了 )(xf 对 x变 化 反 应 的 强 烈 程 度 或 灵 敏 度 . 作 业Page 102 Ex. 1 Ex. 6 Ex. 9 2.4 高 阶 导 数 高 阶 导 数 的 定 义定 义 如 果 函 数 的 导 数 在 点 处 可 导 ,)(xf )(xf x即 x xfxxfxf x )()(lim)( 0存 在 ,则 称 为 函 数)( xf )(xf 在 点 处 的 二 阶x记 为导 数 ,二 阶 导 数 的 导 数 称 为 三 阶 导 数 ,记 为),(xf ,y .33dxyd),(xf ,y 或 .)(22dx xfd22dxyd 一 般 地 , 的 阶 导 数 的 导 数 称 为 的)(xf 1n )(xf n阶 导 数 ,记 为 ),()( xf n ,)(ny nndxyd .)(nndx xfd或相 应 地 , )(xf 称 为 零 阶 导 数 ; )(xf 称 为 一 阶 导 数 .注 : 二 阶 和 二 阶 以 上 的 导 数 统 称 为 高 阶 导 数 .完 计 算 高 阶 导 数 的 方 法1. 直 接 法 : 由 高 阶 导 数 的 定 义 逐 步 求 高 阶 导 数 .例 如 , ,baxy 则 有,ay ,0y ).3(0, )( ny n,xey 通 过 导 数 的则 有,xey ,xey ,xey ).3(, )( ney xn一 般 地 , xn ey )(2. 间 接 法 : 利 用 已 知 的 高 阶 导 数 公 式 ,四 则 运 算 ,变 量 代 换 等 方 法 ,求 出 n阶 导 数 .见 例 7 -例 8. 完 例 2解 设 ,arctan)( xxfy ,1 1 2xy 21 1xy ,)1( 2 22xx( )xy x 2 221 ,)1( )13(2 322xx 0322 )1( )13(2)0( xxxf .2 完求 ).0(f 例 4 设 ( ),ay x a R 求 ( ).ny解 ( ) ( 1) ( 1) ( 1),n a ny a a a n x n 若 a 为 自 然 数 ,n 则( ) ( )( ) !,n n ny x n ( 1) ( !) 0.ny n ,1 aaxy ,)1()( 21 aa xaaaxy ,)2)(1()1( 32 aa xaaaxaay 例 5 设 ln(1 ),y x 求 ( ).ny解 (4) 43! ,(1 )y x ( ) 1 ( 1)!( 1) (1 )n n nny x ( 1,0! 1).n 完,1 1 xy ,)1( 1 2xy ,)1( !2 3xy 例 6解 yy ,22sin2 kxky kxkcos ,2sin kxk)( y 22sin2 kxk 2cos2 kxk)( y 22cos3 kxk求 siny kx , 求 .)(ny ,23sin3 kxk )(ny ,2sin nkxkn即 .2sin nkxkn)()(sin nkx同 理 可 得 )()(cos nkx .2cos nkxkn 完 常 用 初 等 函 数 的 高 阶 导 数 公 式aaa nxnx ln)( )( ),0( a xnx ee )()( )2sin()(sin )( nkxkkx nn )2cos()(cos )( nkxkkx nn .)1()1()( )( nn xnx .)!1()1()(ln )1()( nnn xnx .!)1()1( 1)()( nnn xnx 完(1)(2)(3)(4)(5)(6) 莱 布 尼 茨 公 式高 阶 导 数 的 运 算 法 则设 函 数 )(xu 和 )(xv n具 有 阶 导 数 ,则(1) );()()()( )()()( xvxuxvxu nnn (2) );()( )()( xCuxCu nn (3) );()( )()( baxuabaxu nnn (4) vunnvnuvuvu nnnn )2()1()()( !2 )1()( )()()(! )1()1( nkkn uvvuk knnn .0 )()( nk kknkn vuC 例 7解 设 ,112 xy 求 .)100(y )1)(1( 1 xx ,111121 xx )100(y .)1( 1)1( 12 !100 101101 xx 完112 xy 101101 )1( !100)1( !10021 xx 例 8解 因 为所 以于 是 , 利 用 高 阶 导 数 运 算 法 则 和 已 知 高 阶 导 数 公式 , 得 设 ),321ln( 2xxy 求 .)(ny)321ln( 2xxy ).31ln()1ln( xx )(ny nnnnnn xnxn )31( )!1(3)1()1( )!1()1()1( 11 )()( )31ln()1ln( nn xx .)1( 1)31( 3)1()!1( 1 nnnn xxn 完)(ny 1. 求 函 数 xxy lncos2 的 二 阶 导 数 . 完2. 设 )(xg 连 续 ， 且 ),()()( 2 xgaxxf 求 ).(af 3. 求 函 数 232 xx xy 的 n 阶 导 数 .课 堂 练 习 1. 求 函 数 xxy lncos2 的 二 阶 导 数 .解 x xxxxy 2coslnsincos2 x xxx 2cosln2sin 22cossincos22sinln2cos2 x xx xxx xxxy .cos2sin2ln2cos2 22x xx xxx 完 2. 设 )(xg 连 续 ， 且 ),()()( 2 xgaxxf 求 ).(af 解 )(xg 可 导 ， ).()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf )(xg 不 一 定 存 在 . 故 用 定 义 求 ).(af ax afxfaf ax )()(lim)( ax xfax )(lim)()()(2lim xgaxxgax ).(2 ag 完 3. 求 函 数 232 xx xy 的 n 阶 导 数 .解 )2)(1( 11232 xx xxx x )2)(1( 121 xxx ,1122 xx ( ) ( )( ) n nny x x 2 12 1 11 )1( !)1()2( !)1(2 nnnn x nx n .)1( 1)2( 2!)1( 11 nnn xxn 完 作 业Page 106 Ex. 1 (7) (8) (9) Ex. 5 Ex. 6 2.5 隐 函 数 的 导 数 隐 函 数 的 导 数 对 数 求 导 法 参 数 方 程 表 示 的 函 数 的 导 数 4 ,x dyy e dx 则例 ： 4 44 3( ) 4x xe x x elncos( ),x dyy e dx 则 1cos( )xe ( sin( )xe xe( ) 0f x 已 知 且 可 导 ， 求 下 列例 ： 函 数 的 导 数 .2 ( )(1) ( ) (2) ( )(3) ln (sin ) (4) f xf x xf xf x eln| | _.y x y ， 则 1x 0( ) x yxy e ey y x 思 求 由 方 程 确 定考 ： 的 函 数的 导 数 . 0( 0)( ) xxy e xy y x 求 由 方 程 确例 ： 定 的 函 数的 导 数 . 一 、 隐 函 数 的 导 数定 义 : .)( 称 为 隐 函 数由 方 程 所 确 定 的 函 数 xyy .)( 形 式 称 为 显 函 数xfy 0),( yxF )(xfy 隐 函 数 的 显 化问 题 :隐 函 数 不 易 显 化 或 不 能 显 化 如 何 求 导 ?隐 函 数 求 导 法 则 :用 复 合 函 数 求 导 法 则 直 接 对 方 程 两 边 求 导 . 例 ., 00 x yxdxdydxdyy eexy的 导 数 所 确 定 的 隐 函 数求 由 方 程解 ,求 导方 程 两 边 对 x 0 dxdyeedxdyxy yx解 得 ,yx ex yedxdy ,0,0 yx由 原 方 程 知000 yxyxx ex yedxdy .1 例 2解 在 题 设 方 程 两 边 同 时 对 自 变 量 x求 导 , 得解 得 求 由 方 程 所 确 定 的 函 数1ln yxy在 点 处 的 切 线 方 程 .)(xfy )1,1(M 01 yyxyy 1 2 xyyy在 点 处)1,1(M 111 1 211 yxy 21 于 是 , 在 点 处 的 切 线 方 程 为)1,1(M )1(211 xy即 .032 yx 完 例解 设 ,144 yxyx 求 在 点 处 的 值 .y )1,0(方 程 两 边 对 求 导 得x ,044 33 yyyxyx )1(代 入 1,0 yx 得 ;4110 yxy将 方 程 (1)两 边 再 对 求 导 得x ,04)(12212 3222 yyyyyxyx代 入 ,1,0 yx 4110 yxy .16110 yxy 二 、 对 数 求 导 法问 题 3 2( 1) 1 ( 1),( 4) xx xy xx e 的 求 导 问 题 .xxy tan对 数 求 导 法 先 在 方 程 两 边 取 对 数 ,然 后 利 用 隐 函数 的 求 导 方 法 求 出 导 数 .适 用 于 多 个 函 数 相 乘设 )()()( xvxuxf ),0)( xu 两 边 取 对 数 得),(ln)()(ln xuxvxf )()( xvxu 的 情 形 .指 函 数 和 幂两 边 对 x求 导 得 )( )()()(ln)()( )( xu xuxvxuxvxf xf 从 而 完 .)( )()()(ln)()()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv 例 4解 等 式 两 边 取 对 数 得设 ),0(sin xxy x 求 .yxxy lnsinln 两 边 对 求 导 得x ,1sinlncos1 xxxxyy xxxxyy 1sinlncos .sinlncossin xxxxx x 完 例 5解 在 题 设 等 式 两 边 取 对 数等 式 两 边 对 x求 导 , 得解 得 设 ,)(sin)(cos yx xy 求 .yxyyx sinlncosln .sincossinlncossincosln xxyxyyyyxy .sinlntan cotcosln xyx xyyy 完 例 6解 等 式 两 边 取 对 数 得设 ),1()4( 1)1( 23 xex xxy x 求 .y ,)4ln(2)1ln(31)1ln(ln xxxxy 上 式 两 边 对 求 导 得x ,142)1(3 111 xxxyy .142)1(3 111)4( 1)1( 23 xxxex xxy x 完 例 7解 求 导 数 .xxx xxxy ,lnln xxxx xeexy )ln()ln(1 lnln xxexxey xxxxx x )1(ln1 xxx )1(ln1 xxx 完)(lnln)( xxxxx xxxx .ln)1(ln 1 xxx xxxxx x 三 、 参 数 方 程 表 示 的 函 数 的 导 数若 参 数 方 程 ( )( )x ty t 确 定 与 间 的 函 数 关 系 ,y x 称 此函 数 关 系 所 表 达 的 函 数 为例 如 , 22ty tx ,2xt ,42 222 xxty .2xy 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 . 存 在 问 题 消 参 困 难 或 无 法 消 参 如 何 求 导 ?一 般 地 ,设 )(tx 具 有 单 调 连 续 的 反 函 数设 函 数 ),(tx )(ty 都 可 导 ,且 ,0)( t 则 由复 合 函 数 及 反 函 数 的 求 导 法 则 得).( 1 xy ),(1 xt 则 变 量 与y x构 成 复 合 函 数 关 系,)( )(1 ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 即 .dtdxdtdydxdy 若 函 数 ),(tx )(ty 二 阶 可 导 ,则 dxdtttdtddxdydxddxyd )( )(22 即 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )( )d y t t t tdx t 2( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( )t t t tt t 完 例 8 所 表 示解 求 由 参 数 方 程 )1ln(arctan2ty tx的 函 数 的 导 数 .)(xyy dtdxdtdydxdy 221 11 2 ttt .2t 完 例解 求 由 摆 线 的 参 数 方 程 )cos1( )sin( tay ttax所 表 示 的 函 数 的 二 阶 导 数 .)(xyy dtdxdtdydxdy taa ta cossin ttcos1 sin ),2( Znnt dxdydxddxyd 22 ttdxd cos1 sin dtdxttdtd 1cos1 sin 2)cos1( 1)cos1( 1cos1 1 tatat ).,2( Znnt 完 课 堂 练 习1. 求 由 方 程 )ln(sin yxy 所 确 定 函 数 的二 阶 导 数 .22dxyd2. ,)1( tan2 xxy 求 .y 1.解 求 由 方 程 )ln(sin yxy 所 确 定 函 数 的二 阶 导 数 .22dxyd方 程 两 边 对 x 求 导 得 ),1(1cos yyxyy ,1cos)( 1 yyxy 故 21cos)( 1cos)( yyx yyxy21cos)( sin)(cos)1( yyx yyyxyy .1cos)( sin)(cos)( 32 yyx yyxyyx 2. ,)1( tan2 xxy 求 .y解 一 这 是 幂 指 函 数 ， 用 对 数 求 导 法 ，取 对 数 ， 得 ).1ln(tanln 2xxy 两 边 求 导 ， 得 ,12tan)1ln(sec1 222 xxxxxyy 即 .1 tan2)1ln(sec)1( 222tan2 x xxxxxy x 先 两 边 内 容 小 结1. 隐 函 数 的 导 数隐 函 数 即 由 方 程 0),( yxF 所 确 定 的 函 数).(xfy 直 接 在 方 程 0),( yxF 两 边 对 x求 导 再 解 出 ,y 但 应 注 意 F 对 变 元 y 求 导 时 ，要 利 用 复 合 求 导 法 则 .2. 对 数 求 导 法当 函 数 式 较 复 杂 (含 乘 、 除 、 乘 方 、 开 方 、 幂 指函 数 等 ) 时 ， 在 方 程 两 边 取 对 数 ， 按 隐 函 数 的 求导 法 则 求 导 . 3. 参 数 方 程 确 定 的 函 数 的 导 数设 ,)( )( ty tx 则 ;)( )(ttdtdxdtdydxdy dxdtttdtddxdydxddxyd )( )(22 .)( )()()()( 3 t tttt 作 业Page 110 Ex. 1 (2) (5) Ex. 2 (2) Ex. 3 (1) (3) Ex. 7 (2) Ex. 8 (1) 2.6 函 数 的 微 分 微 分 的 定 义 函 数 可 微 的 条 件 微 分 运 算 法 则 微 分 的 几 何 意 义 及 应 用 一 、 微 分 的 定 义实 例 :正 方 形 金 属 薄 片 受 热 后 面 积 的 改 变 量 .20S x 0 x 0 x,00 xxx 变 到设 边 长 由 20 ,S x正 方 形 面 积 2 20 0( )S x x x .)(2 20 xxx )1( )2(, ;x S 的 线 性 函 数 且 为 的 主 要 部 分 ., 很 小 时 可 忽 略当的 高 阶 无 穷 小 xx :)1( :)2( x x 2)( xxx 0 xx 0 微 分 的 定 义定 义 设 函 数 )(xfy 在 某 区 间 内 有 定 义 , 0 x 及xx 0 在 这 区 间 内 , 如 果 函 数 的 增 量 y)()( 00 xfxxf 可 表 示 为)( xoxAy A( 是 与 x 无 关 的 常 数 ),则 称 函 数 )(xfy 在 点 0 x 可 微 ,记 作 dy或 ),( 0 xdf 并 且 称 xA 为函 数 )(xfy 在 点 0 x 相 应 于 自 变 量 x 的 微 分 ,即 ,xAdy 微 分 dy叫 做 函 数 增 量 y 的 线 性 主 部 . 说 明 : (1) xA xodyy )(1 ,1 ( 0);x (2)(3) )( xodyy 是 比 x 高 价 的 无 穷 小 ;完dy与 y 是 等 价 无 穷 小 ,0A 时 ,当 dyy (线 性 主 部 ).| x 很 小 时 ,当 二 、 可 微 的 条 件定 理 函 数 )(xfy 在 点 0 x 可 微 的 充 要 条 件且 ).( 0 xfA证 必 要 性 )(xfy 在 点 0 x 可 微 , )( xoxAy xxoAxy )( xxoAxy xx )(limlim 00 .A即 函 数 )(xfy 在 点 0 x 可 导 , 且 ).( 0 xfA)(xf 在 点 0 x 可 导 ,是 函 数 充 分 性 )(xfy 在 点 0 x 可 导 , )(lim 00 xfxyx )( 0 xfxy ),()( 0 xxxfy 0 ),0( x ),()( 0 xoxxfy 即 函 数 )(xfy 在 点 0 x 可 微 , 且 ).( 0 xfA 函 数 )(xfy 的 微 分 可 记 为 : )(xdfdy .)( xxf 若 令 xxf )( ,xdx 由 关 系 式 : ),()( 0 xoxxfy 即 ,自 变 量 的 微 分 等 于 自 变 量 的 改 变 量 .从 而 dxxfdy )( ),( xfdxdy 即 , 函 数 的 微 分 与 自 变 量 的 微 分 之 商 等 于 该 函 数的 导 数 .因 此 ,导 数 也 称 为 ” 微 商 ” . 解 因 为 ,2xdxdy 由 题 设 条 件 知所 以 .02.001.012 dy解 求 函 数 3xy 在 2x 处 的 微 分 ;函 数 3
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