第四章电力网络数学模型10.2.27

2021/6/7 1 第 4 章 电 力 系 统 的 数 学 模 型4.1 节 点 导 纳 矩 阵4.2 网 络 方 程 的 解 法4.3 节 点 阻 抗 矩 阵 2021/6/7 2 内 容 提 要v掌 握 根 据 网 络 的 结 构 和 参 数 ， 求 出 节 点 导 纳矩 阵 。v应 用 高 斯 消 去 法 简 化 网 络 ， 求 解 网 络 方 程 。v应 用 支 路 追 加 法 计 算 阻 抗 矩 阵 各 元 素 2021/6/7 3 4.1 节 点 导 纳 矩 阵 电 力 系 统 的 数 学 模 型 主 要 包 括 电 力 网 络 的 模 型 、发 电 机 的 模 型 以 及 负 荷 的 模 型 。 整 个 电 力 系 统 的 稳态 可 以 用 一 组 代 数 方 程 组 来 描 述 。 电 力 网 络 的 运 行状 态 一 般 用 节 点 方 程 来 描 述 。 节 点 方 程 以 母 线 电 压作 为 待 求 量 ， 母 线 电 压 能 唯 一 地 确 定 网 络 的 运 行 状态 。 图 4-1(a) 简 单 电 力 系 统1G T 2G1 2 3 4 2021/6/7 4 一 、 节 点 方 程v在 图 4-1(a)中 ， 略 去 变 压 器 的 励 磁 功 率 和 线 路 电 容 ， 负 荷用 阻 抗 表 示 ， 可 得 到 一 个 有 5个 节 点 （ 包 括 零 电 位 点 ） 和 7条 支 路 的 等 值 网 络 ， 如 图 4-1(b)。1 2 3 41E 2E10y 12y 24y23y 40y34y20y图 4-1（ b）1G T 2G1 2 3 4 2021/6/7 5 v将 接 于 节 点 1和 4的 电 势 源 和 阻 抗 的 串 联 组 合 变 换 成 等 值 的电 流 源 和 导 纳 的 并 联 组 合 ， 便 得 到 图 4-1(c)的 等 值 网 络 。1 2 3 41E 2E10y 12y 24y23y 40y34y20y1 2 3 41I 10y 12y 24y23y 40y34y20y 2I图 4-1(c) 2021/6/7 6 10 1 12 1 2 1( )y V y V V I 20 2 12 2 1 23 2 3 24 2 4( ) ( ) ( ) 0y V y V V y V V y V V 23 3 2 34 3 4( ) ( ) 0y V V y V V 40 4 24 4 2 34 4 3 4( ) ( )y V y V V y V V I 11 1 12 2 1Y V Y V I 21 1 22 2 23 3 24 4 0Y V Y V Y V Y V 32 2 33 3 34 4 0Y V Y V Y V 42 2 43 3 44 4 4Y V Y V Y V I 其 中 和 ， 分 别 称 为 节 点 1和 4的 注 入 电 流 源 。 以 零 电 位 点 作 为 计 算 节 点 电 压 的 参 考 点 ， 根 据 基 尔 霍 夫电 流 定 律 ， 写 出 4个 独 立 节 点 的 电 流 平 衡 方 程 如 下 ：1 10 1I y E 4 40 4I y E 图 4-1(c)上 述 方 程 组 经 过 整理 可 以 写 成 ： （ 4-2） 1 2 3 4 1I 10y 12y 24y23y 40y34y20y 2I 2021/6/7 7 一 般 对 于 有 n个 独 立 节 点 的 网 络 ， 可 以 列 写 n个 独 立 节 点 方 程或 1 111 12 121 22 2 2 2 1 2 nnn n nn n nV IY Y YY Y Y V IY Y Y V I 11 1 12 2 1 1n nYV Y V Y V I 21 1 22 2 2 2n nY V Y V Y V I 1 1 2 2n n nn n nYV Y V Y V I （ 4-3） 记 成 YV =I 2021/6/7 8 矩 阵 Y称 为 节 点 导 纳 矩 阵 。 它 的 对 角 线 元 素 Yii称 为 节 点 i的自 导 纳 ， 其 值 等 于 接 于 节 点 i的 所 有 支 路 导 纳 之 和 。 非 对 角 线 元素 Yij称 为 节 点 i、 j间 的 互 导 纳 ， 它 等 于 直 接 联 接 于 节 点 i、 j间的 支 路 导 纳 的 负 值 。 若 节 点 i、 j间 不 存 在 直 接 支 路 ， 则 有 Yij 0。 由 此 可 知 节 点导 纳 矩 阵 是 一 个 稀 疏 的 对 称 矩 阵 。 YV =I1 111 12 121 22 2 2 21 2 nnn n nn n nV IY Y YY Y Y V IY Y Y V I 2021/6/7 9 如 果 令代 入 （ 4-3） 的 各 式 ， 可 得 ：二 、 节 点 导 纳 矩 阵 元 素 的 物 理 意 义0kV 0jV ( 1,2, , , )j n j k 0,jiik j kVkIY V ( 1,2, , )i n （ 4-6） 当 k i时 ， 网 络 中 除 节 点 i以 外 所 有 节 点 都 接 地 ， 从 节 点 i注入 网 络 的 电 流 同 施 加 于 节 点 i的 电 压 之 比 ， 即 等 于 节 点 i的 自 导纳 Yii。 换 句 话 说 ， 自 导 纳 Yii是 节 点 i以 外 的 所 有 节 点 都 接 地 时 ，节 点 i对 地 的 总 导 纳 。 显 然 ， Yii应 等 于 与 节 点 i相 接 的 各 支 路 导纳 之 和 ， 即 ： 0ii i ijjY y y 说 明 ： 式 中 ， y i0为 节 点 i与 零 电 位 节 点 之 间 的 支 路 导 纳 ； yij为 节点 i与 节 点 j之 间 的 支 路 导 纳 。 2021/6/7 10 当 ki时 ， 网 络 中 除 节 点 k以 外 所 有 节 点 都 接 地 ， 从 节 点 i流入 网 络 的 电 流 同 施 加 于 节 点 k的 电 压 之 比 ， 即 等 于 节 点 k、i之 间 的 互 导 纳 Yik。 在 这 种 情 况 下 ， 节 点 i的 电 流 实 际 上 是自 网 络 流 出 并 进 入 地 中 的 电 流 ， 所 以 Yik应 等 于 节 点 k、 i之间 的 支 路 导 纳 的 负 值 ， 即 ik ikY y0,jiik j kVkIY V ( 1,2, , )i n 2021/6/7 11 （ 3） 不 难 理 解 Yki=Yik 。 若 节 点 i和 k没 有 支 路 直 接 相 联 时 ， 便有 Yki=Yik=0 2021/6/7 12 节 点 导 纳 矩 阵 的 主 要 特 点 是 ：v 导 纳 矩 阵 的 元 素 很 容 易 根 据 网 络 接 线 图 和 支 路 参 数直 观 地 求 得 。v nn阶 对 称 复 数 方 阵v 导 纳 矩 阵 是 稀 疏 矩 阵 。 它 的 对 角 线 元 素 一 般 不 为 零 ，但 在 非 对 角 线 元 素 中 则 存 在 不 少 零 元 素 。 如 果 在 程序 设 计 中 设 法 排 除 零 元 素 的 贮 存 和 运 算 ， 就 可 以 大大 地 节 省 贮 存 单 元 和 提 高 计 算 速 度 。 2021/6/7 13 讨 论 网 络 中 含 有 非 基 准 变 比 的 变 压 器 时 导 纳 矩 阵 元素 的 计 算 。v设 节 点 p、 q间 接 有 变 压 支 路 ， 如 图 4-3所 示 。 根 据 型等 值 电 路 ， 可 以 写 出 节 点 p、 q的 自 导 纳 和 节 点 间 的 互导 纳 分 别 为 ： p q 1:kp q图 4-3 变 压 器 支 路 的 等 值 电 路z zkz1kk 2z1k k1 1 1PP kY kz kz z 2 21 1 1qq kY kz k z k z 1pq qpY Y kz 2021/6/7 14 例 4-1 某 电 力 系 统 的 等 值 网 络 示 于 图 4-2。 已 知 各 元 件 参 数 的 标幺 值 如 下 ： z12=j0.105， k2l=1.05， z45=j0.184， k45=0.96，z24=0.03+j0.08， z23=0.024+j0.065， z34=0.018+j0.05，y240=y420=j0.02， y230=j0.016， y320=j0.016 ， y340=y430=j0.013。试 求 节 点 导 纳 矩 阵 。1 2 3 412z 24z 45z23z 34z420y 430y340y230y 320y 240y 5 2021/6/7 15 1 2 3 412z 24z 45z23z 34z420y 430y340y230y 320y 240y 5解 ： 根 据 上 述 变 压 器 型 等 值 电 路 的 导 纳 矩 阵 元 素 的 计 算 公 式 。 所 以 ， 导 纳 矩阵 元 素 为 ：11 121 1 9.52380.105Y jz j 12 21 21 121 1 9.07031.05 0.105Y Y jk z j 22 230 240 223 24 21 12 21 1 11 1 10.016 0.02 0.024 0.065 0.03 0.08 1.05 0.1059.1085 33.1002Y y y z z k zj j j j jj 23 32 231 1 4.9989 13.53880.024 0.065Y Y jz j 24 42 241 10.03 0.084.1096 10.9589Y Y z jj 33 320 340 23 341 1 1 10.016 0.013 0.024 0.065 0.018 0.0511.3728 31.2151Y y y z zj j j jj 34 43 341 1 6.3739 17.70530.018 0.05Y Y jz j 2021/6/7 16将 以 上 计 算 结 果 排 列 成 导 纳 矩 阵 为 ： 44 430 420 234 24 45 45 21 1 11 1 10.02 0.013 0.018 0.05 0.03 0.08 0.96 0.18410.4835 34.5283Y y y z z k zj j j j jj 45 54 45 451 1 5.66120.96 0.184Y Y jk z j 55 451 1 5.43480.184Y jz j 9.5238 9.10859.0703 9.1085 33.1002 4.9989 13.5388 4.1096 10.958911.3728 31.2151 6.3739 17.70536.3739 17.7053 10.4835 34.5283 5.66125.6612 5.4348j jj j j jY j jj j jj j 2021/6/7 17 三 、 节 点 导 纳 矩 阵 的 修 改v网 络 接 线 改 变 时 ， 节 点 导 纳 矩 阵 也 要 作 相 应 的 修 改 。假 定 在 接 线 改 变 前 导 纳 矩 阵 元 素 为 ， 接 线 改 变 以后 应 修 改 为 。 现 在 就 几 种 典 型 的 接 线 变 化 ，说 明 修 改 增 量 的 计 算 方 法 。 (0)ijY(0)ij ij ijY Y Y （ 1） 从 网 络 的 原 有 节 点 i引 出 一 条 导 纳 为 yij的 支 路 ， 同 时 增加 一 个 节 点 k， 见 图 4-4(a)。 由 于 节 点 数 加 1， 导 纳 矩 阵 将 增加 一 行 一 列 。 新 增 的 对 角 线 元 素 Ykk = yik。 新 增 的 非 对 角 线 元素 中 ， 只 有 Yik = Yki =-yik， 其 余 的 元 素 都 为 零 。 矩 阵 的 原 有部 分 ， 只 有 节 点 i的 自 导 纳 应 增 加 Yii=yik。i kyik图 4-4（ a） 2021/6/7 18 （ 2） 在 网 络 的 原 有 节 点 i、 j之 间 增 加 一 条 导 纳 为 yij的 支 路 见图 4-4(b)。 由 于 只 增 加 支 路 不 增 加 节 点 ， 故 导 纳 矩 阵 的 阶次 不 变 。 因 而 只 要 对 与 节 点 i、 j有 关 的 元 素 分 别 增 添 以 下的 修 改 增 量 即 可 ， 其 余 的 元 素 都 不 必 修 改 。 即ii jj ijY Y y ij ji ijY Y y i kyik图 4-4（ a） ji yij图 4-4（ b） 2021/6/7 19 （ 3） 在 网 络 的 原 有 节 点 i、 j之 间 切 除 一 条 导 纳 为 yij的 支 路 。这 种 情 况 可 以 当 作 是 在 i、 j节 点 间 增 加 一 条 导 纳 为 -yij的 支路 来 处 理 ， 因 此 ， 导 纳 矩 阵 中 有 关 元 素 的 修 正 增 量 为 ：ii jj ijY Y y ij ji ijY Y y 其 他 的 网 络 变 更 情 况 ， 可 以 仿 照 上 述 方 法 进 行 处 理 ， 或 者直 接 根 据 导 纳 矩 阵 元 素 的 物 理 意 义 ， 导 出 相 应 的 修 改 公 式 。ji yij图 4-4（ b） 2021/6/7 20 例 4-2 在 例 4-1的 电 力 系 统 中 ， 将 接 于 节 点 4、 5之 间 的 变 压器 的 变 比 由 k45 = 0.96， 调 整 为 k 45 =0.98， 试 修 改 节 点导 纳 矩 阵 。1 2 3 412z 24z 45z23z 34z420y 430y340y230y 320y 240y 5 2021/6/7 21 p q 1:kp q图 4-3 变 压 器 支 路 的 等 值 电 路z zkz1kk 2z1k k1 1 1PP kY kz kz z 2 21 1 1qq kY kz k z k z 1pq qpY Y kz 解 ： 将 节 点 p、 q之 间 的 变 压 器 的 变 比 由 k调 整 为 k ， 相 当 于先 切 除 变 比 为 k的 变 压 器 再 接 入 变 比 为 k 的 变 压 器 ， 所 以与 节 点 p、 q有 关 的 导 纳 矩 阵 元 素 的 修 正 增 量 为 ：0ppY 2 21 1qqY k z k z 1 1pq qpY Y kz kz 2021/6/7 22 将 上 述 关 系 式 用 于 节 点 4和 5， 可 得 ：55 0Y 44 2 2 2 245 45 45 451 1 1 1 0.23820.98 0.184 0.96 0.184Y jk z k z j j 45 4545 451 1 1 1 0.011550.98 0.184 0.96 0.184pq qpY Y jk z j jk z 因 此 ， 在 修 改 后 的 节 点 导 纳 矩 阵 中 Y 44 =10.4853一 j34.5283+j0.2382 = 10.4835 j34.2901 Y45 = Y54 =j5.6612 j0.1155 = j5.5457其 余 的 元 素 都 保 持 原 值 不 变 。 2021/6/7 23 四 、 支 路 间 存 在 互 感 时 的 节 点 导 纳 矩 阵v如 图 4-5(a)所 示 ， 两 条 支 路 分 别 接 于 节 点 p、 q之 间 和节 点 r、 s之 间 ， 支 路 的 自 阻 抗 分 别 为 zpq和 zrs， 支 路 间的 互 感 阻 抗 为 zm， 并 以 小 黑 点 表 示 互 感 的 同 名 端 。v考 虑 支 路 之 间 的 互 感 时 如 何 求 出 节 点 导 纳 矩 阵 ？P q r s pqI rsI pqz rsz mz图 45（ a） 2021/6/7 24 常 用 的 方 法 是 采 用 一 种 消 去 互 感 的 等 值 电 路 来 代 替 原 来的 互 感 线 路 组 ， 然 后 就 按 等 值 电 路 来 计 算 节 点 导 纳 矩 阵 的 元素 。 因 为 这 两 条 支 路 的 电 压 方 程 可 用 矩 阵 表 示 如 下 ：pr qspqyrsymy mymy my图 45（ b） pq mp q pqm rsr s rsz zV V Iz zV V I pq mpq p qm rsrs r sy yI V Vy yI V V 或 写 成 （ 4-9）（ 4-10）上 式 中 的 导 纳 矩 阵 是 阻 抗 矩 阵 的 逆 ， 其 元 素 为 ： 2rspq rs pq mzy z z z 2pqrs rs pq mzy z z z 2mm rs pq mzy z z z 2021/6/7 25 将 式 （ 4-10） 展 开 ， 并 作 适 当 改 写 ， 可 得 ： （ 4-11）( ) ( ) ( )pq pq p q m p s m p rI y V V y V V y V V ( ) ( ) ( )rs rs r s m r q m r pI y V V y V V y V V 根 据 方 程 式 （ 4-11） 可 作 出 消 互 感 等 值 电 路 如 图 4-5（ b）所 示 。 在 实 际 的 电 力 系 统 中 ， 互 感 线 路 常 有 一 端 接 于 同 一 条 母 线 。若 pq支 路 和 rs支 路 的 节 点 p和 r接 于 同 一 条 母 线 ， 则 在 消 互 感 等值 电 路 中 ， 将 节 点 p和 r接 在 一 起 即 可 ， 所 得 的 三 端 点 等 值 电 路 。 2021/6/7 26 4.2 网 络 方 程 的 解 法一 、 用 高 斯 消 去 法 求 解 网 络 方 程 前 面 已 知 一 个 电 力 系 统 的 稳 态 可 以 用 一 组 代 数 方 程组 来 描 述 。 如 用 节 点 方 程 来 描 述 。 高 斯 消 去 法 是 直 接 求解 线 性 方 程 组 的 有 效 方 法 ， 所 以 在 电 力 系 统 分 析 中 ， 网络 方 程 常 采 用 高 斯 消 去 法 求 解 。 高 斯 消 去 法 分 为 按 列 消元 按 行 回 代 的 算 法 和 按 行 消 元 并 进 行 规 格 化 的 算 法 二 种（ 见 附 录 II ） 。 对 于 导 纳 型 的 节 点 方 程 ， 高 斯 消 去 法 还 具 有 十 分 明确 的 物 理 意 义 。 消 去 法 实 际 上 就 是 带 有 节 点 电 流 移 置 的星 网 变 换 （ 见 附 录 ） 。 2021/6/7 27 附 录 II 高 斯 消 去 法 2021/6/7 28 2021/6/7 29 2021/6/7 30 k次 消 元 后 2021/6/7 31 n 1次 消 元 后 2021/6/7 32 附 录 III 星 网 变 换变 换 前 后 ， 节 点 电 压 分 布 不 变 。自 网 络 外 部 流 向 该 节 点 电 流 不 变 2021/6/7 33 多 支 路 星 形 网 形 逆 变 换 不 成 立网 络 的 等 值 变 换 无 源 网 络 的 星 网 变 换 mimk k mk kjiij ZZZZZ ZZZZ 11111 1211 1 mijiij YYYYY YYYY 21 / n 参 考 p254附 录 3 2021/6/7 34 2021/6/7 35 现 在 我 们 用 按 列 消 元 的 算 法 求 解 方 程 组 （ 4 3） ， 完 成 第 一次 消 元 后 可 得 ：2(1) (1) (1)2n nn nnY V Y V I 11 1 12 2 1 1n nYV Y V Y V I 22 2 2(1) (1) (1)2 n nY V Y V I （ 4-12）说 明 ： 通 过 消 元 运 算 对 原 方 程 组 中 第 2 n个 方 程 式 的 系 数 和 右端 项 所 作 的 修 正 ， 恰 好 反 映 了 带 电 流 移 置 的 星 网 变 换 的 结 果 。 根 据 导 纳 矩 阵 元 素 的 定 义 ：可 见 ， 节 电 i的 电 流 增 量 恰 等 于 从 节 点 1的 电 流 中 移 置 过 来 的 部 分 见 附 录 公 式 -7。 式 中 1 1(1) 11i jij ij Y YY Y Y (1) 1 111ii i YI I IY )1(12 111111 ink kii IIyyIYY 2021/6/7 36 系 数 矩 阵 非 对 角 线 元 素 的 修 正 增 量 ：正 好 等 于 星 网 变 换 后 在 节 点 i、 j新 增 导 纳 的 负 值 见 公式 -1。对 角 线 元 素 的 修 正 增 量 ： 1 1 1 111 12( )( )i j i j ijn kkY Y y y yY y 1 1 1 1 1 1 1 12 2 211 1 12 2 ( )n n ni i i i i k k i ikn n k k kk i k ik kk kY Y y y y y y y yY y y 恰 好 就 是 星 网 变 换 后 ， 新 接 入 节 点 i的 支 路 导 纳 （ 取 正值 ） 和 被 拆 去 的 支 路 导 纳 （ 取 负 值 ） 的 代 数 和 。 2021/6/7 37 v因 此 ， 式 （ 4-12） 中 的 第 2 n式 恰 好 是 消 去 节 点 1后 网 络的 节 点 方 程 ， 对 方 程 式 （ 4-12） 再 作 一 次 消 元 ， 其 系 数 矩阵 便 演 变 为 ： 222 33 3 3 111 12 13 (1)(1) (1)23(2) (2)(2) (2) (2)nnn nnnYY Y Y YY YY YY Y Y 2(1) (1) (1)2n nn nnY V Y V I 11 1 12 2 1 1n nY V Y V Y V I 22 2 2(1) (1) (1)2 n nY V Y V I （ 4-12） 2021/6/7 38 一 般 地 ， 作 了 k次 消 元 后 所 得 系 数 矩 阵 为 Y(k)。 式 中 ，右 下 角 的 n-k阶 子 块 是 作 完 消 去 节 点 1， 2， ， k的 星网 变 换 后 所 的 网 络 的 节 点 导 纳 矩 阵 。1, 1 1, , 111 1, 1 1( ) ( )( ) ( ) ( )k k k nn k nnk nk kk k kY Y YY YY Y Y L LO M MLM ML 2021/6/7 39 对 于 n阶 的 网 络 方 程 ， 作 完 n 1次 消 元 后 方 程 组 的系 数 矩 阵 将 变 为 上 三 角 矩 阵 ， 即 ：22 211 12 1 1(1) (1)( 1) ( 1) ( 1)( 1)iii ii nn i innnnY Y Y YY YY Y YY （ 4 13）根 据 附 录 的 公 式 （ 7） ， 矩 阵 Y (n-1)的 元 素 表 达 式 为 ： ( 1) ( 1)1( 1) ( 1)1 k ki ik kjiij ij kk kkY YY Y Y （ 4 14）（ i=1,2, ,n； j =i,i+1, ,n） 2021/6/7 40 v说 明 ： 当 ij时 ， Yij 表 示 网 络 在 原 始 状 态 下 节 点 i和 节 点 j之 间 的 互导 纳 ， 它 等 于 联 接 节 点 i、 j的 支 路 导 纳 的 负 值 ； 而 在 符 号下 的 第 k项 则 代 表 通 过 第 k次 消 元 （ 即 消 去 k号 节 点 的 星 网变 换 ） ， 在 节 点 i、 j间 出 现 的 新 支 路 的 导 纳 。 当 i j时 ， Yii 是 网 络 在 原 始 状 态 下 节 点 i的 自 导 纳 ， 它 等 于与 节 点 i联 接 的 各 支 路 导 纳 值 之 和 ； 而 在 符 号 下 的 第 k项 ，则 表 示 通 过 第 k次 消 元 从 节 点 i拆 去 支 路 的 导 纳 同 节 点 i新接 人 支 路 的 导 纳 之 差 。v星 网 变 换 将 网 络 化 简 并 求 解 的 过 程 ， 就 是 用 高 斯 消 去 法 求解 网 络 方 程 的 过 程 。 ( 1) ( 1)1( 1) ( 1)1 k ki ik kjiij ij kk kkY YY Y Y （ i=1,2,n； j =i,i+1, ,n） 2021/6/7 41 例 4 3 用 星 网 变 换 求 解 图 4 7(a)所 示 的 网 络 。解 ： 第 1步 ， 将 节 点 1的 电 流 分 散 移 置 到 节 点 2、 3和 4，使 这 些 节 点 的 电 流 变 为 ：12 34 y12 y 13y14y24y40 （ a）4I 2I 3I1I 12 34 y12 y13y14y24y40 （ b）)1(44 II )1(22 II )1(33 II 式 中 ， (1) 1 11 111 11 ( 2,3,4)i ii i iY yI I I I I iY Y 411 1 12 13 142 kkY y y y y 2021/6/7 42 12 34 y12 y13y14y24y40 （ a）4I 2I 3I1I 12 34 y12 y13y14y24y40 （ b）)1(44 II )1(22 II )1(33 II 将 支 路 y12、 y13和 y14组 成 的 星 型 电 路 图 （ b） 变 换 成 接 于 节 点 2、3和 4的 三 角 形 电 路 ， 然 后 将 三 角 形 电 路 中 节 点 2、 4间 的 一 条 同 原有 的 支 路 y24合 并 ， 便 得 到 图 4 7(c)所 示 的 网 络 ， 其 中 ： 2 34 y(1)23y40 （ c）y(1)34y(1)24)1(4I )1(2I )1(3I23(1) 12 1311y yy Y 34(1) 14 1311y yy Y 24(1) 12 1424 11y yy y Y 经 过 这 步 变 换 ， 节 点 1被 消 去 ， 网 络 的 独 立 节 点 数 减 为 3个 。 2021/6/7 43 第 2步 ， 将 节 点 2的 电 流 分 散 移 置 到 节 点 3和 4， 使 这 两 个 节点 的 电 流 变 为 ： (1)(2) (1) (2) (1) (1)233 3 3 3 2(1) (1)23 24yI I I I Iy y (1)(2) (1) (2) (1) (1)244 4 4 4 2(1) (1)23 24yI I I I Iy y 然 后 将 和 串 联 之 后 再 同 并 联 得 ：(1) (1)(2) (1) 23 2434 34 (1) (1)24 24y yy y y y (1)23y (1)24y 经 过 变 换 ， 节 点 2被 消 去 ， 网 络 的 独 立 节 点 数 减 为 2个 ， 便 得 到图 4-7(e)所 示 的 网 络 。 2021/6/7 44 然 后 将 支 路 舍 去 ， 便 得 到 只 含 有 一 条 支 路 和 一 个 独 立节 点 的 最 简 网 络 ， 如 图 4 7(f)所 示 。 根 据 已 知 的 电 流 即 可 算 出 节 点 电 压 ， 往 回 利 用 网 络变 换 ， 由 和 即 可 算 出 电 压 ， 由 、 和 即可 算 出 节 点 电 压 ， 最 后 由 原 始 网 络 和 已 知的 、 、 和 便 可 算 出 节 点 1的 电 压 。第 3步 ， 将 节 点 3的 电 流 分 散 移 置 到 节 点 4， 使 节 点 4的 电 流 变 为 ：(3) (2) (3) (2) (2)4 4 4 4 3I I I I I 2 34 y(1)23y40 （ d）y(1)34y(1)24)2(4)1(4 II )2(3)1(3 II 34 y40 （ e）y(2)34)2(4I 4y40 （ f） )3(4)2(4)3(4 III (1)34y (3)4I4V (3)4I 4V 3V (1)2I2V4V 3V 2V 1I 2021/6/7 45 二 、 用 高 斯 消 取 法 简 化 网 络 高 斯 消 取 法 不 仅 用 于 求 解 网 络 方 程 ， 也 是 简 化 网 络的 有 效 方 法 。 利 用 高 斯 消 取 法 简 化 网 络 ， 既 可 以 逐 个 地消 去 节 点 ， 也 可 以 一 次 消 去 若 干 个 节 点 。 设 有 n个 节 点 的 网 络 ， 拟 消 去 其 中 的 1,2, ,m号节 点 ， 保 留 m+1， m+2， ， n号 节 点 。 原 网 络 的 方 程 如 下 ：11 12 1 1, 1 1 1 121 22 2 2, 1 2 2 21 2 , 1 1,1 1,2 1, 1, 1 1, 11 2 , 1m m nm m Nm m mm mm mn m mm m m m m m m n mn n nm nm nn nY Y Y Y Y V IY Y Y Y Y V IY Y Y Y Y V IY Y Y Y Y V IY Y Y Y Y V 1mnI 2021/6/7 46 11 12 1 1, 1 1 1 121 22 2 2, 1 2 2 21 2 , 11,1 1,2 1, 1, 1 1, 11 2 , 1m m nm m Nm m mm m m mn m mm m m m m m m n mn n nm n m nn nY Y Y Y Y V IY Y Y Y Y V IY Y Y Y Y V IY Y Y Y Y V IY Y Y Y Y V 1mnI 或 按 虚 线 所 作 的 分 块 缩 写 成 ：从 （ 4-15） 的 第 一 式 解 出 ：将 其 带 入 第 二 式 ， 经 整 理 得 ： AA AB A ABA BB B BY Y V IY Y V I 1( )A AA A AB BV Y I Y V 1 1( )BB BA AA AB B B BA AA AY Y Y Y V I Y Y I 1 BB BB BA AA ABY Y Y Y Y 1BB B BA AA AI I Y Y I 便 得 : BB B BY V I 2021/6/7 47 v这 就 是 消 去 m个 节 点 后 的 网 络 方 程 ， 其 中 VB为 保 留 节点 电 压 列 向 量 。 由 于 消 去 了 部 分 节 点 ， 网 络 保 留 部 分的 接 线 发 生 了 变 化 ， 同 时 被 消 去 节 点 的 电 流 也 必 须 移置 到 保 留 节 点 上 来 ， 因 此 ， 对 导 纳 矩 阵 的 保 留 部 分 以及 保 留 节 点 的 电 流 都 必 须 作 相 应 的 修 改 。v在 电 力 系 统 中 联 络 节 点 或 浮 游 节 点 的 注 入 电 流 为 零 。如 果 负 荷 用 恒 定 阻 抗 表 示 ， 则 负 荷 节 点 也 属 于 之 一 类节 点 。 消 去 这 类 节 点 时 ， 不 存 在 移 置 节 点 电 流 的 问 题 ，只 需 对 节 点 导 纳 矩 阵 作 缩 减 和 修 改 即 可 。 2021/6/7 48 解 ： 根 据 给 定 条 件 可 以 求 出 原 网 络 的 节 点 导 纳 矩 阵 如 下 ：例 4-4 对 图 4-8（ a） 所 示 的 网 络 ， 是 求 消 去 节 点 1、 2、 3后的 节 点 矩 阵 。 各 支 导 纳 的 标 幺 值 已 注 图 中 。-j0.6671 2 34 5 6-j0.91 -j5.33 -j5.33-j1.05 -j1.04E 5E 6E 图 （ a）6.91 0.667 5.33 0.91 0 00.667 7.05 5.33 0 1.05 05.33 5.33 11.66 0 0 1.0Y 0.91 0 0 0.91 0 00 1.05 0 0 1.05 00 0 1.0 0 0 1.0j j j jj j j jj j j ji jj jj j 2021/6/7 49 1 1(1) 11ij i jij Y YY Y Y (1)22 0.667 0.6677.05 6.9686.91j jY j jj (1) (1)23 32 0.667 5.335.33 5.8456.91j jY Y j jj (1) (1)24 42 0.667 0.91 0.0886.91j jY Y jj (1)33 5.33 5.3311.66 7.556.91j jY j jj (1) (1)34 43 5.33 0.91 0.7026.91j jY Y jj (1)44 0.91 0.910.91 0.796.91j jY j jj （ 一 ） 采 用 逐 个 消 去 节 点 的 算 法（ 1） 消 去 节 点 1， 删 去 Y中 与 节 点 1对 应 的 行 和 列 ， 并 按下 式 修 改 保 留 部 分 的 元 素 。第 5 行 （ 列 ） 和 第 6行 （ 列 ） 的 元 素 都 保 持 原 值 不 变 。 消 去 节 点 1后 网 络 的 节 点 导 纳 矩 阵 如 下 ：(1) 6.986 5.845 0.088 1.05 05.845 7.550 0.702 0 1.0000.088 0.702 0.790 0 01.050 0 0 1.050 00 1.000 0 0 1.000j j j jj j j jY j j jj jj j 与 这 个 矩 阵 对应 的 网 络 示 于图 4-8（ b） 。 2021/6/7 50 (1) (1)2 2(2) (1) (1)22i jij ij Y YY Y Y (2)33 5.845 5.8457.55 2.6606.986j jY j jj (2) (2)34 43 5.845 0.0880.702 0.7766.986j jY Y j jj (2) (2)35 53 5.845 1.05 0.8786.986j jY Y jj （ 2） 消 去 节 点 2， 删 去 Y（ 1） 中 与 节 点 2对 应 的 行 和 列 ， 并 按下 式 修 改 保 留 部 分 的 元 素 。 (2)44 0.088 0.0880.79 0.7896.986j jY j jj (2) (2)45 54 0.088 1.05 0.01326.986j jY Y jj (2)55 1.05 1.051.05 0.8926.986j jY j jj 2 34 5 6-j0.702-j0.088 -j5.845-j1.05 -j1.04E 5E 6E 图 （ b） 2021/6/7 51 2.660 0.776 0.878 1.0000.776 0.789 0.0132 00.878 0.0132 0.892 01.000 0 0 1.000j j j jj j jY j j jj j 34 5 6-j0.776-j0.0132 -j0.878 -j1.0 图 （ c）4E 5E 6E这 个 导 纳 矩 阵 对 应 的 网 络 示 于 图 4-8（ c） 。 其 余 的 元 素 不 便 ， 缩 减 并 修 改 后 的 导 纳 矩 阵 如 下 ： 2021/6/7 52 （ 3） 消 去 节 点 3， 删 去 Y（ 2） 中 与 节 点 3对 应 的 行 和 列 ， 并按 下 式 修 改 保 留 部 分 的 元 素 。 (2) (2)3 3(3) (2) (2)33i jij ij Y YY Y Y 修 改 保 留 部 分 的 元 素 ， 最 终 得 到 消 去 节 点 1、 2、 3后 网 络的 节 点 导 纳 矩 阵 如 下 ： (3) 4 0.561 0.269 0.2925 0.292 0.602 0.3316 0.292 0.331 0.624j j jY j j jj j j 4 5 6-j0.292-j0269 -j0.3314E 5E 6E 图 （ d）对 应 的 网 络 示 于 图 4-8（ d） 2021/6/7 53 （ 二 ） 三 个 节 点 一 次 消 去 对 原 有 的 节 点 导 纳 矩 阵 按 虚 线 分 块 后 可 写 成 ： 式 中 AA ABBA BBY YY Y Y 6.910 0.667 5.3300.667 7.050 5.3305.330 5.330 11.660AA j j jY j j jj j j 6.910 0 00 1.050 00 0 1.000AB BA jY Y j j 0.910 0 00 1.050 00 0 1.000BB jY j j 2021/6/7 54 先 算 出 的 逆 矩 阵 ：1 0.419 0.282 0.3210.282 0.406 0.3150.321 0.315 0.376AA j j jY j j jj j j 然 后 根 据 公 式 （ 4-16） 即 可 求 得 ：1 0.562 0.270 0.2920.270 0.602 0.3310.292 0.331 0.623BB BB BA AA AB j j jY Y Y Y Y j j jj j j 2021/6/7 55 4.3 节 点 阻 抗 矩 阵一 、 节 点 阻 抗 矩 阵 元 素 的 物 理 意 义v节 点 方 程 也 常 写 成 阻 抗 形 式 ， 即 ： ZI = V式 中 ， Z=Y-1是 n阶 方 阵 ， 称 为 网 络 的 节 点 阻 抗 矩 阵 。 方 程 可 展 开写 成 ： 11 12 1 1 121 22 2 2 21 2 nnn n nn n nZ Z Z I VZ Z Z I VZ Z Z I V 0 kI 0jI ( j =1， 2， ， n ， jk )0,jiik k I j kVZ I 代 入 （ 4-20） 的 各 式 ， 可 得 ： （ 4-21） 现 在 讨 论 自 阻 抗 和 互 阻 抗 的 物 理 意 义 。 如 果 令 ： 2021/6/7 56 说 明 ： 自 阻 抗 Zkk等 于 当 在 节 点 k单 独 注 入 电 流 ， 而 所 有 其 他 节 点 的注 入 电 流 都 等 于 零 时 ， 在 节 点 k产 生 的 电 压 同 注 入 电 流 之比 ； 因 此 ， Zkk可 以 当 作 是 从 节 点 走 向 整 个 网 络 看 进 去 的 对 地总 阻 抗 。 互 阻 抗 Zik等 于 在 节 点 i产 生 的 电 压 同 节 点 k的 注 入 电 流 之 比 。 因 为 连 通 的 电 力 网 络 的 各 部 分 之 间 存 在 着 电 的 或 磁 的 联 系 ，所 以 单 独 在 节 点 k注 入 电 流 ， 总 会 在 任 一 节 点 i出 现 电 压 ， 因此 ， 阻 抗 矩 阵 没 有 零 元 素 ， 是 一 个 对 称 复 数 满 矩 阵 。 由 于 节 点 阻 抗 矩 阵 元 素 的 计 算 是 相 当 复 杂 的 ， 不 可 能 从 网络 的 接 线 图 和 支 路 参 数 直 观 求 出 。 因 此 目 前 常 用 的 求 取 阻 抗 矩 阵 的 方 法 主 要 有 两 种 ： 一 种是 以 上 述 物 理 概 念 为 基 础 的 支 路 追 加 法 ； 另 一 种 是 从 节 点 导纳 矩 阵 求 取 逆 阵 。 2021/6/7 57 二 、 用 支 路 追 加 法 形 成 节 点 阻 抗 矩 阵v 支 路 追 加 法 是 根 据 系 统 的 接 线 图 ， 从 某 一 个 与 地 相 连 的 支 路 开 始 ，逐 步 增 加 支 路 ， 扩 大 阻 抗 矩 阵 的 阶 次 ， 最 后 形 成 整 个 系 统 的 节 点阻 抗 矩 阵 。v 注 意 ： 第 一 条 支 路 必 须 是 接 地 支 路 ， 以 后 每 次 追 加 的 支 路 必 须 至 少 有 一个 端 点 同 已 出 现 的 节 点 相 接 。 新 增 支 路 引 出 一 个 新 节 点 的 情 况 称 为 追 加 树 支 ； 在 已 有 的 两 个 节 点 间 增 加 新 支 路 的 情 况 称 为 追 加 连 支 。 追 加 树 支 时 节 点 数 增 加 一 个 ， 阻 抗 矩 阵 便 相 应 地 扩 大 一 阶 。 追 加连 支 时 网 络 的 节 点 数 不 变 ， 阻 抗 矩 阵 阶 次 不 变 。 在 支 路 追 加 过 程 中 ， 阻 抗 矩 阵 元 素 的 计 算 和 修 正 始 终 是 以 自 阻 抗和 互 阻 抗 的 定 义 作 依 据 的 。 假 定 用 支 路 追 加 法 已 形 成 有 p个 节 点 的网 络 以 及 相 应 的 p阶 节 点 阻 抗 矩 阵 。 下 面 分 别 按 不 同 的 情 况 ， 推 到 支 路 追 加 过 程 中 阻 抗 矩 阵 元 素 的 计 算 公 式 。 2021/6/7 58 2021/6/7 59 1 追 加 树 枝从 已 有 的 节 点 i 接 上 一 条 阻 抗 为 ziq的 支 路 ， 引 出 新 节 点 q（ 见 图 4-10） 。 这 使 网 络 的 节 点 阻 抗 矩 阵 扩 大 一 阶 ， 由 原 来的 p 阶 变 为 p+1=q 阶 。 设 新 的 阻 抗 矩 阵 为 ：现 在 讨 论 阻 抗 矩 阵 中 各 元 素 的 计 算 。 阻 抗 矩 阵 中 对 应 于 网 络 原 有 部 分 的 全 部 元 素 （ 即 矩 阵 中 虚线 左 上 方 部 分 ） 将 保 持 原 有 数 值 不 变 。i qz iq图 4-10 追 加 树 枝 qqqpqiqq pqpppipp iqipiii qpi qpi ZZZZZ ZZZZZ ZZZZ ZZZZZ ZZZZZ 21 211 2222221 1111211q iV V qm m im mZ I Z I 或 2021/6/7 60 故 有 qm imZ Z （ m=1， 2， ， p） 另 一 方 面 ， 当 节 点 q单 独 注 入 电 流 时 ， 从 网 络 原 有 部 分 看 来 ，都 与 从 节 点 i注 入 一 样 ， 所 以 有这 时 节 点 q的 电 压 为 ：由 此 可 得 ： q iq q i iq q ii q qq qV z I V z I Z I Z I mq miZ Z （ m=1， 2， ， p） qq iq iiZ z Z 矩 阵 中 新 增 加 的 第 q行 和 第 q列 元 素 可 以 这 样 求 得 。 网 络 中任 一 节 点 m单 独 注 入 电 流 时 ， 因 支 路 ziq中 没 有 电 流 ， 节 点 q和 节 点 i的 电 压 应 相 等 ， 即 qqqpqiqq pqpppipp iqipiii qpi qpi ZZZZZ ZZZZZ ZZZZ ZZZZZ ZZZZZ 21 211 2222221 1111211 2021/6/7 61 v结 论 ： 当 增 加 一 条 树 支 时 ， 阻 抗 矩 阵 的 原 有 部 分 保 持不 变 ， 新 增 的 一 行 （ 列 ） 各 非 对 角 线 元 素 分 别 与 引 出该 树 支 的 原 有 节 点 的 对 应 行 （ 列 ） 各 元 素 相 同 。 而 新增 的 对 角 元 素 则 等 于 该 树 支 的 阻 抗 与 引 出 该 树 支 的 原有 节 点 的 自 阻 抗 之 和 。 如 果 节 点 i是 参 考 点 （ 接 地 点 ） ， 则 称 新 增 支 路 为 接 地 树支 。 由 于 恒 有 ， 根 据 自 阻 抗 和 互 阻 抗 的 定 义 得 ：0iV 0 ( 1,2, , )mq qmz z m p qq iqz z 2021/6/7 62 2.追 加 连 支 在 已 有 的 节 点 k和 m节 点 之 间 追 加 一 条 阻 抗 为 zkm的 连 支 。 由于 不 增 加 新 节 点 ， 故 阻 抗 矩 阵 的 阶 次 不 变 。 如 果 原 有 各 节 点 的注 入 电 流 保 持 不 变 ， 那 么 连 支 zkm的 接 入 将 改 变 网 络 中 的 电 压 分布 状 况 。 因 此 ， 我 们 从 计 算 接 入 连 枝 后 的 网 络 电 压 分 布 入 手 。对 原 有 矩 阵 的 各 元 素 都 要 作 相 应 的 修 改 。 如 果 保 持 各 节 点 注 入 电 流 不 变 ， 连 支 zkm的 接 入 对 原 有 部 分 的影 响 在 于 ， k和 m的 注 入 电 流 分 别 从 和 改 变 为 和 。 这 时 网 络 中 任 意 节 点 i 的 电 压 可 以 利 用 原 阻 抗矩 阵 元 素 写 出 ： m图 4 11 追 加 连 支 kkIkmIkmz mIm kmI I k kmI I kI mIm kmI I k kmI I 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )pi i i ik k km im m km ip p ij j ik im kmjV Z I Z I Z I I Z I I Z I Z I Z Z I 2021/6/7 63 现 在 设 法 用 节 点 注 入 电 流 来 表 示 ， 从 而 消 去 上 式 中的 ， 便 可 求 的 新 的 阻 抗 矩 阵 元 素 的 计 算 公 式 。方 程 式 （ 4-25） 对 任 何 节 点 都 成 立 ， 将 它 用 于 节 点 k和 m节 点 便得 ： kmIkmI 1 ( )pk kj j kk km kmjV Z I Z Z I 1 ( )pm mj j mk mm kmjV Z I Z Z I k m km kmV V z I 而 阻 抗 为 zkm的 连 支 的 电 压 方 程 为 ：将 和 的 表 达 式 代 入 上 式 ， 可 解 出kV mV 11 ( )2 pkm kj mj jjkk mm km kmI Z Z IZ Z Z z 2021/6/7 64 ( , 1,2, , )ijZ i j p 将 代 入 式 （ 4-25） ， 经 过 整 理 便 得 ：1 1( )( ) 2p pik im kj mji ij j ij jj jkk mm km kmZ Z Z ZV Z I Z IZ Z Z z 于 是 有 ： ( )( ) ( , 1,2, , )2ik im kj mjij ij kk mm km kmZ Z Z ZZ Z i j pZ Z Z z （ 4-26）其 中 ， 为 连 支 接 入 前 的 原 有 值 。 2021/6/7 65 l如 果 连 支 所 接 的 节 点 中 ， 有 一 个 是 零 电 位 点 ， 例 如 m为 接 地 点 ，则 称 这 支 连 支 为 接 地 连 支 ， 设 其 阻 抗 为 zk0。l上 述 计 算 公 式 将 变 为 ：l如 果 在 节 点 k、 m之 间 接 入 阻 抗 为 零 的 连 支 ， 这 就 相 当 于 把 节 点 k、m合 并 为 一 个 节 点 。 根 据 公 式 （ 4-26） 可 以 证 明 ， 同 样也 有 。说 明 ， 如 将 节 点 k、 m短 接 ， 经 过 修 改 后 ， 第 k行 （ 列 ） 和 第 m行（ 列 ） 的 对 应 元 素 完 全 相 同 。 只 要 将 原 来 这 两 个 节 点 的 注 入 电 流合 并