第八章第1讲空间几何体及其表面积与体积

抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 第1讲空间几何体及其表面积与体积 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 考 点 梳 理(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做_ ；棱柱两个底面是_，且对应边互相_，侧面都是_(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做_；棱锥底面是_，侧面是有一个公共顶点的_(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做_1 多 面 体 的 结 构 特 征棱柱全等多边形平行平行四边形多边形三角形棱台棱锥 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 (1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做_、_、_；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做_ ，球面围成的几何体叫做_，简称_2 旋 转 体 的 结 构 特 征圆柱圆锥圆台球面球体球3 柱 、 锥 、 台 和 球 的 侧 面 积 和 体 积 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 2rhrl4R 2 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 4. 几 何 体 的 表 面 积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于_侧面积与底面面积之和 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 正 棱 柱 与 正 棱 锥 的 概 念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心【助 学 微 博】 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 一 个 考 情 解 读(1)柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，以上考点以填空题出现，难度不大(2)简单几何体的表面积和体积多以常见几何体考查，主要考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力在近几年的高考题中频繁出现 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 棱柱的面中，至少有两个面互相平行；棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高；棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形答 案考 点 自 测1下列说法正确的是_(填序号) 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 2.(2012南 京 模 拟 )已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为_答 案17 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 3以长方体的各顶点为顶点，能构建四棱锥的个数是_ 解 析设长方体ABCD A1B1C1D1，若点A为四棱锥的顶点，则底面可以为不过点A的矩形A1B1C1D1，矩形BCC1B1，矩形CDD1C1，矩形BB1D1D，矩形BCD1A1，矩形CDA1B1，共有6个不同的四棱锥，8个顶点可以分别作为四棱锥的顶点，共6848(个)不同的四棱锥 答 案48 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 4如图，一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为_(填正确答案的序号)解 析不论怎样去截这个球，都不可能出现这种情况而只要平面沿着正方体的一个对角面去截这个球，就会出现这种情况，所以答案是.答 案 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 5(2012南 通 调 研 )底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为_m2. 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥侧面都是矩形的直四棱柱是长方体底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_考 向 一 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征【例 1】 给出下列四个命题： 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 解 析对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；正确答 案方 法 总 结 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解 析命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的答 案【 训 练 1】 设有以下四个命题： 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 【例 2】 (2012苏 中 三 市 调 研 )如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径， ABD60， BDC45，ADP BAD. (1)求线段PD的长；考 向 二 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考方 法 总 结 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 【例 3】 (1)(2012徐 州 二 模 )设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_(2)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的表面积等于_考 向 三 切 接 问 题 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 方 法 总 结 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 【训 练 3】 (1)(2012课 标 全 国 卷 改 编 )已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为_ 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 1求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解2求几何体的体积问题，有时使用转换底面的方法使其高易求热 点 突 破 20 等 价 与 转 化 在 求 几 何 体 体 积 中 的 应 用 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 【示 例】 (2012苏 北 四 市 调 研 二 )如图，在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形， PAC PBC90.(1)证明：AB PC；(2)若PC4，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC的体积审 题 与 转 化 第一步：第(1)问要证线线垂直，则需转化为证线面垂直；第(2)问求三棱锥PABC的体积，先作BE PC，连接AE，可转化为求以ABE为底，PC为高的两个三棱锥的体积 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 规 范 解 答 第 二 步：(1)因为PAB是等边三角形，所以PBPA.因为 PAC PBC90，PCPC，所以RtPBC RtPAC，所以ACBC.如图，取AB中点D，连接PD、CD，则PD AB，CD AB，又PDCDD，所以AB平面PDC，PC平面PDC，所以AB PC. 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 (2)作BE PC，垂足为E，连接AE.因为RtPBC RtPAC，所以AE PC，AEBE.由已知，平面PAC平面PBC，故 AEB90.因为 AEB90， PEB90，AEBE，ABPB，所以RtAEB RtBEP，所以AEB、PEB、CEB都是等腰直角三角形由已知PC4，得AEBE2，AEB的面积S2.因为PC平面AEB. 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 反 思 与 回 顾 第 三 步：本题难度中档，根据条件作出辅助线是解决本题的关键，作辅助线最常见的方法是应用三角形的中垂线的性质定理，通常在中点、端点作辅助线 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 1(2012上 海 卷 )若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_高 考 经 典 题 组 训 练 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 2(2011福 建 卷 )三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于_ 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 3(2012江 苏 卷 )如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_cm3. 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考答 案6 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 4(2012山 东 卷 )如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_ 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考 抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考