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一 、 映 射 的 概 念第 二 节 映 射 与 函 数二 、 逆 映 射 与 复 合 映 射三 、 函 数 的 概 念四 、 函 数 的 基 本 性 态五 、 小 结 思 考 题 一 、 映 射 的 概 念1.定 义 一 : 设 X 与 Y 是 两 个 非 空 集 合 , 若 对 X中 的 每 一 个 元 素 x, 均 可 找 到 Y 中 唯 一 确 定 的元 素 y 与 之 对 应 , 则 称 这 个 对 应 是 集 合 X 到 集 合 Y 的 一 个 映 射 , 记 为 f , 或 者 更 详 细 地 写YXf :将 x 的 对 应 元 y 记 作 )(:)( xfyxxf 并 称 y 为 映 射 f 下 x 的 像 , 而 x 称 为 映 射 f 下 y 的原 像 (或 称 为 逆 像 ). 集 合 X 称 为 映 射 f 的 定 义 域 ,记 作 XDf , 而 X 的 所 有 元 素 的 像 f (x) 的 集 合,)(,| XxxfyYyy 称 为 映 射 f 的 值 域 , 记 为 )( XfRf 或 例 1 设 A=商 场 中 的 所 有 商 品 , B=商 场 中 商品 九 月 份 的 销 量 , 则 ,ADf 是 一 个 映 射 , BRf )( 九 月 份 的 销 量是 商 品: xyyx BAf 例 2 设 A=1, 2, 3 , B=4, 5, 6, 7 , 则,ADf 是 一 个 映 射 , BRf 6,5,4 6)3(,5)2(,4)1( fff BAf : 有 唯 一确 定 的 y=f (x) 与 之 对 应 . 概 括 起 来 , 构 成 一 个 映 射 必 须 具 备 下 列 三个 基 本 要 素 : ;, 即 定 义 域集 合 XDX f )1( ;, 即 限 制 值 域 的 范 围 :集 合 YRY f )2( ,使 每 个 Xx 需 要 指 出 的 是 : ( 1) 映 射 要 求 元 素 的 像 必 须 是 唯 一 的 . ( 2) 映 射 并 不 要 求 元 素 的 逆 像 也 是 唯 一 的 .(3) 对 应 法 则 f : 2.定 义 二 : 设 f 是 集 合 X 到 集 合 Y 的 一 个 映 射 ,若 f 的 逆 像 也 是 唯 一 的 , 即 对 X 中 的 任 意 两个 不 同 元 素 x1 x2 , 它 们 的 像 y1 与 y2 也 满足 y1 y2 , 则 称 f 为 单 射 ; 如 果 映 射 f 满 足 Rf = Y , 则 称 f 为 满 射 ; 如 果 映 射 f 既 是 单 射 ,又 是 满 射 , 则 称 f 为 双 射 ( 又 称 一 一 对 应 ) . 二 、 逆 映 射 与 复 合 映 射1.逆 映 射 : 如 果 映 射 f 既 是 单 射 , 又 是 满 射 , 则, 对 应 关 系, 于 是是 唯 一 确 定 的的 即 满 足 方 程它 的 逆 像对 任 一 )( (,xyxf XxYRy f )( yxfxy XRg f : 的称 之 为,上 的 一 个 映 射到构 成 了 fXRf ,1f记 为逆 映 射 , 值 域 为其 定 义 域 为 ,1 ff RD . 1 XRf 例 3 设 A=1, 2, 3 , B=4, 5, 6, 则既 是 单 射 , 又 是 满 射 , 存 在 逆 映 射3 xyx BAf : 31 xyx ABf : 例 4 设 A=0, , B= 1, 1, 则既 是 单 射 , 又 是 满 射 , 存 在 逆 映 射xyx BAf cos: xyx ABf arccos1 : 2.复 合 映 射 : 那 就 可 以 构 造 出 一 个)(1 xgux UXg : 和 )(2 ufyu YUf :,2 fg DUR 如 果新 的 对 应 关 系 )( xgfyx YXgf : 的和也 是 一 个 映 射 , 称 之 为 gf 复 合 映 射 . 例 5 21 xux RRg : uyu RRf :,1,( fg DR 则因 此 不 能 构 成 复 合 映 射 gf 但 若 将 g 的 定 义 域 缩 小 , 就 有 可 能 构 成 复 合 映 射 .比 如 令 2* 11,1 xux Rg :则 可 以 构 成 复 合 映 射 2* 11,1 xyx Rgf : 因 变 量 自 变 量 .),()( ff DxxfyyXfR RDfRD :, 则 称 映 射设 数 集 记 为上 的 函 数为 定 义 在 ,D )(xfy三 、 函 数 的 概 念D 称 为 定 义 域 , 记 作 Df , 即 Df = D .函 数 值 的 全 体 构 成 的 数 集 称 为 值 域 , 记 为 :定 义.1 ( ) )0 x)( 0 xf 自 变 量因 变 量对 应 法 则 f2.函 数 的 两 要 素 : 定 义 域 与 对 应 法 则 .x y DW约 定 : 定 义 域 是 使 表 达 式 有 意 义 的 自 变 量 能 取的 一 切 实 数 值 . 21 xy 例 如 , 1,1: D211xy 例 如 , )1,1(: D 定 义 : .)( ),(),( 的 图 形函 数 称 为点 集 xfy DxxfyyxC o xy ),( yxxyW D 如 果 自 变 量 在 定 义域 内 任 取 一 个 数 值 时 ,对 应 的 函 数 值 总 是 只 有一 个 , 这 种 函 数 叫 做 单值 函 数 , 否 则 叫 做 多 值函 数 222 ayx 例 如 , 是 多 值 函 数 (1) 符 号 函 数 01 00 01sgn xxxxy 当当当3.几 个 特 殊 的 函 数 举 例 1 -1 xyoxxx sgn (2) 取 整 函 数 y=xx表 示 不 超 过 的 最 大 整 数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3 xyo阶 梯 曲 线xxxx 1显 然 : 是 无 理 数 时当 是 有 理 数 时当 xxxDy 01)( 有 理 数 点无 理 数 点 1 xyo(3) 狄 利 克 雷 函 数 (4) 取 最 值 函 数 )(),(max xgxfy )(),(min xgxfy y xo )(xf )(xg y xo )(xf )(xg 0,1 0,12)(, 2 xx xxxf例 如 12 xy12 xy在 自 变 量 的 不 同 变 化 范 围 中 , 对 应 法 则 用 不 同 的式 子 来 表 示 的 函 数 ,称 为 分 段 函 数 . 例 1 解 0800 yx 时 ,当 4005.0)800(05.0 1300800 xxy x 时 ,当 1051.0)1300(1.050005.0 28001300 xxy x 时 ,当 24515.0 )2800(15.015001.050005.0 58002800 x xy x 时 ,当 综 上 , 有 : 5352.0)5800(2.0 300015.015001.050005.05800 xxyx 时 ,当 58005352.0 5800280024515.0 280013001051.0 13008004005.0 8000 xx xx xx xx xy , 例 2 1, 1 0( ) ,e 1, 0 2xx xf x x 设解 21:)( ,的 定 义 域 为 xf 110)0( f .)()1()0( 的 定 义 域及、求 xfff 1(1) e 1 e 1f 四 、 函 数 的 几 种 特 性1 函 数 的 奇 偶 性 (parity):偶 函 数 有对 于轴 对 称关 于设 , DxyD 则,)()( xfxf y x)( xf )(xfyo x-x )(xf ;)( 为 偶 函 数称 xf 有对 于关 于 原 点 对 称设 , DxD 则),()( xfxf .)( 为 奇 函 数称 xf奇 函 数)( xf y x)(xfo x-x )(xfy 2 函 数 的 周 期 性 (periodicity):2l 2l23l 23l( 通 常 说 周 期 函 数 的 周 期 是 指 最 小 正 周 期 ) .,)( Dxf 的 定 义 域 为设 函 数 如 果 存 在 一 个 不 为 零 的 )()( xflxf 且为 周则 称 )(xf .)(, DlxDxl 使 得 对 于 任 一数 .)(, 的 周 期称 为期 函 数 xfl.恒 成 立 例 3解 .,)( )( )( 并 求 其 周 期是 周 期 函 数 均 对 称 , 证 明与 的 图 形 关 于 直 线,函 数设 xfy babxax Rxxfy )()(),()( xbfxbfxafxaf )()()( axafaxafxf (由 条 件 知 : )2( xaf )2()2( axbbfaxbbf )(xf故 是 周 期 函 数 , 且 是 它 的 一 个 周 期 .)(2 ab)(2( abxf 3 函 数 的 单 调 性 (monotonicity): ,)( DIDxf 区 间的 定 义 域 为设 函 数 , 2121 时当及上 任 意 两 点如 果 对 于 区 间 xxxxI ;I上 是 单 调 增 加 的 ),()()1( 21 xfxf 恒 有 )(xfy )( 1xf )( 2xf xyo I ( )f x则 称 函 数 在 区 间 )(xfy )( 1xf )( 2xf xyo I .)( 上 是 单 调 减 少 的在 区 间则 称 函 数 Ixf ,)( DIDxf 区 间的 定 义 域 为设 函 数 , 2121 时当及上 任 意 两 点如 果 对 于 区 间 xxxxI ),()()2( 21 xfxf 恒 有 M-M y xoy=f(x) X有 界 无 界M-M y xo X0 x ,)(,0, 成 立有若 MxfXxMDX 4 函 数 的 有 界 性 (bounded): .)( 否 则 称 为 无 界上 有 界在则 称 函 数 Xxf 五 、 小 结 思 考 题1.映 射 的 有 关 概 念 : 映 射 、 逆 映 射 、 复 合 映 射 .2.函 数 的 有 关 概 念 : 函 数 、 定 义 域 、 值 域 .3.函 数 的 几 种 特 性 :奇 偶 性 、 周 期 性 、 单 调 性 、 有 界 性 . 思 考 题已 知 是 一 个 奇 函 数 , 且 满 足 ,则 是 不 是 一 个 周 期 函 数 ? 若 是 , 请 说 明它 的 一 个 周 期 , 若 不 是 , 请 说 明 理 由 .( )f x ( ) ( ) f a x f a x( )f x 思 考 题 解 答是 . )()2( )( )( )()()2( )()( xfxaf xf xf xaafxaafxaf xafxaf 所 以 是 一 个 奇 函 数 ,又 因 为 :可 知由 练 习 题2. 函 数 f(x)=lg(x2-x-2)的 定 义 域 为 A, 函 数 y= 的 定 义 域 为 B, 则 AB=_ xx1 2 1. 已 知 A=N, , 映 射 x ,则 在 f 的 作 用 下 , 像 的 原 像 是 _ ,.75,53,31B 12 12 xxy)( Ax 101993. 下 列 函 数 中 , 既 是 ( 0, ) 上 的 增 函 数 , 又 是以 为 周 期 的 偶 函 数 是 ( )A y=|sinx| B y=|cosx| C y=|sin2x| D y=cos2x 2 4. 函 数 的 单 调 递 增 区 间 是 _ . 20.1log (6 2 )y x x 5. 已 知 函 数 ,则 是 :( A) 奇 函 数 ( B) 既 是 奇 函 数 又 是 偶 函 数( C) 偶 函 数 ( D) 非 奇 非 偶 函 数 )0()1( )0()1()( xxx xxxxf)(xf 练 习 题 答 案1. 50 2. -2, -1) 3. A 4. 5. A2,41
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