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第 二 章 有 理 数 及 其 运 算 教材 分 析 一 、 课 标 的 变 化2001年 实 验 版 课 标1.会 求 有 理 数 的 相 反数 与 绝 对 值 。 （绝 对 值 符 号 内 不含 字 母 ）2.掌 握 有 理 数 简 单 的混 合 运 算 。 （ 以三 步 为 主 ）3.能 对 含 有 较 大 数 字的 信 息 作 出 合 理的 解 释 和 推 断 。 2011年 新 课 标1.掌 握 求 有 理 数 的 相 反数 与 绝 对 值 ， 知 道 a 的 含 义 （ 这 里 a表示 有 理 数 ） 。2.掌 握 有 理 数 简 单 的 混合 运 算 （ 以 三 步 以 内为 主 ）3.删 除 了 目 标 3 2.6 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 2001年 课 标 ：1、 能 进 行 包 括 小数 或 分 数 的 有理 数 的 加 减 混合 运 算 。2、 能 根 据 具 体 问题 ， 适 当 运 用运 算 律 简 化 运算 。 2011年 课 标 ：1、 能 进 行 包 括 小 数或 分 数 的 有 理 数 的加 减 混 和 运 算 。2、 能 根 据 具 体 问 题列 式 进 行 有 理 数 的加 减 混 合 运 算 。 二 、 教 材 的 变 化 变 化 （ 一 ） ： 结 构 的 调 整 。1、 由 相 反 数 与 数 轴 一 课 时 ， 改 为 与 绝 对 值一 课 时 。2、 由 2.6“ 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 ” 两 课 时和 2.7“ 水 位 变 化 ” 两 节 内 容 ,改 为 2.6“ 有 理数 的 加 减 混 合 运 算 ” 一 节 3课 时 。3、 把 第 六 章 的 “ 科 学 记 数 法 ” 作 为 一节 乘 方 应 用 加 入 到 。 变 化 （ 二 ） ： 表 述 的 调 整 标 题 “ 数 怎 么 不 够 用 了 ” 改 为 “ 有 理 数 ” 。同 时 去 掉 小 学 教 材 已 有 正 负 数 的 定 义 。 有 理 数 的 加 法 ， 情 境 引 入 去 掉 原 来 的 足 球 净胜 球 为 背 景 ， 沿 用 了 第 一 节 情 境 。 同 时 对 于加 法 法 则 的 推 理 ， 由 四 框 图 减 为 两 个 ， 删 掉了 数 轴 的 表 示 。 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 第 一 课 时 删 去 了 旧 教材 的 引 例 （ 水 位 的 变 化 ） ， 改 用 游 戏 方 式 引入 。 2.7 “ 有 理 数 的 乘 法 ” 中 给 出 “ 倒 数 ” 的 准 确定 义 。 2.8“ 有 理 数 的 除 法 ” 中 的 除 法 法 则 由 填 空 形式 改 为 直 接 给 出 。 变 化 （ 三 ） ： 题 目 的 合 理 调 整 经 典 例 题 、 练 习 的 删 减 ， 调 换 ， 增 加 。 如 ： 有 理 数 例 题 的 第 （ 1） 小 题 和 第 （ 2） 题 重 复 ， 进 行 了 删 除 。 同 时 增 加 了 第 (3)题 对 基 准 问 题 的 讨 论 。 1 2( )7 7 3 1 4( ) ( )5 5 5 3 1 4( )5 5 5 1 7( 5) ( ) 72 3 1 2( ) 15 ( )3 3 6 7( 12) ( ) ( 8)5 10 2 1 1 3( ) ( )3 8 3 8 旧 教 材 例 一旧 教 材 例 二 新 教 材 例 一新 教 材 例 二又 如 ： 2.6 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 中例 题 变 化 教 材 中 加 入 的 例 题 还 有 ： 有 理 数 随 堂 练 习 第 2题 数 的 分 类 ， 习 题 第 6题 设 定 标 准 用 正 负 数 表 示 学 生 体 重 ， 2.2 数 轴 随 堂 练 习 数 轴 表 示 数 ， 2.3 绝 对 值 随 堂 练 习 第 1题 数 轴 上 距 离 原 点2个 单 位 长 度 的 点 表 示 什 么 数 ? 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 第 二 课 时 增 加 了“ 做 一 做 ” 就 汽 油 价 格 的 调 整 情 况 出 了 一道 应 用 有 理 数 加 减 混 和 运 算 的 题 。 教 材 中 加 入 的 例 题 还 有 ： 2.8 有 理 数 的 除 法 增 加 了 例 2， 在 小 学 的基 础 上 进 一 步 熟 练 运 用 除 法 法 则 ， 关 注 负数 和 小 数 的 倒 数 。 有 理 数 的 乘 方 第 一 课 时 随 堂 练 习 2幂 运算 ， 习 题 第 4题 ， 平 方 16的 数 可 能 是 几 ？ 有 理 数 的 乘 方 第 二 课 时 随 堂 练 习 2 判 断幂 的 符 号 。 联 系 拓 广 加 入 第 3题 ， 考 察 了数 形 结 合 和 归 纳 法 ， 渗 透 极 限 的 思 路 ， 利用 优 生 发 展 。 科 学 计 数 法 增 加 了 相 应 的 例 题 ， 对 计 数法 进 行 落 实 。 本 章 应 重 点 关 注 的 几 个 方 面 ： 更 加 强 调 学 生 的 自 主 探 索 。 更 加 重 视 在 现 实 背 景 中 对 运 算 意 义 的理 解 和 运 算 应 用 。 继 续 关 注 运 算 技 能 的 培 养 ， 但 对 于 笔算 难 度 要 求 有 所 降 低 。 对 于 运 算 方 法 ， 鼓 励 “ 算 法 多 样 化 ” 。 对 于 运 算 结 果 ， 在 重 视 原 有 精 确 计 算的 基 础 上 ， 加 强 了 估 算 。 教 材 分 析 ：一、概念理解 1 、 有 理 数 ： 有 理 数 的 整 分 的 分 类 和 正 负 的 分 类 ， 0在 两 种 分 类 中 的 位 置 ， 这 是 难 点 。 例 将 下 列 各 数 填 在 相 应 的 集 合 中 ： ， 6， 0， -200， ， -20%， ， ， +86， （ 1） 正 整 数 集 合 （ 2） 负 整 数 集 合 （ 3） 非 正 整 数 （ 4） 非 负 整 数 （ 5） 正 分 数 集 合 （ 6） 负 分 数 集 合 （ 7） 整 数 集 合 （ 8） 分 数 集 合 （ 9） 正 有 理 数 集 合 （ 10） 负 有 理 数 集 合 2、 数 轴 ：能 正 确 画 出 数 轴 ，正 确 清 晰 的 用 数 轴 表 示 数 ，仍 是 学 生 的 难 点 。 采 用 措 施 ：（ 1） 理 解 为 何 要 有 数 轴 的 三 要 素 。（ 2） 设 置 识 别 常 见 错 误 的 数 轴 表 示的 题 目 。 采 用 措 施 ：（ 3） 老 师 黑 板 示 范 ， 学 生 亲 身 体 验 。（ 4） 规 范 数 轴 表 示 的 具 体 要 求 。比如刻度画法，要求是悬在线上的小线段，刻度数在线下；对于表示的数的画法，要求串在线中实心点，数写在线上，与刻度数分开。 3、 相 反 数 ， 绝 对 值 ：对 于 符 号 表 示 的 理 解以 前 是 难 点 ，现 在 又 是 变 化 后 的 重 点 。 采 用 措 施 ：（ 1） 对 于 基 本 符 号和 常 见 等 式 a=b,a=-b,a+b=0, 中 符 号 表 示 的 意 义 作 为 专 题 分 析 。（ 2） 对 于 -a学 生 容 易 说 成 负 数 ， 点 明 符 号 相反 ， 是 相 反 数 的 表 示 。（ 3） 对 于学 生 极 易 把 0给 漏 掉 ， 所 以 明 确 即 可 以 理 解 0的绝 对 值 是 它 本 身 ， 也 可 以 理 解 是 它 的 相 反 数 。 aaaaaa ,aaaa , aaa , 00,00,00 二、算理的要求根 据 教 材 的 变 化 ，对 于 算 理 的 要 求 增 强 了 ，这 也 是 现 在 课 堂 的 重 心 ，是 思 维 的 有 效 呈 现 ，也 是 学 生 思 维 培 养 的 核 心 。 以 有 理 数 的 加 法 为 例 ：（ 1） “ 算 理 ” 和 “ 算 法 多 样 化 ” 体 现在 ， 让 学 生 提 供 实 际 背 景 和 新 的 情 景 来表 示 -3+（ -5） 和 -5+3？（ 2） 给 予 充 分 的 时 间 保 障 。（ 3） 用 正 负 电 子 的 形 象 直 观 演 示（ 4） 数 轴 点 动 态 移 动 的 ppt展 示 同 号 两 数 相 加 ， 取 相 同 的符 号 ， 并 把 绝 对 值 相 加 。(-2)+(-4)=-6 异 号 两 数 相 加 ， 绝 对 值 相 等时 和 为 0。 2+（ -2） =0 绝 对 值 不 等 时 ， 取 绝 对 值 较 大 的数 的 符 号 ， 并 用 较 大 的 绝 对 值 减去 较 小 的 绝 对 值 。 (-3)+2 =-1 一 个 数 同 0相 加 ， 仍 得 这个 数 。 因 为 0代 表 一 个 也都 没 有 。 (-2)+0 =-2 上 述 加 法 运 算 过 程 也 可 用 数 轴 直 观 表 示 。以 原 点 为 起 点 ， 规 定 向 东 的 方 向 为 正 方 向 ， 则 向 西 的 方 向 为 负 方 向 。 -5 -4 -3 -2 -1 0 1(1) 计 算 : (-2)+(-3) 东先 向 西 移 动 2个 单 位 ，再 向 西 移 动 3个 单 位 ，一 共 向 西 移 动 了 5个 单 位 ， (-2)+(-3)= -5 ；(2) (-3)+2 = -1 (3) 3+(-2) =1(4) (-4)+4 =0 三、运算的落实对 于 每 个 学 生 都 能 正 确 运 算 ，是 我 们 课 堂 教 学 的 重 要 目 标 。仍 是 难 点 ，是 我 们 需 要 反 复 琢 磨 的 。 (1)运 算 中 符 号 出 现 问 题 最 多 。采 用 措 施 ： 不 求 结 果 ， 只 求 符 号 的 专 项 训 练 。（ 2） 及 时 引 导 学 生 进 行 归 纳 。如 加 法 ： 定 类 型 定 符 号 定 加 减 。如 加 法 简 便 运 算 优 先 考 虑 顺 序 ： 凑 相 反 数 凑 十 （ 消 个 位 ） 凑 整 凑同 号 。 如 ： 有 理 数 的 加 减 混 合 运 算 对 代 数 和的 处 理 ： 要 求 淡 化 形 式 、 注 重 实 质 。建 议 转 化 为 和 的 基 本 形 式 。 比 如 -3+4-6还 原 为 （ -3） +（ +4） +（ -6） 。 关 于代 数 和 的 读 法 ， 建 议 按 性 质 符 号 读 为“ -3， +4， -6”的 代 数 和 。（ 3） 按 照 课 标 “以 三 步 以 内 为主 ” ， 应 避 免 繁 杂 的 运 算 。 （ 4） 对 于 运 算 的 实 际 应 用 ， 如 有 理 数减 法 中 教 材 P42页 习 题 第 4题 ， “ 某 潜 艇从 海 平 面 以 下 27米 处 上 升 到 海 平 面 以 下18米 处 ， 此 潜 艇 上 升 了 多 少 米 ？ ”学 生 们 出 现 的 情 况 很 多 ， 有 27-18， 有 -27-（ -18） ， 有 （ -18） -（ -27） 的 ， 这 三种 都 可 以 合 理 解 释 。 对 于 -27-（ -18） =-9再 需 要 求 绝 对 值 得 到 上 升 的 高 度 。 对 此 ，算 法 的 多 样 性 会 带 来 过 程 多 样 ， 同 时 要求 老 师 多 角 度 理 解 。 四 、 估 算 和 计 算 器 的 使 用 。对 于 估 算 新 教 材 加 入 了 要 求 ， 这 一 章 哪 几 处 可 以 引入 估 算 呢 ？对 于 加 、 减 、 乘 、 除 有 理 数 的 基 本 运 算 的 引 入 都 可以 进 行 估 算 。而 最 典 型 问 题 解 决 的 拉 面 问 题 ， 用 到 了 估 算 。对 于 这 种 在 实 际 问 题 中 或 探 索 规 律 中 出 现 的 复 杂 运算 ， 建 议 使 用 计 算 器 进 行 突 破 。 教 学 中 出 现 几 点 困 惑 ：1、 算 理 中 算 法 多 样 化 的 积 累 不 丰 富 。2、 要 不 要 提 前 预 习 ？3、 对 于 “ 24点 ” 游 戏 ， 如 何 利 用 混合 运 算 快 速 凑 24点 ， 有 没 有 有 效 可循 的 方 法 ？ 知识,只有当它靠积极的思维得来,而不是凭记忆得来的时候,才是真正的知识。 -托尔斯泰
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