高等数学竞赛题库.不定积分与定积分

高等数学竞赛 不定积分不定积分的概念与性质1、设，求2、设，求3、已知，试求函数利用基本积分法求不定积分一、 利用凑微分法求不定积分1、 求下列不定分;(1)（2）（3）（4）2、求下列不定积分（1） （2）（3） （4） （5）二、利用第二换元积分法求不定积分1、三角代换求下列积分（1） （2） （3） （4）2、倒代换（即令）求下列积分（1） （2）3、指数代换（令则）（1） （2）4、利用分部积分法求不定积分（1） （2）（3） （4）（5）5、建立下列不定积分的递推公式（1） （2）有理函数的积分1、求下列不定积分（1） （2） （3）2、求下列不定积分（1） （2） （3） （4）简单无理函数积分1、 2、三角有理式积分1、 2、 3、4、 5、 6、含有反三角函数的不定积分1、 2、抽象函数的不定积分1、 2、分段函数的不定积分例如：设 求.高等数学竞赛 定积分比较定积分大小1、 比较定积分和的大小2、 比较定积分和的大小利用积分估值定理解题一、估值问题1、试估计定积分的值2、试估计定积分的值二、不等式证明1、证明不等式：2、证明不等式：三、求极限1、 2、关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题1、求下列导数：（1）；（2）由方程确定的隐函数的导数2、设在上连续且满足，求3、设为关于的连续函数，且满足方程，求及常数.4、求下列极限：（1） （2）5、设是连续函数，且，求.6、已知且，求及定积分的计算一、分段函数的定积分1、设求2、求定积分二、被积函数带有绝对值符号的积分1、求下列定积分：（1） （2）2、求定积分的值三、对称区间上的积分1、设在上连续，计算2、设在上连续，且对任何有，计算3、计算积分4、设在区间上连续，为偶函数，且满足条件（为常数）.（1）证明：(2) 利用（1）的结论计算定积分四、换元积分法1、求下列定积分：（1） （2） （3）五、分部积分1、设有一个原函数为，求2、 3、积分等式的证明一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件）1、若函数连续，证明：（1）（2）（3）2、设连续，求证，并计算3、设连续，且关于对称，z证明： （提示：关于对称，即）二、分部积分法（适用于被积函数中含有或变上限积分的命题）例：设连续，证明： 三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点或使等式成立的命题）解题思路：（1）将或改成，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数或。（2）验证满足介值定理或微分中值定理的条件。（3）由介值定理或微分中值定理，即可证得命题。1、设在上连续，证明：至少存在一点，使得： 2、设在上连续，在内可导，.求证：在内至少存在一点使四、积分不等式的证明常用的证明积分不等式的定理有：定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性，积分与微分中值定理。1、设在上连续，且严格递增，证明： 2、设在上连续且单调减少，求证： 3、设在上可导，且.证明： 广义积分1、求下列广义积分（1） （2） （3） （4）2、证明：无穷积分当时收敛，当时发散.3、当时，是以为瑕点的瑕积分，证明它在时收敛，在时发散.高等数学竞赛 导数与微分练习利用导数定义解题1、 设函数 又在处可导，求复合函数在处的导数。2、 已知在处可导，求3、 设 求在点处的导数4、 设函数在处可导，且试求5、 设求极限6、 设在上有定义，且又，求导数在几何上的应用1、 设函数由方程确定，求曲线在处的法线方程2、 已知是周期为5的连续函数，它在的某个领域内有关系式 其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程.利用导数公式及求导法则求导1、已知，求2、若，求3、若4、设函数由方程确定。求5、设函数由所确定，求6、设函数，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求求高阶导数常用方法：（1）将函数变形。利用已知函数的阶导数公式； （2）利用莱布尼兹公式求某些积的阶导数。1、设函数，求2、设函数，求3、设函数求4、设函数，求5、设函数可导、连续与极限存在的关系1、 设其中具有二阶连续导数，且求并讨论在内的连续性。2、设其中讨论在什么条件下在处连续。8